Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Mệnh đề “Mọi số thực đều có bình phương không âm” nếu dùng ký hiệu toán học sẽ là $\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} \ge 0$.

Chọn A.

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{12}}{2} = 6$.

Diện tích của tam giác $ABC$ là: $S = pr = 6 \cdot 1 = 6$. Chọn C.

Đường thẳng $x - y = 1$ đi qua hai điểm $\left( {0; - 1} \right),\,\,\left( {1;0} \right)$.

Điểm $O\left( {0;0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x - y \le 1$.

Vậy bất phương trình có miền nghiệm như hình vẽ là $x - y \le 1$. Chọn B.

Ta có $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}}} - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$.

Vậy $E = \frac{{\cot \alpha + 3\tan \alpha }}{{2\cot \alpha + \tan \alpha }} = \frac{{\left( {\cot \alpha + 3\tan \alpha } \right)\tan \alpha }}{{\left( {2\cot \alpha + \tan \alpha } \right)\tan \alpha }} = \frac{{1 + 3{{\tan }^2}\alpha }}{{2 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{1 + 3 \cdot \frac{5}{4}}}{{2 + \frac{5}{4}}} = \frac{{19}}{{13}}$. Chọn B.

a) Đúng. Ta có $x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 2$. Do đó $A = \left[ { - 2; + \infty } \right)$.

Ta có $2x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}$. Do đó $B = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$.

b) Đúng.

c) Sai. Vì $A \cap B = \left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right)$.

d) Sai. Ta có $A \cap B = \left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right)$ nên $A \cap B$ có các phần tử nguyên là $- 2; - 1;0$. Do đó số phần tử nguyên của tập hợp$A \cap B$ là 3.

a) Sai. Do $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN = \frac{1}{2}BC$ và $MN\,{\rm{//}}\,BC$.

b) Đúng. Điểm $P$ đối xứng với điểm $M$ qua $N$ nên $MP = 2MN = BC$.

Do đó $\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|$. (1)

c) Sai. Xét nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa $C$, ta có $N$ là trung điểm $AC$ nên $N$ và $C$ cùng phía $AB$ hay cùng phía $MB$, mà $MN\,{\rm{//}}\,BC$, do đó hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng.

d) Đúng. Ta có $P$ đối xứng $M$ qua $N$ nên hai vectơ $\overrightarrow {MP}$ và $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng, dễ thấy $\overrightarrow {MN} \ne \overrightarrow 0$ nên hai vectơ $\overrightarrow {MP}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng. (2)

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC}$.

Bốn ly “Giọt lệ thiên thần” có giá $600\,000$ đồng nên một ly “Giọt lệ thiên thần” có giá $150\,000$đồng.

Ba ly “Giọt lệ ác quỷ” có giá $540\,000$ đồng nên một ly “Giọt lệ ác quỷ” có giá $180\,000$ đồng.

Tổng số tiền phải chi trả của cửa hàng trong một tháng là $17\,000\,000$ đồng.

Để cửa hàng có lãi thì thu nhập của cửa hàng phải lớn hơn $17\,000\,000$ đồng nên ta có:

$150\,000x + 180\,000y > 17\,000\,000$$\Leftrightarrow 15x + 18y > 1\,700$.

Vậy $a = 15\,;\,\,b = 18 \Rightarrow T = 2a + b = 2 \cdot 15 + 18 = 48$.

Đáp án: 48.

Ta có ${P^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = 1 - 2\sin x \cdot \cos x$.

Theo giả thiết: $\sin x + \cos x = 0{,}2 \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = 0{,}04$

$\Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x \cdot \cos x + {\cos ^2}x = 0{,}04 \Rightarrow 1 + 2\sin x \cdot \cos x = 0{,}04$$\Rightarrow 2\sin x \cdot \cos x = - 0{,}96$.

Do đó ${P^2} = 1 + 0{,}96 = 1{,}96 \Rightarrow P = 1{,}4$ (vì $P \ge 0$).

Đáp án: 1,4.

Tổng quãng đường mà phương tiện di chuyển từ $A$ qua $C$ đến $B$ là: $70 + 100 = 170\,{\rm{km}}$.

Thể tích nhiên liệu bị tiêu hao là: $170:20 = 8{,}5$ lít.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos 60^\circ = 7900 \Rightarrow AB = 10\sqrt {79} \,\,\,{\rm{(km)}}$.

Thể tích nhiên liệu bị tiêu hao là: $10\sqrt {79} \,:20 = \frac{{\sqrt {79} }}{2} \approx 4{,}44$ lít.

Thể tích nhiên liệu tiết kiệm được: $8{,}5 - 4{,}44 = 4{,}06$ lít.

Đáp án: 4,06.

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}$, với D là đỉnh của hình vuông ABDC.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\sqrt 2 }^2} + {{\sqrt 2 }^2}} = 2.$

Đáp án: 2.

Giả sử trong mỗi tháng cửa hàng cần làm $x$ kệ sách và $y$ bàn làm việc $(x,y \in \mathbb{N})$.

Từ giả thiết, ta được hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\5x + 10y \le 600\\4x + 3y \le 240\end{array} \right.$.

Mỗi tháng khi bán $x$ kệ sách và $y$ bàn làm việc lợi nhuận thu được là

$F\left( {x;y} \right) = 400x + 750y$ (nghìn đồng).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $F\left( {x;y} \right)$ khi $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác $OABC$ với tọa độ các đỉnh $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;60} \right),B\left( {24;48} \right),C\left( {60;0} \right)$.

Tính giá trị của biểu thức $F$ tại các đỉnh của tứ giác này

$$F\left( {0;0} \right) = 0,\quad F\left( {0;60} \right) = 45000,\quad F\left( {24;48} \right) = 45600,\quad F\left( {60;0} \right) = 24000.$$

So sánh các giá trị thu được của $F$ ta được giá trị lớn nhất cần tìm là $F\left( {24;48} \right) = 45600.$

Vậy trong mỗi tháng cửa hàng cần làm $24$ kệ sách và $48$ bàn làm việc để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

a) Gọi thời gian để 2 tàu gặp nhau tại $C$ là $t$ (giờ, $t > 0$).

Quãng đường $BC$ là $20t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Quãng đường $AC$ là $30t\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$, ta có

$\frac{{BC}}{{\sin \alpha }} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{BC \cdot \sin B}}{{AC}} = \frac{{20t \cdot \sin 124^\circ }}{{30t}} \approx 0{,}5527 \Rightarrow \alpha \approx 34^\circ$.

Vậy tàu $A$ chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu $B$ một góc $34^\circ$.

b) Xét tam giác $ABC$, ta có $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = 180^\circ - \left( {124^\circ + 34^\circ } \right) = 22^\circ$.

Áp dụng định lí sin, ta có

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB \cdot \sin A}}{{\sin C}} \Leftrightarrow 20t \approx \frac{{50 \cdot \sin 34^\circ }}{{\sin 22^\circ }} \Leftrightarrow t \approx 3{,}73$ (giờ).

Vậy sau khoảng $3{,}73$ giờ thì tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$.

Ta có tổng lực tác dụng lên vật: ${\vec F_1} + {\vec F_2} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC}$ (với $C$ là điểm sao cho $AMBC$ là hình bình hành).

Khi đó cường độ lực tác dụng lên vật: $\left| {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = MC$.

Ta có: $MA = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {{{\vec F}_1}} \right| = 400\;{\rm{N}}$, $MB = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = 300\;{\rm{N}}$.

Mặt khác, do $\widehat {AMB} = 90^\circ$ nên $AMBC$ là hình chữ nhật.

Khi đó $MC = \sqrt {M{A^2} + M{B^2}} = \sqrt {{{400}^2} + {{300}^2}} = 500\,\,{\rm{(N)}}$.

Vậy cường độ của lực tác động lên vật bằng 500 N.