Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{{x - 3}} - 3 = \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}$ là $x - 3 \ne 0$ và $x + 4 \ne 0,$ hay $x \ne 3$ và $x \ne - 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giải phương trình:

$\left( {\frac{1}{3}x - 3} \right)\left( {x + 8} \right) = 0$

$\frac{1}{3}x - 3 = 0$ hoặc $x + 8 = 0$

$\frac{1}{3}x = 3$ hoặc $x = - 8$

$x = 9$ hoặc $x = - 8$.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 9$ và $x = - 8$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đó là: $9 + \left( { - 8} \right) = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

Phương trình $0x - 0y = 6$ có hệ số $a = b = 0$ nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta viết phương trình $3x + y = 6$ về dạng $y = - 3x + 6.$

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình $3x + y = 6$ là $\left( {x;\,\, - 3x + 6} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

Trên màn hình cho kết quả $x = - 21,$ ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả $y = 15.$

Vậy cặp số $\left( { - 21;\,\,15} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Cách 2. Thay $x = 1;\,\,y = 1$ vào hệ phương trình đã cho, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5\,\,\left( { \ne 3} \right)\\ - 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = - 9\,\,\left( { \ne 9} \right)\end{array} \right..$

Tương tự, thay giá trị của $x$ và $y$ lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số $\left( { - 21;\,\,15} \right)$ là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số $\left( { - 21;\,\,15} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Cách 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2,$ ta được hệ phương trình mới $\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 6\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $y = 15.$

Thay $y = 15$ vào phương trình $2x + 3y = 3,$ ta được:

$2x + 3 \cdot 15 = 3,$ hay $2x + 45 = 3,$ suy ra $2x = - 42,$ nên $x = - 21.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( { - 21;\,\,15} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nhận thấy đường thẳng $d$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( {0\,;\,\,0} \right)$ và $\left( {1\,;\,\,2} \right).$

Do đó, đường thẳng $d$ biểu diễn nghiệm của phương trình $y = 2x.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bất đẳng thức $m \le - 8$ có thể được phát biểu là $m$ không lớn hơn âm 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ giả thiết $c < 0$ và điều kiện $a > b$ ở 4 đáp án, ta có:

Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $ac < bc$. Do đó đáp án A sai.

Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}.$ Do đó đáp án B sai.

Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $ac < bc$. Do đó đáp án C đúng.

Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $a + c > b + c.$ Do đó đáp án D sai.

Vậy chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}$ hay $AC = AB.\tan B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

⦁ $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}$ hay ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ (định lí Pythagore);

⦁ $AC = BC \cdot \sin B = BC \cdot \cos C$ hay $b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C$;

⦁ $AB = BC \cdot \sin C = BC \cdot \cos B$ hay $c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B$;

Như vậy các khẳng định A, C, D đều đúng.

Ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha = \frac{4}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta ADC$ vuông tại $A,$ ta có: $AC = AD \cdot \tan \widehat {ADC} = {\rm{ }}3{,}5 \cdot \tan \,50^\circ .$

Khi đó gọi S là diện tích hình bình hành, ta có:

$$S = AD \cdot AC = 3{,}5 \cdot 3{,}5\tan 50^\circ \approx 14{,}6.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp thế như sau:

• Từ phương trình (2), ta có $y = 2x + 4$.

• Thay $y = 2x + 4$ vào phương trình (1), ta được:

$6x - 3\left( {2x + 4} \right) = - 12$ hay $0x = 0$.

• Phương trình trên có vô số nghiệm nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

• Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là $\left( {x;\,\,2x + 4} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Ta có: $m\left( {2x + 1} \right) < 8$ nên $2mx + m - 8 < 0$.

Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn $x$ khi $2m \ne 0$ hay $m \ne 0$.

Do đó ý a) là sai.

b) Đúng. Khi $m = 1,$ bất phương trình đã cho trở thành: $2x - 7 < 0$ hay $2x < 7$ nên $x < \frac{7}{2}$.

Như vậy, khi $m = 1,$ bất phương trình đã cho có nghiệm là $x < \frac{7}{2}$. Do đó ý b) là đúng.

c) Sai. Khi $m = - 1,$ bất phương trình đã cho trở thành: $- 2x - 9 < 0$ hay $- 2x < 9$ nên $x > - \frac{9}{2}$.

Như vậy, khi $m = - 1,$ bất phương trình đã cho có nghiệm là $x > - \frac{9}{2}$. Do đó ý c) là sai.

d) Sai. Khi $m = - 2,$ bất phương trình đã cho trở thành: $- 4x - 10 < 0$ hay $- 4x < 10$ nên $x > - \frac{5}{2}$.

Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là $- 2$. Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 2.

Ta có $\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) = \left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)$

$$\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)$$

$$\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)} \right]$$

$$\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$$

$x - 2 = 0$ hoặc $x + 3 = 0$

$x = 2$ hoặc $x = - 3$.

Do đó phương trình có hai nghiệm $x = 2$; $x = - 3$ nên có 2 giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp số: ${\bf{42}},{\bf{5}}$.

Để đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $M\left( {3;\,\, - 5} \right)$ thì thay $x = 3,\,\,y = - 5$ vào hàm số $y = ax + b$, ta được: $- 5 = 3a + b$.

Tương tự, để đường thẳng đi qua điểm $N\left( {1;\,\,2} \right)$, ta có: $2 = a + b$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3a + b = - 5}\\{a + b = 2}\end{array}} \right.$.

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2a = - 7,$ suy ra $a = - \frac{7}{2}$.

Thay $a = - \frac{7}{2}$ vào phương trình $a + b = 2$, ta được:

$- \frac{7}{2} + b = 2,$ suy ra $b = \frac{{11}}{2}$.

Vậy, tổng bình phương của $a$ và $b$ là ${a^2} + {b^2} = {\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} = \frac{{85}}{2} = 42{,}5.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: $- {\bf{2}}$.

Giải bất phương trình: $x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}$

$5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}$

$5x \ge - 12$

$x \ge \frac{{ - 12}}{5}$.

Do đó nghiệm của bất phương trình là $x \ge \frac{{ - 12}}{5}\,\,\,\left( { = - 2{,}4} \right)$.

Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = - 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 1.

Với $0^\circ < \alpha < 70^\circ$, ta có: $90^\circ - \left( {70^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 20^\circ ;\,\,\,90^\circ - \left( {80^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 10^\circ .$

Do đó:

$$A = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \tan \left( {70^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {80^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right)$$

$$\,\,\,\,\, = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \alpha$$

$$\,\,\,\,\, = \left( {\tan \alpha \cdot \cot \alpha } \right) \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right)} \right] \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right)} \right]$$

$$\,\,\,\,\, = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.$$

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số trận thắng – thua và $y$ là số trận hòa $\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*} \right)$.

Nếu có 5 đội tham gia thi đấu, mỗi đội phải đấu với 4 đội còn lại nên với 5 đội tham gia thì có $5 \cdot 4 = 20$ (trận đấu). Nhưng mỗi trận đấy có 2 đội tham gia nên tổng số trận đấu khi có 5 đội tham gia là $\frac{{5 \cdot 4}}{2} = 10$ (trận đấu).

Vì có 10 trận đấu nên $x+y=10(1)$

Mặt khác, tổng số điểm các đội là $10 + 9 + 6 + 4 + 0 = 29$ (điểm).

Mỗi trận thắng – thua có tổng số điểm là 3 và mỗi trận hòa có tổng số có tổng số điểm là 2 nên ta có phương trình $3x + 2y = 29$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\{\begin{matrix}x+y=10 \\ 3x+2y=29\end{matrix}$

Từ phương trình thứ hai ta có $x + y = 10$ suy ra $x = 10 - y$. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

$3\left( {10 - y} \right) + 2y = 29$, suy ra $30 - 3y + 2y = 29$ hay $y = 1$ (thỏa mãn).

Từ đó $x = 10 - y = 10 - 1 = 9$ (thỏa mãn).

Mỗi đội có 4 trận đấu với các đội còn lại mà đội A có 10 điểm tức đội A thắng 3 trận hòa 1 trận.

Đội B có 9 điểm tức thắng 3 trận thua 1 trận.

Đội C có 6 điểm tức thắng 2 trận thua 2 trận.

Đội D có 4 điểm thắng 1 trận hòa 1 trận.

Đội E không có điểm tức là thua hết 4 trận.

Vậy trận hòa là của đội A và đội D.

1) Xét $\Delta ABD$ vuông tại $B$, ta có:

⦁ $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}},$ suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{9}{{\sin 32^\circ }} \approx 16{,}98.$

⦁ $AC = AB \cdot \cot C = 9 \cdot \cot 32^\circ \approx 14{,}40.$

Vậy $AC \approx 14{,}40$ và $BC \approx 16{,}98.$

2) Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$, ta có: $DC = AD \cdot \tan \widehat {CAD} = AD \cdot \tan 40^\circ$.

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$, ta có: $DB = AD \cdot \tan \widehat {BAD} = AD \cdot \tan 50^\circ$.

Ta có: $BC = DB - DC$

Suy ra $4 = AD \cdot \tan 50^\circ - AD \cdot \tan 40^\circ$

$4 = AD \cdot \left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$AD = \frac{4}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}$.

Do đó $DC = AD \cdot \tan 40^\circ = \frac{{4\tan 40^\circ }}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }} \approx 9{,}5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Như vậy, $CH = CD + DH \approx 9{,}5 + 7 = 16{,}5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiều cao của tòa nhà 2 khoảng $16{,}5{\rm{\;m}}.$

Hướng dẫn giải

⦁ Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $20{\rm{\;cm}}$ nên $BC = 20{\rm{\;cm}}$ và $\widehat {B\,} = 60^\circ .$

Giả sử $MB = x\,\,\left( {x > 0} \right){\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$ Khi đó $QC = x{\rm{\;(cm)}}$ và $MQ = BC - BM - QC = 20 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta MNB$ vuông tại $M,$ ta có: $MN = MB \cdot \tan B = x\tan 60^\circ = x\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là: $S\left( x \right) = \left( {20 - 2x} \right) \cdot x\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right){\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Để diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S\left( x \right)$.

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ cho biểu thức $S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right),$ ta được:

$S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right) \le 2\sqrt 3 \cdot {\left( {\frac{{x + 10 - x}}{2}} \right)^2} = 50\sqrt 3$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 10 - x$ hay $x = 5$.

Vậy $MB = 5{\rm{\;cm}}$ thì hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất.