Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 5

a) $\left( { - 2x + 5} \right)\left( {\frac{3}{4}x - 6} \right) = 0$

$- 2x + 5 = 0$ hoặc $\frac{3}{4}x - 6 = 0$

$- 2x = - 5$ hoặc $\frac{3}{4}x = 6$

$x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = 8$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \frac{5}{2};$ $x = 8$.

b) Điều kiện xác định: $x \ne 2$ và $x \ne - 2.$

$\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}}$

$$\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{4 - 6x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$$

$$\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) = 4 - 6x$$

$${x^2} - 3x + 2 - {x^2} + 2x = 4 - 6x$$

$$- 5x + 2 = 4 - 6x$$

$$6x - 5x = 4 - 2$$

$x = 2$ (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

a) $9x + 7 \ge - 12x - 1$

$9x + 12x \ge - 1 - 7$

$21x \ge - 8$

$x \ge \frac{{ - 8}}{{21}}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x \ge \frac{{ - 8}}{{21}}.$

b) $\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{x - 4}}{4} \le \frac{{3x + 1}}{6} - \frac{{x - 4}}{{12}}$

$$\frac{{4\left( {2x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x - 4} \right)}}{{12}} \le \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{x - 4}}{{12}}$$

$$4\left( {2x + 1} \right) - 3\left( {x - 4} \right) \le 2\left( {3x + 1} \right) - \left( {x - 4} \right)$$

$$8x + 4 - 3x + 12 \le 6x + 2 - x + 4$$

$$5x + 16 \le 5x + 6$$

$$5x - 5x \le 6 - 16$$

$0x \le - 10$.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

a) Với $m \ne 0,$ ta viết phương trình $x + my = n$ về dạng $y = - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}$.

Do đó đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}$ biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn $x + my = n$.

Nghiệm tổng quát của phương trình $x + my = n$ là $\left( {x;\,\, - \frac{1}{m}x + \frac{n}{m}} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý và $m \ne 0.$

b) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( { - 1;1} \right)$ thì $x = - 1,\,\,y = 1$ thỏa mãn hệ phương trình đó.

Thay $x = - 1,\,\,y = 1$ vào hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}mx - ny = 1\\x + my = n\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}m \cdot \left( { - 1} \right) - n \cdot 1 = 1\\\left( { - 1} \right) + m \cdot 1 = n\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} - m - n = 1\\m - n = 1.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$- 2n = 2$ suy ra $n = - 1.$

Thay $n = - 1$ vào phương trình $m - n = 1,$ ta được:

$m - \left( { - 1} \right) = 1,$ suy ra $m = 0$ (không thỏa mãn $m \ne 0).$

Vậy không có cặp số $\left( {m;\,\,n} \right)$ nào thỏa mãn.

Gọi $x,\,\,y$ (calo) lần lượt là số calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga và Jumping jacks $\left( {x > y > 0} \right).$

Theo bài, anh Hoài đã đến phòng tập thể dục và tập Yoga trong 40 phút, sau đó nhảy Jumping jacks trong 10 phút và tiêu hao được tổng cộng 510 calo nên ta có phương trình:

$40x + 10y = 510$ hay $4x + y = 51{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Lần tiếp theo anh Hoài tập 30 phút Yoga và nhảy Jumping jacks trong 20 phút thì tổng lượng calo tiêu hao được là 470 calo nên ta có phương trình

$30x + 20y = 470$ hay $3x + 2y = 47{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 51\\3x + 2y = 47\end{array} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 2, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}8x + 2y = 102\\3x + 2y = 47\end{array} \right.$.

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$5x = 55$, suy ra $x = 11$ (thỏa mãn).

Thay $x = 11$ vào phương trình $4x + y = 51$, ta được:

$4 \cdot 11 + y = 51$ suy ra $y = 7$ (thỏa mãn).

Vậy số calo tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga là 11 calo và số calo tiêu hao trong mỗi phút nhảy Jumping jacks là 7 calo.

a) Số tiền cô Bình phải trả trong $1$ km đầu tiên là $11\,\,000$ đồng.

Số tiền cô Bình phải trả trong $\left( {x - 1} \right)$ km tiếp theo là: $13\,\,000\left( {x - 1} \right)$ (đồng).

Số tiền cô Bình phải trả để đi quãng đường $x$ (km) là: $11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right)$ (đồng).

Theo bài, số tiền cô Bình có trong ví là $450\,\,000$ đồng nên ta có bất phương trình:

$11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right) \le 450\,\,000$.

Vậy từ dữ kiện đề bài, ta viết được bất phương trình: $11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right) \le 450\,\,000$.

b) Giải bất phương trình:

$11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right) \le 450\,\,000$

$11\,\,000 + 13\,\,000x - 13\,\,000 \le 450\,\,000$

$13\,\,000x \le 452\,\,000$

$x \le \frac{{452}}{{13}}\,\,\left( { \approx 34{,}77} \right)$.

Vậy cô Bình có thể đi được tối đa $34$ km.

Đặt: $BC = x\,\,\left( {\rm{m}} \right);$ $AC = AB + BC = 500 + x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $C,$ ta có: $CD = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CAD} = \left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ .$

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C,$ ta có: $CD = BC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CBD} = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$.

Do đó, ta có: $\;\left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$

$500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ + x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$

$\;x \cdot {\rm{tan}}38^\circ - x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ$

$\;x \cdot \left( {{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ } \right) = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ$

$\;x = \frac{{500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ }}{{{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ }} \approx 3\,\,158{,}5\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$

Suy ra $CD = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 3\,\,158{,}5 \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 2468\,\,({\rm{m}}).$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2\,\,468$ mét.

a) Xét $\Delta ABE$ vuông tại $E$ ta có:

$\sin \widehat {ABE} = \frac{{AE}}{{AB}},\,\,\cos \widehat {ABE} = \frac{{BE}}{{AB}},$ $\tan \widehat {ABE} = \frac{{AE}}{{BE}},$ $\cot \widehat {ABE} = \frac{{BE}}{{AE}}.$

b) Do $\frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{2}$ nên $AH = 2HD$

Suy ra $AD = AH + HD = 2HD + HD = 3HD.$

Ta có $HD = \frac{1}{2}HA = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1{\rm{\;(cm)}}$ và $AD = 3HD = 3 \cdot 1 = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có:

⦁ $\tan B = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{3}{2},$ từ đó ta tìm được $\widehat {B\,} \approx 56^\circ 19'$.

⦁ $A{B^2} = A{D^2} + B{D^2} = {3^2} + {2^2} = \sqrt {13} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta HBD$ vuông tại $D$ ta có:

$\tan \widehat {HBD} = \frac{{HD}}{{BD}} = \frac{1}{2},$ từ đó ta tìm được $\widehat {B\,} \approx 26^\circ 34'$.

Suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {B\,} - \widehat {HBD} \approx 56^\circ 19' - 26^\circ 34' = 29^\circ 45'$.

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $E$ ta có:

$BE = AB \cdot \cos \widehat {ABE} \approx \sqrt {13} \cdot \cos 29^\circ 45' \approx 3{,}1{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta HBD$ và $\Delta CAD$ có:

$\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = 90^\circ$ và $\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (do hai góc này cùng cộng với $\widehat {C\,}$ bằng $90^\circ )$

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{HD}}{{CD}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) hay $BD \cdot CD = HD \cdot AD$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$ ta có: $\tan C = \frac{{AD}}{{CD}}.$

Khi đó $\tan B \cdot \tan C = \frac{{AD}}{{BD}} \cdot \frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{A{D^2}}}{{BD \cdot CD}} = \frac{{A{D^2}}}{{HD \cdot AD}} = \frac{{AD}}{{HD}} = \frac{{3HD}}{{HD}} = 3.$

Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $20{\rm{\;cm}}$ nên $BC = 20{\rm{\;cm}}$ và $\widehat {B\,} = 60^\circ .$

Giả sử $MB = x\,\,\left( {x > 0} \right){\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$ Khi đó $QC = x{\rm{\;(cm)}}$ và $MQ = BC - BM - QC = 20 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta MNB$ vuông tại $M,$ ta có: $MN = MB \cdot \tan B = x\tan 60^\circ = x\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là: $S\left( x \right) = \left( {20 - 2x} \right) \cdot x\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right){\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Để diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S\left( x \right)$.

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ cho biểu thức $S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right),$ ta được:

$S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right) \le 2\sqrt 3 \cdot {\left( {\frac{{x + 10 - x}}{2}} \right)^2} = 50\sqrt 3$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 10 - x$ hay $x = 5$.

Vậy $MB = 5{\rm{\;cm}}$ thì hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất.