Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: B

Ta có: $315^\circ .\frac{\pi }{{180^\circ }} = \frac{{7\pi }}{4}.$

Số đo theo đơn vị radian của góc $315^\circ$ là $\frac{{7\pi }}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sin x = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin x = \sin 30^\circ$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 30^\circ + k360^\circ \\x = 150^\circ + k360^\circ \end{array} \right.$.

Vì $90^\circ < x < 180^\circ$ nên $x = 150^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo công thức cộng, ta có: $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $y = \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$.

Điều kiện xác định của hàm số $y = \cot x$là $\sin x \ne 0$ $\Leftrightarrow x \ne k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$.

Do đó, tập xác định $T = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cot x + \sqrt 3 = 0$$\Leftrightarrow \cot x = - \sqrt 3$

$\Leftrightarrow \cot x = \cot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$ $\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 81 \Leftrightarrow q = \pm 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}6{u_1} + 5{u_5} = 28\\{S_4} = 14\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11{u_1} + 20d = 28\\\frac{{\left[ {2{u_1} + 3d} \right].4}}{2} = 14\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11{u_1} + 20d = 28\\2{u_1} + 3d = 7\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = - 3\end{array} \right.$.

Vậy ${u_1} = 8.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left( {ABC} \right) \cap \left( {CDA} \right) = CA$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {CDA} \right)$ là đường thẳng $AC.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BA,BC$.

Do đó, $MN$ là đường trung bình trong tam giác $ABC.$

Nên $MN\parallel AC.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi $G = AN \cap DM$.

Xét tam giác $ACD$, có: $AN,DM$ là các đường trung tuyến của tam giác.

Mà $G = AN \cap DM$ nên $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BG \subset \left( {MBD} \right)\\BG \subset \left( {ABN} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right) = BG.$

Hướng dẫn giải

a) S

b) S

c) Đ

d) Đ

Ta có: $\sin 2x = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Xét trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$, ta có:

Với $0 < - \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \pi$$\Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}$ .

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 1$ và $x = \frac{{11\pi }}{{12}}$.

Với $0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi < \pi$ $\Leftrightarrow - \frac{7}{{12}} < k < \frac{5}{{12}}$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0$ và $x = \frac{{7\pi }}{{12}}$.

Vậy trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ phương trình có 2 nghiệm.

Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ bằng $\frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{{3\pi }}{2}$.

Trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{{11\pi }}{{12}}$.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Ta có: $- 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 1$

$$\Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 3$$

$\Leftrightarrow 9 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 \le 15$.

Do đó, tập giá trị của hàm số $d\left( t \right)$ là $\left[ {9;15} \right].$

b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

$$3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 12$$

$\Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0$ $\Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi$

$$\Leftrightarrow t - 80 = 182k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow t = 80 + 182k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

Do $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < 80 + 182k \le 365\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - \frac{{40}}{{91}} < k \le \frac{{285}}{{182}}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}$

Với $k = 0$ thì $t = 80 + 182.0 = 80;$

Với $k = 1$ thì $t = 80 + 182.1 = 262.$

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì

$$3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 9$$

$$\Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1$$

$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$$\Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

$$\Leftrightarrow t = - 11 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

Do $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < - 11 + 364k \le 365\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\\frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{94}}{{91}}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow k = 1$.

Với $k = 1$ thì $t = - 11 + 364 = 353.$

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

d) Thay $t = 107$ vào $d\left( t \right)$, ta được $d\left( {107} \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {107 - 80} \right)} \right] + 12 \approx 13{,}3$ giờ.

Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

a) Do theo đề bài, ô thứ nhất nhận 1 hạt tóc, ô thứ hai thì gấp đôi ô thứ nhất, ô thứ 3 thì gấp đôi ô thứ hai, … cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô trước và nhận 64 ô.

Do đó số hạt thóc ở 64 ô lập thành một cấp số nhân với ${u_1} = 1;{\rm{ }}q = 2.$

b) Số hạt thóc ở ô thứ 8 sẽ là ${u_8} = {1.2^7} = {2^7} = 128.$

c) Tổng số hạt thóc của 64 ô là:

$S = 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{63}}$$\Rightarrow S = 1.\frac{{1 - {2^{64}}}}{{1 - 2}} = {2^{64}} - 1$ hạt thóc.

Do đó, tổng khối lượng của số hạt thóc trên 64 ô trên bàn cờ là:

$\left( {{2^{64}} - 1} \right).\frac{{20}}{{100}} \approx 3,{689.10^{18}}\left( g \right)$.

Đổi $3,{689.10^{18}}{\rm{ }}g = 3,{689.10^{12}}$ (tấn) $\approx 369$ (tỉ tấn).

Tương tự, ta có khối lượng thóc ở 32 ô đầu tiên là:

$\left( {{2^{32}} - 1} \right).\frac{{20}}{{100}} = 858993459$ (g) $\approx 859$ tấn.

Vậy cần số chuyến là: $859:10 = 85{,}9$ (chuyến).

Vậy cần ít nhất 86 chuyến.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB\parallel CD\end{array} \right.$.

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$.

b) Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng $SO.$

c) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {JIG} \right)\\AB\parallel JI\end{array} \right.$

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IGJ} \right)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $AB$.

Lại có $AB||CD$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IGJ} \right)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $CD$.

d) Theo đề, ta có: $NA = \frac{1}{3}SA \Rightarrow SN = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{{SN}}{{SA}} = \frac{2}{3}$.

Lại có: $SM = \frac{2}{3}SD \Rightarrow \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{2}{3}$ nên $\frac{{SN}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{2}{3}$. Suy ra $MN\parallel AD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {GBC} \right) \cap \left( {GMN} \right)\\MN\parallel AD\\BC\parallel AD\end{array} \right.$

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {GMN} \right)$ và $\left( {GBC} \right)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $AD.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: $- 1{,}5$

Ta có: $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ do đó $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai.

Suy ra $\cos \alpha < 0$ và $\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Ta có: $P = \frac{{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}$

$$P = \frac{{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}$$

$$P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} + \left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}$$

$$P = \frac{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}$$

$$P = 2\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 5 }}{3} \approx - 1{,}5.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 11,3

Ta có: ${S_3} - {S_2} = {u_3}$$\Rightarrow {u_3} = 13 - 4 = 9$$\Rightarrow {u_1}.{q^2} = 9$$\Rightarrow {u_1} = \frac{9}{{{q^2}}}.$

Vì ${S_2} = 4$ nên ${u_1} + {u_1}.q = 4$.

Do đó, $\frac{9}{{{q^2}}} + \frac{9}{{{q^4}}} = 4$ $\Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0$ $\Leftrightarrow q = 3$ hoặc $q = - \frac{3}{4}$.

Do $q < 0$ nên $q = - \frac{3}{4}$ thỏa mãn.

Suy ra ${u_1} = \frac{9}{{{q^2}}} = 16$.

Do đó ${S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{181}}{{16}} \approx 11{,}3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,5

Gọi $F = AB \cap CD$. Nối $F$ với $M$, $FM \cap SC = N$. Khi đó, $N$ là giao điểm của $\left( {ABM} \right)$ và $SC$.

Theo giả thiết, ta có $AD = 2BC$ và $AD\parallel BC$ do đó $BC$ là đường trung bình của tam giác $FAD$.

Suy ra $C$ là trung điểm của $FD$.

Trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ kẻ $CE\parallel NM,{\rm{ }}\left( {E \in SD} \right)$.

Do $C$ là trung điểm $FD$ nên suy ra $E$ là trung điểm $MD$ và $M$ là trung điểm $SE$.

Do $MN\parallel CE$ và $M$ là trung điểm $SE$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCE.$

Từ đó suy ra $N$ là trung điểm $SC$ và $\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 12,5

Để cabin đạt độ cao $40{\rm{ }}m$ thì $h\left( t \right) = 40$

$\Leftrightarrow 30 + 20\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 40$ $\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + 50k\\t = \frac{{25}}{2} + 50k\end{array} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.$

Dễ thấy, giá trị $t > 0$ nhỏ nhất thỏa mãn là $t = 12{,}5$ giây.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2190

Gọi ${u_1};{u_2};.....;{u_{30}}$ lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,…. Và dãy ghế số ba mươi.

Ta có công thức truy hồi, ta có: ${u_n} = {u_{n - 1}} + 4{\rm{ }}\left( {n = 2;3;...;30} \right)$.

Ký hiệu: ${S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ..... + {u_{30}}$, theo công thức tổng các số hạng của số cấp số cộng, ta được: ${S_{30}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2} = \frac{{\left[ {2.15 + 29.4} \right].30}}{2} = 2190$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2

Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, gọi $I = RQ \cap BD.$

Trong $\left( {ABD} \right)$, gọi $S = PI \cap AD \Rightarrow S = AD \cap \left( {PQR} \right).$

Gọi E là trung điểm BR ⇒ R là trung điểm đoạn EC.

Mà Q là trung điểm CD ⇒ RQ là đường trung bình tam giác DEC.

⇒ RQ // DE ⇒ RI // DE.

Xét tam giác BRI có: RI // DE và E là trung điểm BR ⇒ D là trung điểm BI.

Xét tam giác ABI có: AD là đường trung tuyến tương ứng với cạnh BI và IP là đường trung tuyến tương ứng cạnh AB.

Mà IP ∩ AD = {S} ⇒ S là trọng tâm tam giác ABI. Vậy $\frac{{SA}}{{SD}} = 2$.