Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 2

a) ⦁ Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}$.

Ta có $\sqrt x + 3 > 0$ với mọi $x \ge 0$ nên điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ge 0.$

⦁ Xét biểu thức $B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}$.

Ta có $\sqrt x + 1 > 0$ với mọi $x \ge 0$ nên điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

b) Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {16} + 2}}{{\sqrt {16} + 3}} = \frac{{4 + 2}}{{4 + 3}} = \frac{6}{7}$.

Vậy $A = \frac{6}{7}$ khi $x = 16$.

c) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + 4\sqrt x - 5 + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + \sqrt x + 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.$

Vậy với $x \ge 0;x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}$.

d) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 3 - 4}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}}$.

Ta lại có: $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 3 \ge 3,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{4}{3}$, do đó $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} \ge - \frac{1}{3}$.

$\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 3 \ge 3 > 0,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} > 0$, do đó $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} < 1$.

Như vậy, $- \frac{1}{3} \le P < 1$.

Mà $P$ nhận giá trị nguyên nên $P = 0.$

Với $P = 0,$ ta có: $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 0,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 1,$ do đó $\sqrt x + 3 = 4$ nên $\sqrt x = 1,$ hay $x = 1$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy không có giá trị $x$ để biểu thức $P = \frac{A}{B}$ nhận giá trị nguyên.

a) Điều kiện xác định $x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.$

Ta có: $\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{4}{{1 - 9{x^2}}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

${\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 4$

$\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 4$

$- 6x \cdot 2 = 4$

$- 12x = 4$

$x = - \frac{1}{3}$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) $\frac{{3x + 5}}{2} - 1 < \frac{{2x + 1}}{3} + x$

$\frac{{\left( {3x + 5} \right) \cdot 3}}{6} - \frac{{1 \cdot 6}}{6} < \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot 2}}{6} + \frac{{x \cdot 6}}{6}$

$\left( {3x + 5} \right) \cdot 3 - 6 < \left( {2x + 1} \right) \cdot 2 + 6x$

$9x + 15 - 6 < 4x + 2 + 6x$

$- x < - 7$

$x > 7$.

Vậy bất phương trình trên có nghiệm là $x > 7$.

c) $\frac{3}{2}\sqrt {4x - 8} - 9\sqrt {\frac{{x - 2}}{{81}}} = 6$ (đkxđ: $x \ge 2).$

$$\frac{3}{2}\sqrt {4\left( {x - 2} \right)} - 9\sqrt {\frac{1}{{81}}\left( {x - 2} \right)} = 6$$

$$\frac{3}{2} \cdot 2\sqrt {x - 2} - 9 \cdot \frac{1}{9}\sqrt {x - 2} = 6$$

$$3\sqrt {x - 2} - \sqrt {x - 2} = 6$$

$$2\sqrt {x - 2} = 6$$

$$\sqrt {x - 2} = 3$$

$$x - 2 = 9$$

$x = 11$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 11.$

2. a) Gọi $x,y$ lần lượt là giá niêm yết của loại vé I và II ($x,y > 0$, đơn vị: nghìn đồng).

• Tuần lễ kích cầu du lịch:

Giá loại vé I giảm 15%, tức là sẽ có giá 100% – 15% = 85% của giá niêm yết nên giá bán vé loại I lúc này là $85\% x = 0{,}85x$ (nghìn đồng).

Giá loại vé II giảm 10%, tức là sẽ có giá 100% – 10% = 90% của giá niêm yết nên giá bán vé loại II lúc này là $90\% y = 0{,}9y$ (nghìn đồng).

Do đó, tổng số tiền khi anh Bảo mua 3 vé loại I và 2 vé loại II là:

$3 \cdot 0{,}85x + 2 \cdot 0{,}9y = 2{,}55x + 1{,}8y$ (nghìn đồng).

Theo bài, anh Bảo phải trả số tiền là $24\,\,825\,\,000$ đồng (hay $24\,\,825$ nghìn đồng) nên ta có phương trình:

$2{,}55x + 1{,}8y = 24\,\,825$ (1)

• Tuần lễ Quốc tế Lao động:

Giá loại vé I giảm 10%, tức là sẽ có giá 100% – 10% = 90% của giá niêm yết nên giá bán vé loại I lúc này là $90\% x = 0{,}9x$ (nghìn đồng).

Giá loại vé II giảm 15%, tức là sẽ có giá 100% – 15% = 85% của giá niêm yết nên giá bán vé loại II lúc này là $85\% y = 0{,}85y$ (nghìn đồng).

Do đó, tổng số tiền khi anh Bình mua 3 vé loại I và 4 vé loại II là:

$3 \cdot 0{,}9x + 4 \cdot 0{,}85y = 2{,}7x + 3{,}4y$ (nghìn đồng).

Theo bài, anh Bình phải trả số tiền là $37\,\,790\,\,000$ đồng (hay $37\,\,790$nghìn đồng) nên ta có phương trình:

$2{,}7x + 3{,}4y = 37\,\,790$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2{,}55x + 1{,}8y = 24\,\,825\\2{,}7x + 3{,}4y = 37\,\,790\end{array} \right.$.

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3,4 và nhân cả hai vế của phương trình (2) với 1,8, ta được hệ phương trình mới là: $\left\{ \begin{array}{l}8{,}67x + 6{,}12y = 84\,\,405\\4{,}86x + 6{,}12y = 68\,\,022\end{array} \right.$

Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$3{,}81x = 16383$ suy ra $x = 4300$ (thỏa mãn).

Thay $x = 4\,\,300$ vào phương trình (1), ta được:

$2{,}55 \cdot 4\,\,300 + 1{,}8y = 24\,\,825$ suy ra $1{,}8y = 13\,\,860$ nên $y = 7\,\,700$ (thỏa mãn).

Ta có $4\,\,300$ nghìn đồng tức là $4{\rm{ 300 000}}$ đồng; $7\,\,700$ nghìn đồng là $7{\rm{ }}700{\rm{ 000}}$ đồng.

Vậy giá niêm yết của loại vé I là $4{\rm{ 300 000}}$ đồng và giá niêm yết của loại vé II là $7{\rm{ }}700{\rm{ 000}}$ đồng.

b) i) – Trong dịp lễ Quốc tế Lao động, doanh nghiệp định thưởng 6 vé loại I mà theo bài, nếu khách hàng mua từ 5 vé thuộc cùng một loại trở lên thì sẽ được giảm thêm $7\%$ của giá vé đã giảm lần đầu, do đó giá tiền của mỗi vé loại I mà doanh nghiệp này đã mua được là:

$0{,}9 \cdot 4\,\,300\,\,000 \cdot \left( {100\% - 7\% } \right) = 3\,\,599\,\,100$ (đồng).

Do đó, số tiền mua 6 vé loại I này là: $6 \cdot 3\,\,599\,\,100 = 21\,\,594\,\,600$ (đồng).

– Gọi số vé thưởng loại II là $n{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{N}^ * },\,\,n \ge 5} \right)$.

Khi doanh nghiệp mua ít nhất là 5 vé loại II, thì giá tiền mỗi vé loại II là:

$0{,}85 \cdot 7{\rm{ }}700{\rm{ 000}} \cdot \left( {100\% - 7\% } \right) = 6\,\,086\,\,850$ (đồng).

Do đó, số tiền mua $n$ vé loại II lúc này là: $6\,\,086\,\,850n$ (đồng).

Theo bài, nguồn kinh phí thưởng không vượt quá 95 triệu đồng, do đó ta có bất phương trình:

$21\,\,594\,\,600 + 6\,\,086\,\,850n \le 95{\rm{ 000 000}}$.

ii) Giải bất phương trình:

$$21\,\,594\,\,600 + 6\,\,086\,\,850n \le 95{\rm{ 000 000}}$$

$$6\,\,086\,\,850n \le 73{\rm{ 405 400}}$$

$n \le 12{,}05966962...$.

Do $n \in {\mathbb{N}^ * }$ và cần tìm giá trị $n$ lớn nhất nên $n = 12$.

Do đó, doanh nghiệp có thể mua 6 vé loại I và nhiều nhất là 12 vé loại II.

Vậy doanh nghiệp A có thể mua nhiều nhất 18 vé thưởng cho nhân viên.

b) Theo đề bài, phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$ hay $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Theo câu a, ta có: $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$, suy ra $\alpha = \widehat {ABC} \approx 41^\circ 49'.$

Mà $\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}$ nên $AC = BC \cdot \tan \widehat {ABC} \approx 5 \cdot \tan 41^\circ 49' \approx 4{,}47{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Mà $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $AB = \frac{3}{2}AC \approx \frac{3}{2} \cdot 4{,}47 = 6{,}705{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: $4{,}47 + 6{,}705 = 11{,}175 \approx 11{,}18{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

a) Vì $AB$ và $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ nên $AB \bot OB$, $AC \bot OC$, do đó $\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ$. Gọi $K$ là trung điểm của $AO$.

Xét $\Delta ABO$ vuông tại $B$ có $BK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AO$ nên $BK = AK = KO = \frac{{AO}}{2}$ (1).

Xét $\Delta ACO$ vuông tại $C$ có $CK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AO$ nên $CK = AK = KO = \frac{{AO}}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $BK = CK = AK = KO = \frac{{AO}}{2}$.

Vậy các điểm $A,\,B,\,O,C$ cùng thuộc một đường tròn tâm $K$ đường kính $AO$.

b) ⦁ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$ của đường tròn $\left( O \right)$ ta có: $AB = AC$ suy ra $A$ thuộc đường trung trực của $BC$ (3).

Lại có $OB = OC = R$ suy ra $O$ thuộc đường trung trực của $BC$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $AO$ là đường trung trực của $BC$ hay $OA$ vuông góc với $BC$ tại $H$.

⦁ Xét đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $BD$ có $\widehat {BCD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {BCD} = 90^\circ .$

Ta có: $\widehat {BAH} + \widehat {ABH} = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn của tam giác $\Delta ABH$ vuông tại $H)$ và $\widehat {DBC} + \widehat {ABH} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {BAH} = \widehat {DBC}\,$.

Xét $\Delta DBC$ và $\Delta BAH$ có: $\widehat {BCD} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ và $\widehat {DBC} = \widehat {BAH}$

Do đó $ΔDBC∽ΔBAH$ (g.g).

c)

c) Vì $AO$ là đường trung trực của $BC$ và $AO$ cắt $BC$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của $BC.$ Suy ra $BC = 2BH.$

Vì $ΔDBC∽ΔBAH$ (câu b) nên $\frac{{BC}}{{AH}} = \frac{{DC}}{{BH}}$

Mà $AH = 2MH$ (do $M$ là trung điểm của $AH)$ và $BC = 2BH$, suy ra $\frac{{2BH}}{{2MH}} = \frac{{DC}}{{BH}} = \frac{{BH}}{{MH}}$.

Lại có $BH = HC$ nên $\frac{{MH}}{{HC}} = \frac{{BH}}{{DC}}$.

Xét $\Delta BMH$ và $\Delta DHC$ có: $\widehat {MHB} = \widehat {HCD} = 90^\circ$ và $\frac{{MH}}{{HC}} = \frac{{BH}}{{DC}}$

Do đó $\mathrm{ΔBMH}∽\mathrm{ΔDHC}$ (g.g), suy ra $\widehat {MBH} = \widehat {HDC}$ (1)

Lại có $\widehat {MBH} = \widehat {NBC} = \widehat {NDC}$ (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $NC$ của đường tròn $\left( O \right)$)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {NDC} = \widehat {HDC}$, nên hai tia $DN,\,DH$ trùng nhau, do đó $D,\,H\,,N$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là $2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích đáy của bể là $2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).$

Chiều cao của bể là: $\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích xung quanh của bể là: $2 \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} \cdot \left( {x + 2x} \right) = \frac{{72 \cdot 3x}}{{{x^2}}} = \frac{{216}}{x}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

$\frac{{216}}{x}{\rm{ + }}2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Do $x$ là chiều rộng của bể nên $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}$

Suy ra $2{x^2} + \frac{{216}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{23\,\,328}} \approx 85{,}72$

Dấu “=” xảy ra khi $2{x^2} = \frac{{108}}{x} = \frac{{108}}{x}$ hay $2{x^3} = 108$, tức là $x = \sqrt[3]{{54}} \approx 3{,}78{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì $x \approx 3{,}78{\rm{ m}}{\rm{.}}$