Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x - 2}}{x} = 2$ là $x + 1 \ne 0$ và $x \ne 0$ hay $x \ne - 1;\,\,x \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy phương trình $5\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0$ có hai nghiệm, hoặc $x - 2 = 0$ hoặc $2x - 1 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, $0x + 0y = 4$ không là phương trình bậc nhất hai ẩn vì $a = 0$ và $b = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một cặp hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..$

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4{y^2} = 0\\2x + 5y = 7\end{array} \right.$ không là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “$x$ không lớn hơn $- 100$” được viết là $x \le - 100.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $m > n$ nên $m + \left( { - 3} \right) > n + \left( { - 3} \right)$ hay $m - 3 > n - 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} = 5;$ $\sqrt {{5^2}} = 5;$

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} = \left| { - 5} \right| = 5;$ $- {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = - 5.$

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của biểu thức $A = \sqrt {1 - 2x}$ là $1 - 2x \ge 0$ hay $x \le \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với mọi góc nhọn $\alpha$, ta có

$\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \,;\,\,\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha ;$

$$\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha \,;\,\,\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha .$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $N$, có: $NP = MP \cdot \cos P.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d\left( {O;\,\,d} \right) = 3 < R$, do đó đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( {O;\,\,4\,{\rm{cm}}} \right)$ cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

• Gọi $x$ là số câu mà thí sinh cần trả lời đúng trong vòng đầu tiên $\left( {x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)$.

Lúc này, số câu hỏi thí sinh trả lời sai trong vòng đầu tiên là: $20 - x$ (câu).

Do đó, ý a) là đúng.

• Số điểm thí sinh nhận được khi trả lời đúng $x$ câu hỏi là: $8x$ (điểm).

Số điểm thí sinh bị trừ khi trả lời sai $\left( {20 - x} \right)$ câu hỏi là: $3\left( {20 - x} \right)$ (điểm).

Số điểm thí sinh có được khi thi xong vòng đầu tiên là: $10 + 8x - 4\left( {20 - x} \right)$ (điểm).

Do đó, ý b) là sai.

• Theo bài, thí sinh cần đạt ít nhất $90$ điểm để vào vòng tiếp theo nên ta có bất phương trình mô tả tình huống bài toán là: $10 + 8x - 4\left( {20 - x} \right) \ge 90$.

Do đó, ý c) là sai.

• Giải bất phương trình:

$10 + 8x - 4\left( {20 - x} \right) \ge 90$

$10 + 8x - 80 + 4x \ge 90$

$12x - 70 \ge 90$

$12x \ge 160$

$x \ge \frac{{160}}{{12}}$

$x \ge 13{,}33333.....$

Do $x \in {\mathbb{N}^ * }$ và cần tìm giá trị $x$ nhỏ nhất nên $x = 14.$

Vậy để qua vòng tiếp theo, mỗi thí sinh cần trả lời đúng ít nhất là $14$ câu.

Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

• Xét $\Delta AKD$ vuông tại $D$, ta có: $\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}}$O10-2024-GV154......... hay $AK = AD \cdot \tan 36^\circ$.

Do đó, ý a) là đúng.

• Ta có: $FK = EH = CH - CE = 25 - 5 = 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$O10-2024-GV154.........

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ $\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}},$ ta có $AK = KD \cdot \tan 36^\circ = 25 \cdot \tan 36^\circ \approx 18{,}164{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Ta có $AH = AK + KH \approx 18{,}164 + 1{,}6 = 19{,}764 \approx 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy độ dài tòa nhà chính là độ dài đoạn $AH$ và khoảng 20 m.

Do đó, ý c) là sai.

• Xét $\Delta AFK$ vuông tại $K$, ta có: $\tan F = \frac{{AK}}{{KF}} \approx \frac{{18{,}164}}{{20}}$O10-2024-GV154........., do đó $\widehat {KFA} \approx 42^\circ .$

Vậy góc nâng từ $F$ đến nóc tòa nhà khoảng $42^\circ$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Điều kiện xác định: $x \ne 2.$

Ta có: $\frac{1}{{x - 2}} + 3 = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}$

$\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}$

$\frac{{1 + 3\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \frac{{3 - x}}{{x - 2}}$

$1 + 3\left( {x - 2} \right) = 3 - x$

$1 + 3x - 6 = 3 - x$

$3x - 5 = 3 - x$

$4x = 8$

$x = 2.$

Mà điều kiện xác định $x \ne 2$ nên phương trình không có giá trị thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 11

Gọi $x,\,\,y\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right)$ lần lượt là khối lượng táo và xoài mà bác Nam mua $\left( {x,y > 0} \right).$

Theo đề bài, ta có phương trình về khối lượng về táo và xoài là $x+y=18(1)$

Tổng giá trị của thùng trái cây là $1\,\,205\,\,000$ đồng nên $65x+70y=1\ 205(2)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 18\\65x + 70y = 1\,\,205\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có: $x = 18 - y$, thế vào phương trình thứ hai, ta được:

$65\left( {18 - y} \right) + 70y = 1\,\,205$

$65.18 - 65y + 70y = 1\,\,205$

$1170 + 5y = 1\,\,205$

$5y = 35$

$y = 7$ (TMĐK).

Thay $y = 7$ vào phương trình thứ nhất, ta được: $x = 18 - 7 = 11$ (TMĐK).
Vậy bác Nam đã mua 11 kg táo.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

$\frac{{\left( {3x + 5} \right) \cdot 3}}{6} - \frac{{1 \cdot 6}}{6} < \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot 2}}{6} + \frac{{x \cdot 6}}{6}$

$\left( {3x + 5} \right) \cdot 3 - 6 < \left( {2x + 1} \right) \cdot 2 + 6x$

$9x + 15 - 6 < 4x + 2 + 6x$

$- x < - 7$

$x > 7$.

Vậy bất phương trình trên có nghiệm là $x > 7$.

Do đó, phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8,38

Ta có $BC \bot OA$ tại trung điểm $M$ của $OA$ nên $BC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $OA.$

Do đó $OB = AB.$

Mà $OA = OB$ nên $OA = OB = AB.$ Suy ra tam giác $OAB$ là tam giác đều.

Do đó $\widehat {AOB} = 60^\circ .$

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat {AOC} = 60^\circ .$

Ta có

Khi đó số đo cung lớn $BC$ bằng

Độ dài cung lớn $BC$ là: $l = \frac{n}{{360}}C = \frac{{240}}{{360}} \cdot 4\pi = \frac{{8\pi }}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right) \approx 8{,}38{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, ta có:

$$T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}$$

$$= \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}$$

$= \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}$.

Vậy với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$ ta được $T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}$.

b) Ta có: $T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}} = \frac{{2a - 2}}{{a + 1}} = \frac{{2a + 2 - 4}}{{a + 1}} = 1 - \frac{4}{{a + 1}}$.

Do đó, để $T \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{4}{{a + 1}}$ là số nguyên.

Suy ra $a + 1$ là Ư(4).

Vì điều kiện $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$ nên ta có $a + 1 = 4$ suy ra $a = 3.$

Vậy $a = 3$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta OBC$ cân tại $O$ (do $OC = OB = R$) nên đường trung tuyến $OK$ cũng là đường cao của $\Delta OBC.$ Suy ra $OK \bot BC$ hay $OD \bot BC$.

Xét nửa đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB,$ có $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ACB} = 90^\circ .$

Vậy $\Delta ABC$ vuông tại $C$.

b) Xét $\Delta OBC$ cân tại $O$ (do $OC = OB = R$) nên đường trung tuyến $OK$ cũng là đường phân giác của $\Delta OBC.$ Do đó $\widehat {BOD} = \widehat {COD}.$

Xét $\Delta CDO$ và $\Delta BDO$ có:

$OD$ là cạnh chung; $\widehat {BOD} = \widehat {COD}$; $OB = OC$

Do đó $\Delta CDO = \Delta BDO$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {DCO} = \widehat {DBO} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng).

Như vậy, $OC \bot DC$ tại $C$ thuộc $\left( O \right)$ hay $DC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

c) Gọi $F$ là giao điểm của $BC,\,\,AE.$

Ta có: $IC \bot AB$ và $AF \bot AB$, suy ra $IC\,{\rm{//}}\,AF$ hay $IC\,{\rm{//}}\,EF$.

Xét $\Delta BEF$, có: $\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IB}}{{EB}}$ (Hệ quả định lí Thalès) (1)

Xét $\Delta BAE$, có: $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{IB}}{{EB}}$ (Hệ quả định lí Thalès) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IH}}{{EA}}$, mà $IC = IH$ (do $I$ là trung điểm của $CH)$ nên $EF = EA$ hay $E$ là trung điểm của $AF.$

Ta có $\widehat {FCA} = 90^\circ$ (cùng bù với $\widehat {ACB} = 90^\circ$) nên $\Delta FCA$ vuông tại $C$.

Xét $\Delta ACF$ vuông tại $C,$ có $CE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AF$ nên $CE = EA = EF = \frac{1}{2}AF.$

Xét $\Delta CEO$ và $\Delta AEO$, có:

$CE = AE$, $OC = OA$ và $OE$ là cạnh chung

Do đó $\Delta CEO = \Delta AEO$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat {ECO} = \widehat {EAO} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng).

Ta có: $\widehat {ECO} + \widehat {OCD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ hay $\widehat {ECD} = 180^\circ$.

Vậy ba điểm $E,C,D$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Gọi các điểm như hình vẽ dưới đây:

Gọi $x$ là độ dài cạnh $AC$ hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn $\left( {0 < x < 14} \right)$.

Khi đó, ta tính được độ dài cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là:

$AB = 2AO = 2\sqrt {O{C^2} - A{C^2}} = 2\sqrt {{{14}^2} - {x^2}} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích hình chữ nhật là $S = 2x\sqrt {{{14}^2} - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Ta có: ${S^2} = 4{x^2}\left( {196 - {x^2}} \right) = - 4{x^4} + 2 \cdot 2{x^2} \cdot 196 - {196^2} + {196^2} = - {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} + {196^2}$ .

Nhận thấy $- {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} \le 0$, do đó $- {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} + {196^2} \le {196^2}$.

Suy ra ${S^2} \le {196^2}$, nên $S \le \sqrt {{{196}^2}}$ hay $S \le 196{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $- {\left( {2{x^2} - 196} \right)^2} = 0$, hay $2{x^2} - 196 = 0$, tức là $x = 7\sqrt 2 {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi đó là $196{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$.