Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 2

a) Ta có ${x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\\2 + x \ne 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne 1\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0\\x \ne - 2\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne 1\\x \ne - 2\end{array} \right.$.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $N$ là $x \ne - \,1\,;\,\,x \ne \,1\,;\,\,x \ne - 2$.

b) Với $x \ne - \,1\,;\,\,x \ne \,1\,;\,\,x \ne - 2$, ta có:

$N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}$

$$= \frac{1}{{x + 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{1}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}$$

$$= \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}} + \frac{1}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}$$

$$= \frac{{x - 1 + x + 1 + {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}$$

$$= \frac{{{x^2} + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}$$

$$= \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}.$$

Vậy với $x \ne - 1,$ $x \ne 1$ và $x \ne - 2$ thì $N = \frac{x}{{x + 1}}.$

c) Ta có $\left| x \right| = 2$ suy ra $x = 2$ (TMĐK) hoặc $x = - 2$ (không TMĐK).

Thay $x = 2$ vào biểu thức $N = \frac{x}{{x + 1}},$ ta được: $N = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}.$

Vậy $N = \frac{2}{3}$ khi $\left| x \right| = 2.$

a) Công thức để chuyển đổi $x$ euro sang $y$ đô la Mỹ là $y = 1{,}1052x$.

Công thức tính $y$ theo $x$ này là hàm số bậc nhất của $x$ vì với mỗi giá trị của $x$, ta xác định duy nhất một giá trị của $y$.

b) 200 euro có giá trị là $1{,}1052 \cdot 200 = 210{,}4$ đô la Mỹ.

500 đô la Mỹ có giá trị là $500:1{,}1052 \approx 475{,}3$ euro.

Vậy vào ngày đó, 200 euro có giá trị bằng khoảng 210,4 đô la Mỹ; 500 đô la Mỹ có giá trị bằng khoảng 475,3 euro.

Gọi x (kg) là khối lượng của chất lỏng thứ hai $\left( {x > 0} \right).$

Khối lượng của chất lỏng thứ nhất là $x + 2\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right){\rm{.}}$

Thể tích của chất lỏng thứ nhất là

Thể tích của chất lỏng thứ hai là

Thể tích của hỗn hợp chất lỏng là

Theo đề bài, ta có phương trình:

$\frac{{x + 2}}{{700}} + \frac{x}{{500}} = \frac{{2x + 2}}{{600}}$

$\frac{{x + 2}}{7} + \frac{x}{5} = \frac{{2x + 2}}{6}$

$30\left( {x + 2} \right) + 42x = 35\left( {2x + 2} \right)$

$30x + 60 + 42x = 70x + 70$

$2x = 10$

$x = 5$ (nhận)

Vậy khối lượng của chất lỏng thứ hai là 5 kg.

Trong 50 lần thử, số lần gieo được mặt có số chấm là số chẵn là:

$9 + 5 + 13 = 27$ (lần).

Vậy số lần gieo được mặt có số chấm là số chẵn là 27.

Trong 50 lần thử, số lần gieo được mặt có số chấm là số lẻ là:

$50 - 27 = 23$ (lần).

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt có số chấm là số lẻ” sau 50 lần thử trên là $\frac{{23}}{{50}} = 0{,}46$.

c) Trong 50 lần thử, số lần gieo được mặt có số chấm nhỏ hơn 3 chấm là:

$8 + 9 + 9 = 26$ (lần).

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt có số chấm nhỏ hơn 3 chấm” sau 50 lần thử trên là $\frac{{26}}{{50}} = 0{,}52$.

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CAB$ có:

$$\widehat {ABH} = \widehat {CBA}\;\,\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)$$

$\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó $\mathrm{ΔABH}∽\ \mathrm{ΔCBA}\text{(g.g)}$

b) Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $ABH$ có:

$\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 90^\circ$

$\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 180^\circ - \widehat {AHB} = 90^\circ$

Do đó $\widehat {ACB} = \widehat {BAH}$ (vì cùng phụ với $\widehat {ABC}$)

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CAH$ có:

$\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$; $\widehat {AHB} = \widehat {CHA}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó $\mathrm{ΔABH}∽\ \mathrm{ΔCAH}\text{(g.g)}$.

Suy ra $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$ hay $A{H^2} = HB \cdot HC$ (đpcm).

c) Ta có $AH \bot BC$ mà $DE{\rm{ // }}AH$ nên suy ra $DE \bot BC$.

Gọi $K$ là hình chiếu của $E$ lên $AH$.

Từ đó suy ra tứ giác $EDHK$ là hình chữ nhật có:

• $\widehat {EKH} = 90^\circ$ nên $\widehat {AKE} = 90^\circ$.

• $EK = HD = HA$.

Lại có:

• $\widehat {BAC} = \widehat {BAH} + \widehat {KAE} = 90^\circ$.

• $\widehat {KAE} + \widehat {KEA} = 180^\circ - \widehat {AKE} = 90^\circ$.

Nên suy ra $\widehat {AEK} = \widehat {BAH}$ (vì cùng phụ với $\widehat {KAE}$).

Xét $\Delta AKE$ và $\Delta BHA$ có:

$\widehat {AKE} = \widehat {BHA}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)$; $EK = AH\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)$; $\widehat {AEK} = \widehat {BAH}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)$

Do đó $\Delta AKE = \Delta BHA\;\,\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right)$.

Từ đó suy ra $AE = AB$ (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác $ABC$ ta có:

$B{C^2} = {5^2} = 25;$ $A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25$

Do đó $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}.$

Theo định lý Pythagore đảo thì tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

Vậy hai phần móng đó vuông góc với nhau.

Ta có $SE$ là trung đoạn nên $E$ là trung điểm của $AB$.

Xét $\Delta ABD$ có $E,\,\,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BD$.

Do đó $EH$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ nên $EH = \frac{1}{2}AD = 12\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Xét $\Delta SEH$ vuông tại $H$ có: $S{E^2} = S{H^2} + E{H^2}$

$S{E^2} = {35^2} + {12^2}$

$SE = 37\,\,{\rm{cm}}$.

Vậy độ dài trung đoạn của chậu cây cảnh là 37 cm.

Chiếc bút thứ nhất chọn $1$ trong số $15$ chiếc bút nên có $15$ cách.

Chiếc bút thứ hai chọn $1$ trong $14$ chiếc bút còn lại nên có $14$ cách.

Số cách chọn $2$ chiếc bút là $\frac{{15 \cdot 14}}{2} = 105$ (cách) (cứ mỗi cặp bị lăp lại 2 lần).

Chiếc bút chì chọn $1$ trong $3$ chiếc nên có 3 cách.

Chiếc thứ hai chọn $1$ trong $12$ chiếc bút mực nên có $12$ cách.

Số cách chọn ra $2$ chiếc bút trong đó có $1$ chiếc bút chì và một chiếc bút mực là $3 \cdot 12 = 36$ (cách).

Xác suất của biến cố: “Bạn Tú lấy được $1$ chiếc bút chì và $1$ chiếc bút mực” là $\frac{{36}}{{105}} = \frac{{12}}{{35}}$.