Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, $\frac{2}{x} + \frac{y}{3} - 2 = 0$ không là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: D

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$.

Do đó, hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\x - 3{y^2} = 4\end{array} \right.$ không là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó, chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $x + 3 \ne 0$ khi $x \ne - 3$ và $x - 4 \ne 0$ khi $x \ne 4$ nên điều kiện xác định của phương trình đã cho là $x \ne - 3$ và $x \ne 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bất đẳng thức diễn tả khẳng định “$n$ nhỏ hơn $\frac{3}{5}$” là $n < \frac{3}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của biểu thức $A = \sqrt {1 - 2x}$ là $1 - 2x \ge 0$ hay $x \le \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ với $A \ge 0,\,\,B > 0$.

Do đó, chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {1^2}}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2} = \sqrt 3 + 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}$ nên $AB = BC \cdot \cos B.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $\alpha + \beta = 90^\circ$ nên $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau.

Do đó, $\tan \alpha = \cot \beta .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điểm $M$ nằm trên đường tròn $\left( {O;\,\,R} \right)$ nếu $OM = R.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cho hai đường tròn $\left( {O;\,\,2{\rm{ cm}}} \right)$ và $\left( {O';\,\,5{\rm{ cm}}} \right)$ tiếp xúc ngoài thì $OO' = 2 + 5 = 7{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho hai đường tròn đồng tâm $O$ có bán kính lần lượt là $R$ và $r{\rm{ }}\left( {R > r} \right).$ Diện tích phần nằm giữa hai đường tròn này – hình vành khăn được tính theo công thức $S = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

• Gọi $x,\,\,y$ (giờ) lần lượt là số giờ tổ I, tổ II làm riêng để hoàn thành toàn bộ công việc $\left( {x,\,\,y > 0} \right).$

Trong 1 giờ, tổ I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc); tổ II làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Khi đó, trong 1 giờ, cả hai tổ làm được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (công việc).

Do đó, ý a) là đúng.

• Trong 3 giờ, tổ I làm được $\frac{3}{x}$ (công việc).

Trong 5 giờ, tổ II làm được $\frac{5}{y}$ (công việc).

Do đó, ý b) là đúng.

• Theo bài, nếu cả hai tổ cùng làm thì sau $15$ giờ xong công việc nên trong 1 giờ cả hai tổ làm chung được $\frac{1}{{15}}$ (công việc). Ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}$ (1)

Theo bài, tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ thì hoàn thành được $25\% = \frac{1}{4}$ công việc nên ta có phương trình: $\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

• Từ phương trình thứ nhất, ta được: $\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}$.

Thế $\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}$ vào phương trình thứ hai, ta được:

$3\left( {\frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}} \right) + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ hay $\frac{1}{5} + \frac{2}{y} = \frac{1}{4}$, suy ra $\frac{2}{y} = \frac{1}{{20}}$ nên $y = 40$ (thỏa mãn).

Thay $y = 40$ vào phương trình $\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}$, ta được:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{40}}$ hay $\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}$, suy ra $x = 24$ (thỏa mãn).

Vậy tổ I làm riêng trong 24 giờ sẽ hoàn thành công việc, tổ II làm riêng trong 40 giờ sẽ hoàn thành công việc.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

• Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông $ABC$, có:

$AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272{,}22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Do đó, ý a) là sai.

• Do người đó có tầm mắt $1{,}65{\rm{ m}}$ nên chiều cao của tòa nhà là:

$272{,}22 - 1{,}65 = 270{,}57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tòa nhà cao khoảng $270{,}57{\rm{ m}}$.

Do đó, ý b) là sai.

• Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở $E$ đến chân tòa nhà là độ dài đoạn $EA$.

Xét tam giác vuông $EAD$, ta có:

$$EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93{,}26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$$

Do đó, ý c) là đúng.

• Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là $93{,}26 - 48 = 45{,}26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau một khoảng $45{,}26{\rm{ m}}$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Ta có: Điều kiện xác định: $x \ne 0,{\rm{ }}x \ne 3$.

Ta có: $\frac{{2x - 5}}{{x - 3}} - \frac{1}{x} = \frac{{6x + 3}}{{{x^2} - 3x}}$

$\frac{{\left( {2x - 5} \right)x}}{{\left( {x - 3} \right)x}} - \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{6x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}}$

$\frac{{2{x^2} - 5x - x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}} = \frac{{6x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}}$

$2{x^2} - 5x - x + 3 = 6x + 3$

$2{x^2} - 5x - x + 3 - 6x - 3 = 0$

$2{x^2} - 12x = 0$

$2x\left( {x - 6} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$(loại) hoặc $x = 6$(TM).

Vậy $x = 6$ là nghiệm của phương trình.

Vậy có 1 giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −16

Ta có: $\frac{{x + 1}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} \ge 4$

$$\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{6} - \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{6} \ge 4$$

$$\frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x - 2} \right)}}{6} - 4 \ge 0$$

$$\frac{{8 - x - 24}}{6} \ge 0$$

$$\frac{{ - x - 16}}{6} \ge 0$$

$$- x - 16 \ge 0$$

$x \le - 16$.

Do đó, giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là $x = - 16$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −0,6

Điều kiện xác định: $x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 16$.

Thay $x = \frac{1}{{16}}$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}$, ta được:

$B = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 2}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 4}} = \frac{{\frac{1}{4} + 2}}{{\frac{1}{4} - 4}} = \frac{9}{4}:\left( { - \frac{{15}}{4}} \right) = \frac{{ - 9}}{{15}} = \frac{{ - 3}}{5} = - 0{,}6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3,6

Công thức tính độ dài của cung tròn $n^\circ$ trên đường tròn bán kính $R{\rm{\;(cm)}}$ là: $l = \frac{n}{{180}} \cdot \pi R{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Suy ra $R = \frac{{180l}}{{n\pi }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Thay $n = 50,\,\,l = \pi {\rm{\;(cm)}}$ ta được: $R = \frac{{180 \cdot \pi }}{{50 \cdot \pi }} = 3{,}6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy bán kính của đường tròn đó là $3{,}6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Với $x > 0,{\rm{ }}x \ne 1$ ta có:

$P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

$$= \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$$

$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$.

Vậy với $x > 0,{\rm{ }}x \ne 1$ ta có $P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.$

b) Ta có $P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$.$BC$

Theo đề, để $2P = 2\sqrt x + 5$ thì $\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + 5$

Suy ra $2\sqrt x + 2 = 2x + 5\sqrt x$ hay $2x + 3\sqrt x - 2 = 0$ do đó $\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right) = 0$

Suy ra $\sqrt x + 2 = 0$ hoặc $\sqrt x - \frac{1}{2} = 0$.

Do đó, $\sqrt x = - 2$ (vô lí) hoặc $\sqrt x = \frac{1}{2}$.

Suy ra $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy $x = \frac{1}{4}$ thì $2P = 2\sqrt x + 5$.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta OBC$ cân tại $O$ (do $OC = OB = R$) nên đường trung tuyến $OK$ cũng là đường cao của $\Delta OBC.$ Suy ra $OK \bot BC$ hay $OD \bot BC$.

Xét nửa đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB,$ có $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ACB} = 90^\circ .$

Vậy $\Delta ABC$ vuông tại $C$.

b) Xét $\Delta OBC$ cân tại $O$ (do $OC = OB = R$) nên đường trung tuyến $OK$ cũng là đường phân giác của $\Delta OBC.$ Do đó $\widehat {BOD} = \widehat {COD}.$

Xét $\Delta CDO$ và $\Delta BDO$ có:

$OD$ là cạnh chung; $\widehat {BOD} = \widehat {COD}$; $OB = OC$

Do đó $\Delta CDO = \Delta BDO$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {DCO} = \widehat {DBO} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng).

Như vậy, $OC \bot DC$ tại $C$ thuộc $\left( O \right)$ hay $DC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

c) Gọi $F$ là giao điểm của $BC,\,\,AE.$

Ta có: $IC \bot AB$ và $AF \bot AB$, suy ra $IC\,{\rm{//}}\,AF$ hay $IC\,{\rm{//}}\,EF$.

Xét $\Delta BEF$, có: $\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IB}}{{EB}}$ (Hệ quả định lí Thalès) (1)

Xét $\Delta BAE$, có: $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{IB}}{{EB}}$ (Hệ quả định lí Thalès) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IH}}{{EA}}$, mà $IC = IH$ (do $I$ là trung điểm của $CH)$ nên $EF = EA$ hay $E$ là trung điểm của $AF.$

Ta có $\widehat {FCA} = 90^\circ$ (cùng bù với $\widehat {ACB} = 90^\circ$) nên $\Delta FCA$ vuông tại $C$.

Xét $\Delta ACF$ vuông tại $C,$ có $CE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AF$ nên $CE = EA = EF = \frac{1}{2}AF.$

Xét $\Delta CEO$ và $\Delta AEO$, có:

$CE = AE$, $OC = OA$ và $OE$ là cạnh chung

Do đó $\Delta CEO = \Delta AEO$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat {ECO} = \widehat {EAO} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng).

Ta có: $\widehat {ECO} + \widehat {OCD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ hay $\widehat {ECD} = 180^\circ$.

Vậy ba điểm $E,C,D$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Đặt $AD = x\,\,\left( {x > 0} \right)$.

Ta có tứ giác $ADME$ có $\widehat {ADE} = \widehat {DAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ$ nên $ADME$ là hình chữ nhật.

Do đó, $EM = AD = x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Ta có $EM\,{\rm{//}}\,AB$ (cùng vuông góc với $AC)$ nên theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$\frac{{EM}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CA}}$ hay $\frac{x}{6} = \frac{{CE}}{8}$ suy ra $CE = \frac{4}{3}x$.

Ta có $AE = AC - EC = 8 - \frac{4}{3}x$.

Diện tích hình chữ nhật $ADME$ là:

${S_{ADME}} = AD.AE = x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right)$$= - \frac{4}{3}{x^2} + 8x = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x} \right)$

$= - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 12$$= - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12$.

Vì ${\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $- \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Do đó $- \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12 \le 12$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Dấu “=” xảy ra khi $x - 3 = 0$ hay $x = 3.$

Khi đó $D$ là trung điểm của $AB$.

Lúc này, xét $\Delta ABC$ có $D$ là trung điểm của $AB$ và $DM\,{\rm{//}}\,AC$ (cùng vuông góc với $AB)$ nên $DM$ là đường trung bình của tam giác $ABC,$ suy ra $M$ là trung điểm của $BC$.

Như vậy, diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ADME$ bằng ${\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ khi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vậy diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là ${\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.