Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $x + 3 \ne 0$ khi $x \ne - 3$ và $x - 4 \ne 0$ khi $x \ne 4$ nên điều kiện xác định của phương trình đã cho là $x \ne - 3$ và $x \ne 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét các phương trình, nhận thấy:

• Điều kiện xác định của $\frac{{5x}}{{4x - 1}} = 2$ là $4x - 1 \ne 0$ nên $x \ne \frac{1}{4}.$

• Điều kiện xác định của $\frac{5}{4} = \frac{2}{{x - 1}}$ là $x - 1 \ne 0$ nên $x \ne 1.$

• Điều kiện xác định của $\frac{2}{{x + 4}} = 5$ là $x + 4 \ne 0$ nên $x \ne - 4.$

• Điều kiện xác định của $\frac{{ - 3x}}{{4x + 1}} = 2$ là $4x + 1 \ne 0$ nên $x\ne -\frac{1}{4}$

Do đó, chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Thay $x = - 2,{\rm{ }}y = 4$ vào phương trình $x - 2y = 0$, ta được: $- 2 - 2.4 = - 10 \ne 0.$

Do đó, $\left( { - 2;\,\,4} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x - 2y = 0.$

⦁ Thay $x = - 2,{\rm{ }}y = 4$ vào phương trình $2x + y = 0$, ta được: $2 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 = 0.$

Do đó, $\left( { - 2;\,\,4} \right)$ là nghiệm của phương trình $2x + y = 0.$

⦁ Thay $x = - 2,{\rm{ }}y = 4$ vào phương trình $x - y = 2$, ta được: $- 2 - 4 = - 6 \ne 2.$

Do đó, $\left( { - 2;\,\,4} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x - y = 2.$

⦁ Thay $x = - 2,{\rm{ }}y = 4$ vào phương trình $x + 2y + 1 = 0$, ta được: $- 2 + 2.4 + 1 = 7 \ne 0.$

Do đó, $\left( { - 2;\,\,4} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x + 2y + 1 = 0.$

Vậy chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$.

Do đó, hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\x - 3{y^2} = 4\end{array} \right.$ không là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó, chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bất đẳng thức diễn tả khẳng định “$n$ nhỏ hơn $\frac{3}{5}$” là $n < \frac{3}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có $a < b$ nên $- 2a > - 2b.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án, ta được:

$\sqrt {16} + \sqrt {144} = 4 + 12 = 16.$ Do đó, đáp án A là đúng.

$\sqrt {0{,}64} .\sqrt 9 = 0{,}8.3 = 2{,}4$. Do đó, đáp án B là đúng.

$\sqrt {{{\left( { - 18} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} = 18.6 = 108.$ Do đó, đáp án C là đúng.

$\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}} = 3.7 = 21 \ne - 21.$ Do đó, đáp án D là sai.

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ với $A \ge 0,\,\,B > 0$.

Do đó, chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}$ nên $AB = BC.\cos B.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $\alpha + \beta = 90^\circ$ nên $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau.

Do đó, $\tan \alpha = \cot \beta .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$ thì $d \bot OA$ tại $A$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cho hai đường tròn $\left( {O;\,\,2{\rm{ cm}}} \right)$ và $\left( {O';\,\,5{\rm{ cm}}} \right)$ tiếp xúc ngoài thì $OO' = 2 + 5 = 7{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

• Gọi $x$ (quả) là số quả bóng được ném vào rổ ($0 < x \le 15$, $x \in \mathbb{N}).$

Số quả bóng ném ra ngoài là: $15 - x$ (quả).

Do đó, ý a) là đúng.

• Số điểm nhận được khi ném được $x$ quả bóng vào rổ là: $2x$ (điểm).

Số điểm bị trừ khi ném $15 - x$ quả ra ngoài là: $15 - x$ (điểm).

Tổng số điểm đạt được sau khi ném $15$ quả bóng là: $2x - \left( {15 - x} \right)$ (điểm).

Do đó, ý b) là đúng.

• Theo bài, nếu đạt 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển nên ta có bất phương trình:

$2x - \left( {15 - x} \right) \ge 15$.

Do đó, ý c) là sai.

• Giải bất phương trình lập được ở câu a:

$2x - \left( {15 - x} \right) \ge 15$

$2x - 15 + x \ge 15$

$3x \ge 30$

$x \ge 10$.

Mà $x \in \mathbb{N}$ và cần tìm giá trị $x$ nhỏ nhất nên $x = 10.$

Vậy muốn được chọn vào đội tuyển thì bạn học sinh phải ném được ít nhất 10 quả bóng vào rổ.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

• Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông $ABC$, có:

$AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272{,}22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Do đó, ý a) là sai.

• Do người đó có tầm mắt $1{,}65{\rm{ m}}$ nên chiều cao của tòa nhà là:

$272{,}22 - 1{,}65 = 270{,}57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tòa nhà cao $270{,}57{\rm{ m}}$.

Do đó, ý b) là sai.

• Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở $E$ đến chân tòa nhà là độ dài đoạn $EA$.

Xét tam giác vuông $EAD$, ta có:

$$EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93{,}26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$$

Do đó, ý c) là đúng.

• Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là $93{,}26 - 48 = 45{,}26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau $45{,}26{\rm{ m}}$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 5

Điều kiện xác định: $x \ne - 3$.

Ta có: $\frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{{3x}}{{x + 3}} = 1$

$$\frac{{x + 2 - 3x}}{{x + 3}} = 1$$

$$\frac{{2x - 2}}{{x + 3}} = \frac{{x + 3}}{{x + 3}}$$

$$2x - 2 = x + 3$$

$$2x - x = 3 + 2$$

$x = 5$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 720

Gọi chiều dài, chiều rộng của sân trường lần lượt là $x,\,y\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Điều kiện: $x > 16,\,\,y > 0$.

Theo đề, chiều dài hơn chiều rộng $16\,\,{\rm{m}}$nên $x - y = 16$. (1)

Hai lần chiều dài kém 5 lần chiều rộng $28\,\,{\rm{m}}$nên $5y - 2x = 28\,{\rm{.}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 16\\5y - 2x = 28\end{array} \right.$.

Từ (1) có $x = 16 + y$ thay vào (2) được: $5y - 2\left( {16 + y} \right) = 28\,$ hay $3y - 32 = 28\,{\rm{.}}$

Suy ra $3y = 60$ nên $y = 20$ (thỏa mãn).

Do đó, $x = 16 + 20 = 36$ (thỏa mãn)

Vậy diện tích sân trường là $36 \cdot 20 = 720\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −16

Ta có: $\frac{{x + 1}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} \ge 4$

$$\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{6} - \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{6} \ge 4$$

$$\frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x - 2} \right)}}{6} - 4 \ge 0$$

$$\frac{{8 - x - 24}}{6} \ge 0$$

$$\frac{{ - x - 16}}{6} \ge 0$$

$$- x - 16 \ge 0$$

$x \le - 16$.

Do đó, giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là $x = - 16$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3,6

Công thức tính độ dài của cung tròn $n^\circ$ trên đường tròn bán kính $R{\rm{\;(cm)}}$ là: $l = \frac{n}{{180}} \cdot \pi R{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Suy ra $R = \frac{{180l}}{{n\pi }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Thay $n = 50,\,\,l = \pi {\rm{\;(cm)}}$ ta được: $R = \frac{{180 \cdot \pi }}{{50 \cdot \pi }} = 3{,}6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy bán kính của đường tròn đó là $3{,}6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Với $x > 0,{\rm{ }}x \ne 1$ ta có:

$P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

$= \left[ {\frac{{x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

$$= \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$$

$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$.

Vậy với $x > 0,{\rm{ }}x \ne 1$ ta có $P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.$

b) Ta có $P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$.

Theo đề, để $2P = 2\sqrt x + 5$ thì $\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + 5$

Suy ra $2\sqrt x + 2 = 2x + 5\sqrt x$ hay $2x + 3\sqrt x - 2 = 0$ do đó $\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right) = 0$

Suy ra $\sqrt x + 2 = 0$ hoặc $\sqrt x - \frac{1}{2} = 0$.

Do đó, $\sqrt x = - 2$ (vô lí) hoặc $\sqrt x = \frac{1}{2}$.

Suy ra $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy $x = \frac{1}{4}$ thì $2P = 2\sqrt x + 5$.

Hướng dẫn giải

a) Vì $AM,\,\,AN$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ lần lượt tại $M,\,\,N$ nên $AM \bot OM,\,\,AN \bot ON.$

Gọi $E$ là trung điểm của $OA$. Khi đó $OE = AE = \frac{1}{2}OA.$

Xét $\Delta MOA$ vuông tại $M$ có $ME$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên $ME = \frac{1}{2}OA$.

Xét $\Delta NOA$ vuông tại $N$ có $NE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên $NE = \frac{1}{2}OA$.

Vì $NE = ME = OE = AE = \frac{1}{2}OA$ nên bốn điểm $A,M,O,N$ cùng thuộc đường tròn tâm $E,$ đường kính $OA$.

b) Xét $\Delta COB$ cân tại $O$ (do $OC = OB$) có $OI$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó $OI \bot BC$. Suy ra $\Delta IOA$ vuông tại $I$.

Xét $\Delta IOA$ vuông tại $I$ có $IE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên $IE = \frac{1}{2}OA$.

Khi đó, ta có $NE = IE = OE = AE = \frac{1}{2}OA$ nên bốn điểm $A,I,O,N$ cùng thuộc đường tròn tâm $E,$ đường kính $OA$.

Suy ra $\widehat {AIN} = \widehat {AON}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AN$ của đường tròn tâm $E$). (*)

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $AM,AN$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$, suy ra $OA$ là phân giác của $\widehat {MON}$

Do đó, $\widehat {AON} = \frac{1}{2}\widehat {MON}$.

Mà $\widehat {NFM} = \frac{1}{2}\widehat {MON}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $MN$)

Suy ra $\widehat {NFM} = \widehat {AON}$ (**)

Từ (*) và (**), suy ra $\widehat {NFM} = \widehat {AIN}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó $MF\,{\rm{//}}\,AC$.

c)

⦁ Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $OA.$

Ta có $AM = AN$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OM = ON$ nên $A,\,\,O$ cùng nằm trên đường trung trực của $MN$ hay $OA$ là đường trung trực của $MN$.

Suy ra $MN \bot OA$ hay $HN \bot OA$.

Xét $\Delta OHN$ và $\Delta ONA$, có: $\widehat {OHN} = \widehat {ONA} = 90^\circ$ và $\widehat {AON}$ là góc chung

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{OH}}{{ON}} = \frac{{ON}}{{OA}}$ suy ra $OH.OA = O{N^2} = {R^2}$ (3).

⦁ Ta có $OC = OB,\,\,IC = IB$ (do $I$ là trung điểm của $BC),$ $KC = KB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ba điểm $O,\,\,I,\,\,K$ thẳng hàng.

Xét $\Delta OIB$ và $\Delta OBK$, có: $\widehat {OIB} = \widehat {OBK} = 90^\circ$ và $\widehat {BOK}$ là góc chung

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{OI}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OK}}$ suy ra $OI.OK = O{B^2} = {R^2}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $OI.OK = OH.OA = {R^2}.$ Từ đó, ta có $\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}$.

Xét $\Delta OIA$ và $\Delta OHK$ có: $\widehat {AOK}$ là góc chung và $\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}$

Do đó (c.g.c)

Suy ra $\widehat {OHK} = \widehat {OIA} = 90^\circ$, suy ra $HK \bot OA$.

Mà $MN \bot OA$ tại $H$ và $MN$ cố định (do điểm $A$ cố định), do đó $K$ thuộc $MN$ cố định.

⦁ Diện tích giấy màu cần sử dụng chính bằng tổng diện tích bốn mặt bên là các tam giác cân có cạnh bên bằng $16{\rm{ cm}}$ và cạnh đáy là $2x{\rm{ cm}}$.

Xét tam giác $SBC$, kẻ đường cao $SH \bot BC$ tại $H$.

Do tam giác $SBC$ cân tại $S$ nên $SH$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác, suy ra $H$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra $BH = HC = \frac{{BC}}{2} = x{\rm{ (cm) }}\left( {0 < x < 16} \right)$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $SHC$ vuông tại $H$, ta có: $S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}$

Suy ra $S{H^2} = {16^2} - {x^2} = 256 - {x^2}.$

Do đó $SH = \sqrt {256 - {x^2}} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích tam giác $SBC$ là $\frac{1}{2}SH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {256 - {x^2}} \cdot 2x = x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích giấy màu cần sử dụng là $S = 4x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

⦁ Yêu cầu bài toán đưa về thực hiện tìm giá trị lớn nhất của $S = 4x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}$với $0 < x < 16$.

Ta có: $4x\sqrt {256 - {x^2}} = 4\sqrt {256{x^2} - {x^4}}$

$= 4\sqrt { - \left( {{x^4} - 2 \cdot 128{x^2} + {{128}^2}} \right) + {{128}^2}}$

$= 4\sqrt { - {{\left( {{x^2} - 128} \right)}^2} + {{128}^2}} \le 4\sqrt {{{128}^2}} = 512$

Do đó, $S \le 512$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${x^2} - 128 = 0$ hay $x = 8\sqrt 2$ (do $0 < x < 16)$.

Vậy diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là $512{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$.