Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 2

1.1.

a) $\frac{x}{{ - 6}} = \frac{3}{4}$

$4x = 3.\left( { - 6} \right)$

$4x = - 18$

$x = \frac{{ - 18}}{4}$

$x = \frac{{ - 9}}{2}$.

Vậy $x = \frac{{ - 9}}{2}$.

b) $\frac{{2x + 1}}{6} = \frac{{3 - x}}{9}$

$9\left( {2x + 1} \right) = 6\left( {3 - x} \right)\\(18x + 6x = 18 - 9$)

$18x + 9 = 18 - 6x$

$24x = 9$

$x = \frac{3}{8}$.

Vậy $x = \frac{3}{8}$.

1.2. Gọi $a$, $b$, $c$ (quyển vở) lần lượt là số quyển vở lớp $7A$, $7B$, $7C$ quyên góp được.

Theo đề, ta có tổng số quyển vở lớp $7A$ và $7B$ quyên góp được nhiều hơn lớp $7C$ là 62 quyển, suy ra $a + b - c = 62$.

Do số quyển vở mỗi lớp quyên góp được tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp đó nên: $\frac{a}{{32}} = \frac{b}{{35}} = \frac{c}{{36}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: $\frac{a}{{32}} = \frac{b}{{35}} = \frac{c}{{36}} = \frac{{a + b - c}}{{32 + 35 - 36}} = \frac{{62}}{{31}} = 2$.

Suy ra $a = 32.2 = 64$; $b = 35.2 = 70$; $c = 36.2 = 72$.

Vậy số quyển vở lớp $7A$, $7B$, $7C$ quyên góp được lần lượt là 64 quyển vở; 70 quyển vở và 72 quyển vở.

2.1. Thay $x = - 1;y = 1;z = - 1$ vào biểu thức $A = \frac{{x - 2y - z}}{2}$, ta được:

$A = \frac{{ - 1 - 2.1 - \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{{ - 1 - 2 + 1}}{2} = - 1$.

Vậy giá trị của biểu thức $A = - 1$.

2.2. a) $A\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} - 1 + \frac{3}{5}x + 4{x^2} + \frac{5}{4}{x^3} - \frac{8}{5}x + 4 + 7{x^2}$

$= \left( {\frac{3}{4} + \frac{5}{4}} \right){x^3} + \left( {4 + 7} \right){x^2} + \left( {\frac{3}{5} - \frac{8}{5}} \right)x - 1 + 4$

$= 2{x^3} + 11{x^2} - x + 3$.

b) Thay $x = - 1$ vào $A\left( x \right)$, ta được: $A\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^3} + 11.{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 3 = - 2 + 11 + 1 + 3 = 13$.

Vậy giá trị của $A = 13$ khi $x = - 1$.

c) Ta có $B\left( x \right) - C\left( x \right) = A\left( x \right)$.

Suy ra $C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)$

$= 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3 - \left( {2{x^3} + 11{x^2} - x + 3} \right)$

$= 2{x^3} + 12{x^2} - 3x + 3 - 2{x^3} - 11{x^2} + x - 3$

$= {x^2} - 2x$.

Để tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$, ta cho $C\left( x \right) = 0$

Do đó ${x^2} - 2x = 0$ hay $x\left( {x - 2} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = 2$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ là $x \in \left\{ {0;2} \right\}$.

a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:

$M = \left\{ {5;6;7;....;23;24} \right\}$.

Do đó, có 20 kết quả có thể xảy ra.

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố $N$ là: $5;7;9;....;21;23.$

Do đó, có $\left( {23 - 5} \right):2 + 1 = 10$ kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Vậy xác suất của biến cố $N$ là $\frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}$.

c) Các kết quả thuận lợi cho biến cố $P$ là: $6;8;12;16;24$.

Do đó, có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Vậy xác suất của biến cố $P$ là $\frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}.$

a) Thể tích khoảng không bên trong lều là: $\frac{1}{2}.1{,}5.4.5 = 15{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)$.

b) Diện tích bạt cần để dựng lều là tổng diện tích hai mặt bên và hai mặt đáy của hình lăng trụ đứng tam giác.

Do đó, diện tích bạt cần dùng để dựng lều là: $2.2{,}5.5 + 2.\frac{1}{2}.1{,}5.4 = 31{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

a) Xét $\Delta OAE$ và $\Delta OBF$, có:

$\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ$

$OA = OB$ (giả thiết)

$\widehat {AOB}$ là góc chung

Do đó, $\Delta OAE = \Delta OBF$ (cgv – gn)

Suy ra $OE = OF$ (hai cạnh tương ứng)

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho $\Delta EIF$, ta được: $EF < EI + IF$.

Mà $2EM = EF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$)

Suy ra $2EM < EI + IF.$

Vậy $EM < \frac{{EI + IF}}{2}.$

c) Xét $\Delta EOF$ có hai đường cao $FB$ và $AE$ cắt nhau tại $I$.

Suy ra $I$ là trực tâm của $\Delta OEF.$

Do đó, $OI \bot EF$ (1)

Xét $\Delta OEM$ và $\Delta OFM$, có:

$OM$ là cạnh chung

$ME = MF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$)

$OE = OF$ (câu a)

Do đó, $\Delta OEM = \Delta OFM$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat {OME} = \widehat {OMF}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ$ hay $OM \bot EF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O,I,M$ thẳng hàng.

Gọi số công nhân của ba đội I, II, III lần lượt là $x;y;z$ $\left( {x;y;z \in {\mathbb{N}^*}} \right)$, đơn vị: công nhân.

Theo đề bài, sau khi bớt đi 1 công nhân thì đội I còn lại $x - 1$ (công nhân)

sau khi bớt đi 2 công nhân thì đội II còn lại $y - 2$ (công nhân)

sau khi thêm 3 công nhân thì đội III có $z + 3$ (công nhân)

Mà, lúc này số công nhân đội I, II, III lần lượt tỉ lệ nghịch với $3;4;2$.

Do đó, ta có: $3\left( {x - 1} \right) = 4\left( {y - 2} \right) = 2\left( {z + 3} \right)$ hay $\frac{{x - 1}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{{y - 2}}{{\frac{1}{4}}} = \frac{{z + 3}}{{\frac{1}{2}}}$.

Lại có $x + y + z = 104$ (công nhân)

Từ đây, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{x - 1}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{{y - 2}}{{\frac{1}{4}}} = \frac{{z + 3}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{x - 1 + y - 2 + z + 3}}{{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{{13}}{{12}}}} = \frac{{104}}{{\frac{{13}}{{12}}}} = 96$

Suy ra $\frac{{x - 1}}{{\frac{1}{3}}} = 96$ nên $x = 33$; $\frac{{y - 2}}{{\frac{1}{4}}} = 96$ nên $y = 26$; $\frac{{z + 3}}{{\frac{1}{2}}} = 96$ nên $z = 45$.

Vậy, số công nhân của các đội I, II, III lần lượt là 33 công nhân, 26 công nhân và 45 công nhân.