Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: D

Ta có $f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} - 2.\left( { - 2} \right) + 1 = 9$; $f\left( 0 \right) = 3.0 + 2 = 2$.

Suy ra $f\left( { - 2} \right) - f\left( 0 \right) = 7$.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

$f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 13x + 16} = 6 - x$ ta được

$2{x^2} - 13x + 16 = 36 - 12x + {x^2}$$\Leftrightarrow {x^2} - x - 20 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 2;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$.

Có $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.\left( { - 2} \right) + 2.1 = 0$. Do đó ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left( P \right):{y^2} = 16x$$\Rightarrow p = 8$.

Suy ra phương trình đường chuẩn là $x = - 4$.

Đáp án đúng là: D

Bình có $4 + 5 = 9$ cách chọn một cây bút để tặng bạn.

Đáp án đúng là: D

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 quyển sách là $C_{12}^5$ (cách).

Đáp án đúng là: C

${\left( {a + b} \right)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}$.

Đáp án đúng là: B

$\overline A$: “3 quả cầu không có quả màu đỏ”.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $x \ge 2,x \in \mathbb{N}$.

Ta có $C_x^2 = 55$$\Leftrightarrow \frac{{x!}}{{2!\left( {x - 2} \right)!}} = 55$$\Leftrightarrow \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} = 55$$\Leftrightarrow {x^2} - x - 110 = 0$$\Leftrightarrow x = 11$.

Đáp án đúng là: A

Gọi biến cố $\overline A$: “Không chọn học sinh nam”.

Suy ra $n\left( {\overline A } \right) = C_{10}^4 = 210$.

Suy ra $n\left( A \right) = C_{17}^4 - 210 = 2170$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) ${x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25$.

Suy ra đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {4;3} \right);R = 5$.

b) Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $\Delta :x - 2y + 1 = 0$ ta được:

$1 - 2.1 + 1 = 0$ (đúng). Do đó $M\left( {1;1} \right) \in \Delta$.

c) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right) = - \left( { - 1;2} \right) = - \overrightarrow n$.

Suy ra $\overrightarrow n$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$.

Mà $d//\Delta$ nên $\overrightarrow n$ là một vectơ pháp tuyến của $d$.

d) Vì tiếp tuyến $\Delta '$ của $\left( C \right)$ song song với $\Delta$ nên $\Delta '$ có dạng $x - 2y + c = 0\left( {c \ne 1} \right)$.

Vì $d\left( {I,\Delta '} \right) = R$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {4 - 2.3 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 5$$\Leftrightarrow \left| { - 2 + c} \right| = 5\sqrt 5$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 + c = 5\sqrt 5 \\ - 2 + c = - 5\sqrt 5 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 5\sqrt 5 + 2\\c = - 5\sqrt 5 + 2\end{array} \right.$ (thoảm mãn).

Vậy có hai đường thẳng tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ mà song song với $\Delta$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Số phần tử của không gian mẫu bằng $C_{12}^5$.

b) Để lấy được 5 viên bi cùng màu thì 5 viên bi lấy được có màu xanh.

Do đó số phần tử của biến cố “5 viên bi lấy ra cùng màu” là $C_6^5$.

c) Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra không có bi vàng” là $P = \frac{{C_{10}^5}}{{C_{12}^5}} = \frac{7}{{22}}$.

d) Xác suất của biến cố “5 viên bi lấy ra có ít nhất một bi vàng” là $P = 1 - \frac{7}{{22}} = \frac{{15}}{{22}}$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −1

Ta có $- {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - {m^2} + m < 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1 < 0\\\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} + \left( { - {m^2} + m} \right) < 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1 < 0\\\Delta ' = 3m + 1 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1 < 0\\m < - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \frac{1}{3}$.

Mà $m$ là số nguyên âm lớn nhất nên $m = - 1$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −2

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3} \right) = - \left( { - 2; - 3} \right) = - \overrightarrow n$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.

Vì $d'//d$ nên $\overrightarrow n = \left( { - 2; - 3} \right)$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d'$.

Do đó $a = - 2$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 24

Số miếng nhựa của hộp đồ chơi là: $4.3.2 = 24$ (miếng).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3,75

Quỹ đạo của quả bóng là một phần parabol có dạng: $h\left( t \right) = a{t^2} + bt$.

Khi $t = 2$ quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 8m.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\4a + 2b = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 8\end{array} \right.$. Do đó $h\left( t \right) = - 2{t^2} + 8t$.

Khi $h = 1{,}875$ thì $- 2{t^2} + 8t = 1{,}875$$\Leftrightarrow t = 0{,}25$ hoặc $t = 3{,}75$.

Vậy khi $t = 3{,}75$ giây thì độ cao của quả bóng khi rơi xuống bằng 1,875 m.

Hướng dẫn giải

Giả sử đường tròn tác động $\left( C \right)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $I\left( {a;b} \right)$.

Vì $\left( C \right)$ đi qua hai điểm $K\left( { - 3;10} \right)$ và $N\left( {8;0} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}6a - 20b + c = - 109\\ - 16a + c = - 64\end{array} \right.$ (1).

Lại có $IG = 4\sqrt {10}$ nên ${\left( {9 - a} \right)^2} + {\left( { - \frac{{17}}{4} - b} \right)^2} = 160$ (2).

Từ $\left\{ \begin{array}{l}6a - 20b + c = - 109\\ - 16a + c = - 64\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{c + 64}}{{16}}\\b = \frac{{11c}}{{160}} + \frac{{133}}{{20}}\end{array} \right.$ thay vào (2), ta được

${\left( {9 - \frac{{c + 64}}{{16}}} \right)^2} + {\left( { - \frac{{17}}{4} - \frac{{11c}}{{160}} - \frac{{133}}{{20}}} \right)^2} = 160$$\Leftrightarrow {\left( {5 - \frac{c}{{16}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{109}}{{10}} + \frac{{11c}}{{160}}} \right)^2} = 160$

$\Leftrightarrow 25 - \frac{{10}}{{16}}c + \frac{{{c^2}}}{{256}} + \frac{{11881}}{{100}} + \frac{{1199}}{{800}}c + \frac{{121}}{{25600}}{c^2} = 160$$\Leftrightarrow \frac{{221}}{{25600}}{c^2} + \frac{{699}}{{800}}c - \frac{{1619}}{{100}} = 0$

$\Leftrightarrow c = 16$ hoặc $c = \frac{{ - 25904}}{{221}}$.

Vì $I$ có hoành độ dương nên $c = 16$. Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = \frac{{31}}{4}\end{array} \right.$.

Do đó bán kính của đường tròn $\left( C \right)$ là $R = \sqrt {{5^2} + {{\left( {\frac{{31}}{4}} \right)}^2} - 16} \approx 8{,}31$ km.

Hướng dẫn giải

Ta có ${\left( {2{x^2} - 1} \right)^4} = {\left( {2{x^2}} \right)^4} - 4.{\left( {2{x^2}} \right)^3} + 6.{\left( {2{x^2}} \right)^2} - 4.2{x^2} + 1$

$= 16{x^8} - 32{x^6} + 24{x^4} - 8{x^2} + 1$.

Suy ra $x{\left( {2{x^2} - 1} \right)^4} = 16{x^9} - 32{x^7} + 24{x^5} - 8{x^3} + x$.

Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển bằng 24.

Hướng dẫn giải

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu $\Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{30}^{10}$.

Gọi $A$ là biến cố “Chọn được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10”.

Từ 1 đến 30 có 15 số lẻ, 12 số chẵn không chia hết cho 10 và 3 số chia hết cho 10.

Lấy ra 5 thẻ mang số lẻ có $C_{15}^5$ cách.

Lấy ra 4 thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 có $C_{12}^4$ cách.

Lấy ra 1 thẻ mang số chia hết cho 10 có 3 cách.

Do đó $n\left( A \right) = 3C_{15}^5C_{12}^4$.

Suy ra $P\left( A \right) = \frac{{3C_{15}^5C_{12}^4}}{{C_{30}^{10}}} = \frac{{99}}{{667}}$.