Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $x - 3 \ne 0$ khi $x \ne 3$ và $x + 3 \ne 0$ khi $x \ne - 3$ nên ĐKXĐ của phương trình $2 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{5}{{x + 3}}$ là $x \ne - 3$ và $x \ne 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: $x \ne 5$ và $x \ne - 5.$

Ta có: $\frac{3}{{4\left( {x - 5} \right)}} + \frac{{15}}{{50 - 2{x^2}}} = \frac{7}{{6x + 30}}$

$\frac{3}{{4\left( {x - 5} \right)}} - \frac{{15}}{{2\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{7}{{6\left( {x + 5} \right)}}$

$\frac{{9\left( {x + 5} \right)}}{{12\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{15.6}}{{12\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{14\left( {x - 5} \right)}}{{6\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}$

$$9\left( {x + 5} \right)--90 = 14\left( {x-5} \right)$$

$$9x + 45-90 = 14x-70$$

$$5x = 25$$

$x = 5$ (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Viết phương trình $2x + \frac{y}{2} = 1$ thành $2x + \frac{1}{2}y = 1$ ta được phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 2 \ne 0,$ $b = \frac{1}{2} \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

• Thay $x = 2,{\rm{ }}y = - 3$ vào phương trình $2x-5y = 19$ ta được: $2 \cdot 2-5 \cdot \left( { - 3} \right) = 19.$

Do đó cặp số $\left( {2\,;\,\, - 3} \right)$ thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho.

• Thay x = 1, y = 1 vào phương trình $2x-5y = 19$ ta được: $2 \cdot 1-5 \cdot 1 = 7 \ne 19.$

Do đó, cặp số $\left( {1\,;\,\,1} \right)$ không thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho.

• Thay $x = 1,{\rm{ }}y = - 2$ vào phương trình $2x-5y = 19$ ta được: $2 \cdot 1-5 \cdot \left( { - 2} \right) = 12 \ne 19.$

Do đó, cặp số $\left( {1\,;\,\, - 2} \right)$ không thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho.

• Thay $x = 12,{\rm{ }}y = - 1$ vào phương trình $2x-5y = 19$ ta được $2 \cdot 12 - 5 \cdot \left( { - 1} \right) = 27 \ne 19.$

Do đó, cặp số $\left( {12\,;\,\, - 1} \right)$ không thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhân phương trình thứ nhất của hệ với 6, ta được phương trình mới $3x - 3y = - 6,$ cộng với phương trình thứ hai ta được phương trình: $0x = - 1$ (hoặc phương trình $0y = - 1$).

Phương trình trên vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Như vậy, có 2 khẳng định đúng là (ii), (iii). Ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình $0x + 7y = 14$ ta có $7y = 14$ suy ra $y = 2$.

Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là $\left( {x;\,\,2} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $a < b$ và $ac > bc$ nên ta có $c < 0$, tức $c$ là số âm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển, nên theo hình vẽ thì tốc độ của ô tô đi trên đường đó không nhỏ hơn $60{\rm{ km/h,}}$ tức là $a \ge 60.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $M$, ta có: $\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{MN}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có

$AB = BC \cdot \sin C = BC \cdot \cos B = AC \cdot \tan C\,;$

$AC = BC \cdot \cos C = AB \cdot \cot C.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do $\alpha ,\,\,\beta$ là số đo các góc nhọn của một tam giác vuông nên $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Khi đó $\sin \alpha = \cos \beta ,\,\,\cos \alpha = \sin \beta ,\,\,\tan \alpha = \cot \beta ,\,\,\cot \alpha = \tan \beta$ và $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.

Do đó $\tan \alpha - \cot \beta = \tan \alpha - \tan \alpha = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tam giác $ABC$ có cạnh huyền $BC$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}$. Suy ra $\frac{{AC}}{{BC}} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.$

Vậy tỉ số giữa cạnh đối $AC$ và cạnh huyền $BC$ bằng $\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Phương trình $\left( * \right)$ có các hệ số là $a = 2\,;\,\,b = - 5\,;\,\,c = 1.$

b) Sai. Để phương trình có dạng $ax + by = c$ là phương trình bậc nhất hai ẩn thì $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0.$

Do đó, phương trình $\left( * \right)$ là phương trình bậc nhất hai ẩn $x,{\rm{ }}y$ vì $a = 2 \ne 0$; $b = - 5 \ne 0.$

c) Sai. Thay $x = 0\,;{\rm{ }}y = 5$ vào phương trình $\left( * \right)$, ta được: $4 \cdot 0 - 7 \cdot 5 = -\,35 \ne - 1.$

Do đó cặp số $\left( {0\,;\,\,5} \right)$ không phải là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$.

d) Đúng. Ta có $4x - 7y = - 1$ suy ra $7y = 4x + 1$ nên $y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}$.

Do đó, biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ là đường thẳng $y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do $a > 1$ nên $a - 1 > 0$. Do đó ý a) là đúng.

b) Sai. Do $a > b$ nên $a - b > 0$. Do đó ý b) là sai.

c) Đúng. Do $1 > b$ hay $b < 1$ nên $b - 1 < 0$, mà $a - 1 > 0$ suy ra $\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) < 0.$ Do đó ý c) là đúng.

d) Sai. Ta có $a - 2b = \left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) - 1$

Do $b - 1 < 0$ nên $- 2\left( {b - 1} \right) > 0$.

Lại có $a - 1 > 0$ nên $\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) > 0,$ suy ra $\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) - 1 > - 1$.

Như vậy $2a - b > - 1.$ Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0.

Điều kiện xác định: $x \ne 1;\,\,x \ne 2.$

$\frac{1}{{x - 1}} - \frac{7}{{x - 2}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$

$\frac{{1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{7 \cdot \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$1 \cdot \left( {x - 2} \right) - 7 \cdot \left( {x - 1} \right) = - 1$

$x - 2 - 7x + 7 = - 1$

$- 6x = - 6$

$x = 1$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3.

Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x + y = 7\end{array} \right.$.

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

Trên màn hình cho kết quả $x = 2,$ ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả $y = 1.$

Do đó $x + y = 2 + 1 = 3.$

Cách 2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x + y = 7\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $4x = 8$, suy ra $x = 2.$

Thay $x = 2$ vào phương trình $x - y = 1,$ ta được: $2 - y = 1,$ suy ra $y = 1.$

Do đó $x + y = 2 + 1 = 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: $- {\bf{3}}$.

Ta có ${\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;-3$

$${x^2} + 4x + 4\; < x + {x^2}\;-3$$

$$\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3$$

$$3x < - 7$$

$$x < - \frac{7}{3}$$

Do đó, nghiệm của bất phương trình là $x < - \frac{7}{3}.$

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $x$ thỏa mãn bất phương trình đã cho là $x = - 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: $- {\bf{4}}$.

Theo tính chất tỉ số lượng giác hai góc nhọn phụ nhau, ta có $\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right).$

Khi đó, ta có $A = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \alpha - 2\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha + 3\sin \alpha }}{{\sin \alpha - 2\sin \alpha }} = \frac{{4\sin \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \,4.$

Hướng dẫn giải

Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là số calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga và Jumping jacks $\left( {x > y > 0} \right).$

Theo đề bài, anh Hoài đã đến phòng tập thể dục và tập 40 phút Yoga, sau đó nhảy Jumping jacks 10 phút và tiêu hao được 510 calo nên ta có phương trình

$40x + 10y = 510$ hay $4x + y = 51{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Lần tiếp theo anh Hoài tập 30 phút Yoga và nhảy Jumping jacks 20 phút thì tiêu hao được là 470 calo nên ta có phương trình

$30x + 20y = 470$ hay $3x + 2y = 47{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 51\\3x + 2y = 47\end{array} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 2, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}8x + 2y = 102\\3x + 2y = 47\end{array} \right.$.

Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: $5x = 55$, suy ra $x = 11$ (thỏa mãn).

Thay $x = 11$ vào phương trình $4x + y = 51$, ta được:

$4 \cdot 11 + y = 51$ suy ra $y = 7$ (thỏa mãn).

Vậy số calo tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga là 11 calo và số calo tiêu hao trong mỗi phút nhảy Jumping jacks là 7 calo.

Hướng dẫn giải

1) Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ nên $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}$

Suy ra $AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 70^\circ }} \approx 5{,}32\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ nên $\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}$

Suy ra $AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{5}{{\sin 35^\circ }} \approx 8{,}72\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có

$BH = AH \cdot \cot B = 5 \cdot \cot 70^\circ \approx 1{,}82\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

$CH = AH \cdot \cot C = 5 \cdot \cot 35^\circ \approx 7{,}14\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Do đó $BC = BH + HC \approx 1{,}82 + 7{,}14 = 8{,}96\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Vậy độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ là $AB \approx 5{,}32\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,AC \approx 8{,}72\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC \approx 8{,}96\,\,{\rm{cm}}\,.$

2) Giả sử trong hình vẽ $BC$ là độ cao của ngọn hải đăng so với mực nước biển thì $AB$ là khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng, góc nghiêng xuống $\widehat {ACx} = 27^\circ$ nên $\widehat {CAB} = 27^\circ .$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có $AB = BC \cdot \cot \widehat {CAB}$.

Suy ra $AB = 149 \cdot \cot 27^\circ \approx 292\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tàu đang đứng cách chân hải đăng khoảng 292 mét.

Hướng dẫn giải

Điểm trung bình của 40 học sinh là: $\frac{{300}}{4} = 7{,}5$ (điểm).

Giả sử có một học sinh có điểm lớn hơn 30. Gọi điểm của học sinh đó là ${a_k} > 30.$

Điểm của các học sinh còn lại là ${a_1},\,\,{a_2},\,\, \ldots ,\,\,{a_{k - 1}},\,\,{a_{k + 1}}\,\,,\,\, \ldots ,\,\,{a_{40}}.$

Tổng điểm của các học sinh còn lại là: $S = 300 - {a_k}.$

Vì ${a_k} > 30$ thì $S < 300 - 30 = 270.$

Số lượng học sinh còn lại là 39 nên trung bình điểm của các học sinh còn lại là:

$$M = \frac{S}{{39}} < \frac{{270}}{{39}} \approx 6{,}92.$$

Theo giả thiết, không có học sinh nào có điểm dưới 10.

Do đó, tổng điểm tối thiểu của 39 học sinh còn lại là: $S\, \ge 10 \cdot 39 = 390.$

Mà $S < 270$ dẫn đến mâu thuẫn.

Vậy không có học sinh nào có điểm lớn hơn 30.