Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 3

a) $\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)\left( {3 + 5x} \right) = 0$

$\frac{1}{2}x - 1 = 0$ hoặc $3 + 5x = 0$

$\frac{1}{2}x = 1$ hoặc $5x = - 3$

$x = 2$ hoặc $x = - \frac{3}{5}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 2;$ $x = - \frac{3}{5}$.

b) Điều kiện xác định $x \ne 0;\,\,x \ne 3.$

$\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}$

$\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}$

$\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3$

${x^2} + 3x = 3 + x - 3$

${x^2} + 2x = 0$

$x\left( {x + 2} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = - 2$.

a) $\frac{{15 - 6x}}{3} < 5$

$\frac{{15 - 6x}}{3} \cdot 3 < 5 \cdot 3$

$15 - 6x < 15$

$- 6x < 0$

$x > 0$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > 0.$

b) ${\left( {x - 4} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) \ge - 8x + 41$

$${x^2} - 8x + 16 - {x^2} + 25 \ge - 8x + 41$$

$$- 8x + 8x \ge 41 - 16 - 25$$

$0x \ge 0$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \in \mathbb{R}.$

a) Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất hai ẩn thì $2a \ne 0$ hoặc $- \left( {3b + 1} \right) \ne 0,$ tức là $a \ne 0$ hoặc $b \ne - \frac{1}{3}.$

b) Để đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 7;6} \right)$ thì tọa độ điểm $M$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay $x = - 7;\,\,y = 6$ vào phương trình $2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,$ ta được:

$$2a \cdot \left( { - 7} \right) - \left( {3b + 1} \right) \cdot 6 = a - 1$$

$- 14a - 18b - 6 = a - 1$

$- 15a - 18b = 5$ (1)

Để đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( {4; - 3} \right)$ thì tọa độ điểm $N$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay $x = 4;y = - 3$ vào phương trình $2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,$ ta được:

$$2a \cdot 4 - \left( {3b + 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = a - 1$$

$8a + 9b + 3 = a - 1$

$7a + 9b = - 4$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 15a - 18b = 5}\\{7a + 9b = - 4}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2 ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 15a - 18b = 5}\\{14a + 18b = - 8}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$\left( { - 15a - 18b} \right) + \left( {14a + 18b} \right) = 5 + \left( { - 8} \right)$

$- a = - 3$

$a = 3$.

Thay $a = 3$ vào phương trình $7a + 9b = - 4,$ ta có:

$7 \cdot 3 + 9b = - 4$ hay $9b = - 25$ nên $b = - \frac{{25}}{9}.$

Vậy $a = 3$ và $b = - \frac{{25}}{9}.$

Gọi $x$ (đồng) và $y$ (đồng) lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé 1 lượt $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Do giá vé 1 lượt rẻ hơn giá vé khứ hồi là $70{\rm{ }}000$ đồng nên ta có phương trình:

$x - y = 70\,\,000.\,\,\,\left( 1 \right)$

Do trong đoàn $40$ người chỉ có $5$ người mua vé cáp treo $1$ lượt cho lượt xuống nên đã có $40 - 5 = 35$ người mua vé cáp treo khứ hồi.

Khi đó, số tiền cần trả để mua $35$ vé cáp treo khứ hồi và $5$ vé cáp treo 1 lượt là: $35x + 5y$ (đồng).

Theo bài, cả đoàn khách du lịch này đã chi ra $8{\rm{ }}450{\rm{ }}000$ đồng để mua vé nên ta có phương trình:

$35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 70\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình $\left( 1 \right)$ với $5,$ ta được hệ phương trình mới là: $\left\{ \begin{array}{l}5x - 5y = 350\,\,000\\35x + 5y = 8{\rm{ }}450{\rm{ }}000.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$40x = 8\,\,800\,\,000,$ suy ra $x = 220\,\,000$ (thỏa mãn).

Thay $x = 220\,\,000$ vào phương trình $\left( 1 \right),$ ta được:

$220\,\,000 - y = 70\,\,000,$ suy ra $y = 150\,\,000$ (thỏa mãn).

Do đó hệ phương trình trên có nghiệm là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {220\,\,000;\,\,150\,\,000} \right).$

Vậy giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt lần lượt là $200\,\,000$ đồng và $150\,\,000$ đồng.

a) Số câu trả lời sai là: $10 - x$ (câu).

Số điểm người đó có được khi trả lời đúng $x$ (câu) là: $5x$ (điểm).

Số điểm người đó bị trừ khi trả lời sai $10 - x$ (câu) là: $10 - x$ (điểm).

Như vậy, số điểm của người đó sau khi trả lời hết 10 câu hỏi là: $10 + 5x - \left( {10 - x} \right)$ (điểm).

Theo bài, để được dự thi vòng tiếp theo thì người đó cần có tổng số điểm từ 40 điểm trở lên nên ta có bất phương trình:

$10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40.$

Vậy bất phương trình cần tìm là: $10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40.$

b) Giải bất phương trình:

$10 + 5x - \left( {10 - x} \right) \ge 40$

$10 + 5x - 10 + x \ge 40$

$6x \ge 40$

$x \ge \frac{{40}}{6}\,\,\left( { \approx 6{,}666...} \right)$.

Vì $x$ là số nguyên nên $x \ge 7.$

Vậy người dự thi cần phải trả lời chính xác ít nhất 7 câu hỏi thì mới được dự thi ở vòng sau.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

$BC = AC \cdot \cos C$, suy ra $AC = \frac{{BC}}{{\cos C}} = \frac{{1{,}3}}{{\cos 66^\circ }} \approx 3{,}20$ (m).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có: $AB = BC \cdot \tan C = 1{,}3 \cdot \tan 66^\circ \approx 2{,}92$ (m).

Khi đầu $A$ của thang bị trượt xuống $40{\rm{\;cm}} = 0{,}4{\rm{\;m}}$ đến vị trí $D$ thì $DB = AB - AD \approx 2{,}92 - 0{,}4 = 2{,}52$ (m) và chiều dài thang là $DE = AC \approx 3{,}20$ (m).

Xét $\Delta BDE$ vuông tại $B,$ ta có:

$\sin \widehat {DEB} = \frac{{BD}}{{DE}} \approx \frac{{2{,}52}}{{3{,}2}} = 0{,}7875$, suy ra $\widehat {DEB} \approx 51^\circ 57'.$

a) Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K,$ ta có:

$\sin C = \frac{{AK}}{{AC}},\,\,\cos C = \frac{{KC}}{{AC}},$

$\tan C = \frac{{AK}}{{KC}},\,\,\cot C = \frac{{KC}}{{AK}}.$

b) Xét $\Delta AKB$ vuông tại $K,$ ta có: $BK = AK \cdot \cot B.$

Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K,$ ta có: $KC = AK \cdot \cot C.$

Suy ra $BC = BK + KC = AK \cdot \cot B + AK \cdot \cot C$

Do đó $BC = AK \cdot \left( {\cot B + \cot C} \right)$ nên $AK = \frac{{BC}}{{\cot B + \cot C}}.$

c) Kẻ $DI\, \bot \,BD$ tại $D$ $(I$thuộc đường thẳng $BC)$.

Ta có $\widehat {ADN} + \widehat {CDN} = 90^\circ ,\,\,\widehat {CDI} + \widehat {CDN} = 90^\circ .$ Suy ra $\widehat {ADN} = \widehat {CDI}$.

Xét $\Delta ADN$ và $\Delta CDI$ có: $\widehat {DAN} = \widehat {DCI} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ADN} = \widehat {CDI}$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AN}}{{CI}} = \frac{{DN}}{{DI}}$ nên $\frac{{A{D^2}}}{{C{D^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}.$

Xét $\Delta ADC$ vuông tại $D,$ ta có: $\cot \widehat {DAC} = \frac{{AD}}{{DC}}.$

Vì $CKAD$ là hình chữ nhật nên $AD\,{\rm{//}}\,KC$ nên $\widehat {ACB} = \widehat {DAC}$ (so le trong).

Suy ra ${\cot ^2}\widehat {ACB} = {\cot ^2}\widehat {DAC} = {\left( {\frac{{AD}}{{DC}}} \right)^2} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}$.

Ta có: $\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{\frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}}$.

Xét $\Delta BDI$ vuông tại $D,$ theo định lí Pythagore, ta có: $B{I^2} = D{I^2} + D{B^2}$.

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C,$ ta có $\sin \widehat {DBC} = \frac{{CD}}{{BD}}.$

Xét $\Delta BDI$ vuông tại $D,$ ta có $\cos \widehat {DIB} = \frac{{DI}}{{BI}}.$

Lại có $\widehat {DBC} + \widehat {DIB} = 90^\circ$ nên $\sin \widehat {DBC} = \cos \widehat {DIB}$ hay $\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{DI}}{{BI}}.$

Như vậy, $CD \cdot BI = DI \cdot BD.$ Hay $C{D^2} \cdot B{I^2} = D{I^2} \cdot B{D^2}.$

Suy ra $\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{C{D^2} \cdot B{I^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}}.$

Vì $CKAD$ là hình chữ nhật nên $AK = DC.$ Do đó $\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}}.$

Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Số mét rào cần rào ba cạnh còn lại của mảnh vườn là: $2x + y$ (mét).

Diện tích mảnh vườn là: $xy$ (m2).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ ta được:

$$xy = 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} \le 2 \cdot {\left( {\frac{{x + \frac{y}{2}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{2x + y}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{{100}}{2}} \right)^2} = 1\,\,250{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{y}{2}$ và $2x + y = 100$ hay $2 \cdot \frac{y}{2} + y = 100$ tức là $y = 50$, $x = 25.$

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là $1\,\,250{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.$