Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: D

Đồ thị của hàm số ${x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + {m^2} + 6m = 0\,$ có trục đối xứng là trục $Oy.$

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = \left( {m + 2} \right){x^2}$ có đồ thị đi qua điểm $\left( { - 1\,;\,\,3} \right)$ nên ta có:

$3 = \left( {m + 2} \right) \cdot {\left( { - 1} \right)^2}$ nên $m + 2 = 3$ hay $m = 1.$

Vậy để đồ thị hàm số $y = \left( {m + 2} \right){x^2}$ đi qua điểm $\left( { - 1\,;\,\,3} \right)$ thì $m = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $a = 1\,;\,\,b = - 3\,;\,\,c = 7.$ Do đó $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 7\, = 9 - 28 = - 19.$

Đáp án đúng là: A

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 3;\,\,\,{x_1}{x_2} = 2.$

Đáp án đúng là: A

Số giá trị của mẫu dữ liệu được gọi là cỡ mẫu.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Tần số tương đối về số lượng sách giáo khoa được mượn là:

$\frac{{20}}{{20 + 80 + 70 + 30}} = \frac{{20}}{{200}} = 0{,}1 = 10\%$.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Quan sát biểu đồ, ta thấy thời gian hoàn thành một sản phẩm của công nhân chủ yếu là 18 phút (với 5 công nhân) và 20 phút (với 5 công nhân).

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Không gian mẫu của phép thử là $\Omega = \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6} \right\}$.

Vậy không gian mẫu của phép thử có 6 phần tử.

Đáp án đúng là: B

Hình 1 biểu diễn góc ở tâm $\widehat {AOB}$ vì có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Hình 2 biểu diễn góc nội tiếp $\widehat {DEF}$ vì có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh $DE,\,\,DF$ chứa hai dây cung của đường tròn.

Hình 3, Hình 4 không phải là góc nội tiếp vì có đỉnh không nằm trên đường tròn.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Với một phép quay góc $\alpha$ thì $\alpha$ có thể nhận các giá trị là $0^\circ \le \alpha \le 360^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Theo công thức tính góc của đa giác đều, ta có:

$\widehat {ADB} = \frac{{180^\circ \left( {6 - 2} \right)}}{6} = 120^\circ$.

Tam giác $DBA$ cân tại $D$ nên $\widehat {DAB} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Tương tự, ta tính được $\widehat {DAC} = 36^\circ$.

Vậy $\widehat {BAC} = \widehat {DAB} + \widehat {DAC} = 30^\circ + 36^\circ = 66^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.

Xét phương trình $2{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m - 1 = 0$ với $m$ là tham số.

⦁ Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn $x$ có $a = 2 \ne 0\,;\,\,b = 2m - 1\,;\,\,c = m - 1.$ Do đó ý a) là đúng.

⦁ Phương trình có biệt thức $\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 1} \right) = {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0$ nên phương trình luôn có nghiệm ${x_1},\,{x_2}$ với mọi $m \ne \frac{3}{2}.$ Do đó ý b) là đúng.

⦁ Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{{2m - 1}}{2};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}.$ Do đó ý c) là sai.

⦁ Ta có $4x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + 4x_2^2 = 1$ suy ra $4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 6{x_1}{x_2} = 1$.

Suy ra ${\left( {1 - 2m} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right) = 1$ nên $4{m^2} - 7m + 3 = 0$.

Phương trình này có tổng các hệ số $a + b + c = 4 + ( - 7) + 3 = 0$ nên phương trình này có các nghiệm ${m_1} = 1\,,\,\,{m_2} = \frac{3}{4}$.

Vậy có hai giá trị cần tìm của $m$ là ${m_1} = 1\,,\,\,{m_2} = \frac{3}{4}$. Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Đúng.d) Sai.

⦁ Thể tích hình cầu có bán kính đáy $R$, được tính bằng công thức: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.$

Do đó ý a) là đúng.

⦁ Phần gạo nằm ngang mặt thúng trở xuống có dạng nửa hình cầu có bán kính $\frac{{50}}{2} = 25\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$ Do đó ý b) là sai.

⦁ Phần gạo nằm ngang mặt thúng trở xuống có dạng nửa hình cầu có bán kính $25\,\,{\rm{cm}}$ có thể tích là ${V_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot {25^3} = \frac{{31\,\,250}}{3}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Phần gạo nằm trên miệng thúng có dạng hình nón có chiều cao $15cm$ và bán kính đáy $\frac{{50}}{2} = 25\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$ có thể tích là ${V_2} = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot \pi \cdot {25^2} = 3\,\,125\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Khi đó thể tích gạo trong thúng là $V = {V_1} + {V_2} = \frac{{31\,\,250}}{3}\pi + 3\,\,125\pi = \frac{{60\,\,625}}{3}\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Do đó ý c) là đúng.

⦁ Thể tích lon là $V = \pi \cdot {5^2} \cdot 15 = 375\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$.

Vì lượng gạo chiếm $90\%$ thể tích lon nên thể tích gạo trong mỗi lần lấy là:

$375\pi \cdot 90\% = 337{,}5\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).$

Khi đó mỗi ngày nhà Danh ăn hết số gạo có thể tích là: $337{,}5\pi \cdot 5 = 1687{,}5\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right).$

Vậy với số gạo ở thúng trên thì nhà Danh ăn được số ngày là: $\frac{{\frac{{60\,\,625}}{3}\pi }}{{1687{,}5\pi }} \approx 12$ (ngày).

Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 9.

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là $x$ (ngày; $x \in {\mathbb{N}^*}).$

Khi đó, thời gian đội II làm một mình xong việc là $x + 9$ (ngày)

Trong một ngày, đội I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc); đội II làm được $\frac{1}{{x + 9}}$ (công việc).

Cả hai đội cùng làm thì trong 6 ngày xong việc nên trong một ngày cả hai đội cùng làm được $\frac{1}{6}$ công việc nên ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 9}} = \frac{1}{6}$

$\frac{{6x}}{{6x\left( {x + 9} \right)}} + \frac{{6\left( {x + 9} \right)}}{{6x\left( {x + 9} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 9} \right)}}{{6x\left( {x + 9} \right)}}$

$6x + 6\left( {x + 9} \right) = x\left( {x + 9} \right)$

$$6x + 6x + 54 = {x^2} + 9x$$

${x^2} - 3x - 54 = 0$

$\left( {x - 9} \right)\left( {x + 6} \right) = 0$

$x = - 6$ (loại do $y \in {\mathbb{N}^*}$) hoặc $x = 9$ (TMĐK).

Vậy nếu làm riêng đội I đắp đê xong trong 9 ngày.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 80.

Gọi các số không chia hết cho là $x.$

Theo bài ra ta có $\frac{x}{{x + 24}} = 0{,}7$

$x = 0{,}7\left( {x + 24} \right)$

$0{,}3x = 16{,}8$

$x = 56$

Vậy tập hợp A có $56 + 24 = 80$ (phần tử).

Hướng dẫn giải

Đáp số: 86,6.

Gọi $O$ là vị trí cần đặt đèn. Gọi $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của tam giác đều (như hình vẽ).

Vì $O$ cách đều ba đỉnh $A,\,\,B,\,\,C$ của tam giác đều $ABC$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Suy ra khoảng cách từ vị trí $O$ đến mỗi vị trí $A,\,\,B,\,\,C$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC.$

Do đó $OA = OB = OC = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot 150 = 50\sqrt 3 \approx 86{,}6\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy khoảng cách từ vị trí đặt đèn $O$ đến ba đỉnh của tam giác đều $ABC$ bằng khoảng $86{,}6{\rm{ m}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: 20.

Thể tích khối $\left( {{H_1}} \right)$ là ${V_1} = \pi r_1^2{h_1}$.

Thể tích khối $\left( {{H_2}} \right)$ là ${V_2} = \pi r_2^2{h_2} = \pi \frac{1}{4}r_1^22{h_1} = \frac{1}{2}\pi r_1^2{h_1} = \frac{1}{2}{V_1}$.

Mà ${V_1} + {V_2} = 30$ nên ${V_1} + \frac{1}{2}{V_1} = 30$.

Do đó $\frac{3}{2}{V_1} = 30$ hay ${V_1} = 20\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.$

Vậy thể tích của khối $\left( {{H_1}} \right)$ là $20{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}.$

Hướng dẫn giải

1. a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm để biểu thị dữ liệu. Vì vì số liệu đang ở dạng ở số thực và có phân bố không đều nhau.

b) Hãy chia số liệu làm 4 nhóm trong đó nhóm đầu tiên là $4:00$ đến dưới $4:30$; lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm (làm tròn đến hàng đơn vị).

Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:

A. Tổng số học sinh trong lớp là $n = 13 + 8 + 12 + 3 = 36$.

B. Tỉ lệ thời gian học sinh chạy $1000{\rm{ m}}$ từ $4:00$ đến dưới $4:30$ là $\frac{{13}}{{36}} \approx 36{,}1\%$;

C. từ $4:30$ đến dưới $5:00$ là $\frac{8}{{36}} \approx 22{,}2\%$;

D. từ $5:00$ đến dưới $5:30$ là $\frac{{12}}{{36}} \approx 33{,}3\%$;

A. từ $5:30$ đến dưới $6:00$ là:

B. $100\% - 36{,}1\% - 22{,}2\% - 33{,}3\% \approx 8{,}4\%$.

C. Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:

2. Tập hợp $\Omega = \left\{ {10\,;\,\,11\,;\,\,12\,;\,\,13\,;\,\,14\,;\,\,15\,;\,\,16\,;\,\, \ldots \,;\,\,95\,;\,\,96\,;\,\,97\,;\,\,98\,;\,\,99} \right\}.$

Số phần tử của tập hợp $\Omega$là $n\left( \Omega \right) = 90$.

Xét biến cố $A:$ “Số tự nhiên được viết ra là số tròn chục”.

$A = \left\{ {10\,;\,\,20\,;\,\,30\,;\,\,40\,;\,\,50\,;\,\,60\,;\,\,70\,;\,\,80\,;\,\,90} \right\}$.Khi đó, số phần tử của tập hợp $A$ là $n\left( A \right) = 9$.

Xác suất của biến cố $A$là $p(A) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{90}} = 0{,}1$.

Hướng dẫn giải

a) Vì $MC,\,\,MD$ là tiếp tuyến của $\left( {O\,;\,\,R} \right)$ $\left( {C,\,\,\,D} \right.$ là hai tiếp điểm) nên $MC \bot OC,\,$$\,MD \bot OD.$

Suy ra $\widehat {OCM} = \widehat {ODM} = 90^\circ$ nên $C,\,\,D$ thuộc đường tròn đường kính $OM$.

Vì $H$ là trung điểm của $AB$ và $AB$ là dây của $\left( {O\,;\,\,R} \right)$ nên $OH \bot AB$.

Suy ra $\widehat {OHM} = 90^\circ$ nên $H$ thuộc đường tròn đường kính $OM$.

Vậy $M,\,\,D,\,\,O,\,\,H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $OM$.

b) Vì $MC,\,\,MD$ là tiếp tuyến của $\left( {O\,;\,\,R} \right)$$\left( {C,\,\,\,D} \right.$ là hai tiếp điểm) nên $MO$ là tia phân giác của $\widehat {CMD}$ và $OM$ là tia phân giác của $\widehat {COD}.$

Mặt khác, $\widehat {MCI} = \widehat {CDI}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn ).

và $\widehat {CDI} = \widehat {DCI}$ (tam giác $CDI$ cân tại $I\,)$.

Suy ra $\widehat {MCI} = \widehat {DCI}$ nên $CI$ là tia phân giác của $\widehat {MCD}$.

Ta có $I$ là giao điểm hai đường phân giác trong của tam giác $MCD$ nên $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MCD.$

c) Ta có ${S_{MPQ}} = 2{S_{MPO}} = MP \cdot OC = \left( {MC + CP} \right) \cdot R$.

Mà $MC + CP \ge 2\sqrt {MC.CP} = 2\sqrt {O{C^2}} = 2R$ nên ${S_{MPQ}} \ge 2{R^2}$.

Dấu xảy ra khi $MC = CP = R$ hay $OM = R\sqrt 2$.

Vậy để diện tích tam giác $MPQ$ nhỏ nhất thì $M$ là giao điểm của $\left( {O\,;\,\,R\sqrt 2 } \right)$ và đường thẳng $d.$