Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 1

1.1. a) $\frac{5}{{ - 3}} = \frac{x}{9}$

$- 3x = 5.9$

$- 3x = 45$

$x = 45:\left( { - 3} \right)$

$x = - 15$

Vậy $x = - 15$.

b) $\frac{{x - 3}}{7} = \frac{3}{{10}}$

$10\left( {x - 3} \right) = 3.7$

$10x - 30 = 21$

$10x = 51$

$x = \frac{{51}}{{10}}$

Vậy $x = \frac{{51}}{{10}}$.

1.2. Gọi số tiền lãi ba công ty $A,B,C$ nhận được lần lượt là $x,y,z$ (triệu đồng).

Do số tiền lãi nhận được chia theo tỉ lệ góp vốn mà số tiền góp vốn của ba công ty $A,B,C$ lần lượt tỉ lệ với ba số $7;9;8$ nên $\frac{x}{7} = \frac{y}{9} = \frac{z}{8}$.

Tổng số tiền lãi ba công ty có là $1{,}2$ tỉ đồng (1 200 triệu đồng) nên $x + y + z = 1\,\,200$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{7} = \frac{y}{9} = \frac{z}{8} = \frac{{x + y + z}}{{7 + 9 + 8}} = \frac{{1200}}{{24}} = 50$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 7.50 = 350\\y = 9.50 = 450\\z = 8.50 = 400\end{array} \right.$

Vậy số tiền lãi ba công ty $A,B,C$ nhận được lần lượt là 350 triệu đồng, 450 triệu đồng, 400 triệu đồng.

2.1. Thay $x = - 4$ và $y = 2$ vào biểu thức $A = 2x + 3{y^2} - 12$, ta được:

$A = 2.\left( { - 4} \right) + {3.2^2} - 12 = - 8$.

Vậy $A = - 8$.

2.2. a) $A\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - x - 4 + 4{x^2} - x$

$= {x^3} + \left( { - 3{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( { - x - x} \right) - 4$

$= {x^3} + {x^2} - 2x - 4$.

$$B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 5x - {x^2} + 6 + {x^3} - {x^4}$$

$= \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + {x^3} + \left( {2{x^2} - {x^2}} \right) - 5x + 6$

$= {x^3} + {x^2} - 5x + 6$.

b) Đa thức $A\left( x \right)$ có bậc là 3 và hệ số cao nhất là 1.

c) $M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)$

$M\left( x \right) = \left( {{x^3} + {x^2} - 2x - 4} \right) - \left( {{x^3} + {x^2} - 5x + 6} \right)$

$= {x^3} + {x^2} - 2x - 4 - {x^3} - {x^2} + 5x - 6$

$= \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 2x + 5x} \right) + \left( { - 4 - 6} \right)$

$= 3x - 10$

Ta có $M\left( x \right) = 0$ tức là $3x - 10 = 0$, suy ra $x = \frac{{10}}{3}$.

Vậy đa thức $M\left( x \right)$ có nghiệm là $x = \frac{{10}}{3}$.

a) Biến cố chắc chắn là biến cố $M$: “Tổng các số ghi trên hai quả bóng lớn hơn 2”, vì hai số nhỏ nhất ghi trên mỗi quả bóng lấy từ hai hộp lần lượt là $1$ và $2$ nên tổng các số gho trên hai quả bóng nhỏ nhất là $3$, chắc chắn lớn hơn $2.$

Biến cố không thể là biến cố $P$: “Chênh lệch giữa hai số ghi trên hai quả bóng bằng 10”. Vì chênh lệch lớn nhất giữa hai số lấy được trên mỗi quả bóng từ hai hộp là 9, khi hộp $A$ lấy được số 1 và hộp $B$ lấy được số $10$.

b) Trong năm quả bóng từ hộp $A$ ghi các số $1;3;5;7;9$ có ba số nguyên tố là $3;5;7$.

Do đó, xác suất của biến cố $Q$ là $\frac{3}{5}.$

c) Trong năm quả bóng từ hộp $B$ ghi các số $2;4;6;8;10$ có các số là ước của $16$ là: $2;4;8$.

Do đó, xác suất của biến cố $P$ là $\frac{3}{5}.$

a) Phần thể tích ngôi nhà bằng tổng thể tích phần hình hộp chữ nhật có kích thước ${\rm{20 m}}{\rm{, 15 m}}{\rm{, 8 m}}$và hình lăng trụ đứng tam giác có kích thước chiều cao là $20{\rm{ m}}$, cạnh đáy là ${\rm{15 m}}{\rm{,}}$ chiều cao đáy là ${\rm{7 m}}$.

Vậy thể tích phần không gian được giới hạn bởi ngôi nhà là:

$15.20.8 + \frac{1}{2}.7.15.20 = 3{\rm{ }}450{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)$

b) Diện tích xung quanh của ngôi nhà là: $2\left( {15 + 20} \right).8 + 2.\frac{1}{2}.7.15 = 665{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích tường cần sơn là: $665 - 25 = 640$ (m2)

Số lít sơn cần mua là: $640:8 = 80$ (lít)

a) Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ$;

$AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$);

$\widehat {BAC}$ là góc chung.

Do đó $\Delta ADB = \Delta AEC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AD = AE$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB = AC$ (chứng minh trên)

Nên $AB - AE = AC - AD$ hay $BE = CD$.

b) Do $\Delta ADB = \Delta AEC$ (câu a) nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (hai góc tương ứng)

Xét $\Delta BHE$ và $\Delta CHD$ có:

$\widehat {BEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ$;

$BE = CD$ (chứng minh câu a);

$\widehat {EBH} = \widehat {DCH}$(chứng minh trên).

Do đó $\Delta BHE = \Delta CHD$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $HB = HC$ (hai cạnh tương ứng)

Tam giác $HBC$ có $HB = HC$ nên là tam giác cân tại $H$.

Xét $\Delta HDC$ vuông tại $D$ có $HC$ là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.

Do đó $HC > HD$.

Mà $HB = HC$ (chứng minh trên) nên $HB > HD.$

c) Gọi $P$ là giao điểm của $HI$ và $BC$.

$\Delta HBC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $I$.

Do đó $I$ là trọng tâm của $\Delta HBC$ nên $HP$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $H$ của tam giác.

Mà $\Delta HBC$ cân tại $H$ nên đường trung tuyến $HP$ đồng thời là đường cao của tam giác.

Suy ra $HP \bot BC$ hay $HI \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\Delta ABC$ có $H$ là giao điểm của hai đường cao $BD$ và $CE$ nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

Do đó $AH \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra ba điểm $A,H,I$ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $P$.

Hay ba điểm $A,H,I$ thẳng hàng.

Gọi số đất dự định phân chia cho ba đội I, II, III lần lượt là $a;b;c$ và số đất sau khi thay đổi đã chia lại cho ba đội lần lượt là $a';b';c'$ $\left( {a,b,c,a',b',c' > 0,{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

Gọi tổng số đất đã phân chia cho các đội là $k{\rm{ }}\left( {k > 0,{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

Theo đề, dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III với tỉ lệ $7;6;5$ nên ta có:

$\frac{a}{7} = \frac{b}{6} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{18}} = \frac{k}{{18}}$.

Do đó, ta suy ra $a = \frac{{7k}}{{18}};b = \frac{{6k}}{{18}};c = \frac{{5k}}{{18}}$ (1)

Sau khi chia số đất ba đội tỉ lệ với $6;5;4$ nên ta có: $\frac{{a'}}{6} = \frac{{b'}}{5} = \frac{{c'}}{4} = \frac{{a' + b' + c'}}{{15}} = \frac{k}{{15}}$.

Do đó, suy ra $a' = \frac{{6k}}{{15}};b = \frac{{5k}}{{15}};c = \frac{{4k}}{{15}}$ (2)

So sánh (1) và (2), ta nhận thấy $a < a';{\rm{ }}b = b';{\rm{ }}c > c'$.

Suy ra đội I nhận nhiều hơn so với dự định.

Từ đây, ta có: $a - a' = 6$ hay $\frac{{6k}}{{15}} - \frac{{7k}}{{18}} = 6$ hay $k\left( {\frac{6}{{15}} - \frac{7}{{18}}} \right) = 6$ suy ra $k = 540$.

Do đó, số đất đã chia theo dự định là:

$a = \frac{{7k}}{{18}} = \frac{{7.540}}{{18}} = 210;{\rm{ }}b = \frac{{6k}}{{18}} = \frac{{6.540}}{{18}} = 180;{\rm{ }}c = \frac{{5k}}{{18}} = \frac{{5.540}}{{18}} = 150$.

Vật theo dự định, đội I được chia 210 m3 đất, đội II được chia 180 m3 đất và đội III được chia 150 m3 đất.