Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $2x + 1 \ne 0$ khi $x \ne - \frac{1}{2}$ và $x - 5 \ne 0$ khi $x \ne 5.$

Do đó, điều kiện xác định của phương trình $\frac{x}{{2x + 1}} + \frac{3}{{x - 5}} = \frac{x}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}$ là $x \ne - \frac{1}{2}$ và $x \ne 5.$

Đâp án đúng là: A

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, phương trình $0x - 0y = 8$ không là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..$

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\x + 2y = 3\end{array} \right.$ là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bất đẳng thức diễn tả khẳng định “$n$ không nhỏ hơn $\frac{9}{4}$” là $n \ge \frac{9}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $- 3 > - 4$ nên với $m$ bất kì thì $m - 3 > m - 4.$

Tương tự, ta có: $- 3 > - 5$ nên $m - 3 > m - 5;$

$- 3 < - 2$ nên $m - 3 < m - 2;$

$- 3 > - 6$ nên $m - 3 > m - 6.$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của $\sqrt {16 - x}$ là $16 - x \ge 0$ hay $x \le 16.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biểu thức biểu diễn căn thức bậc ba là $\sqrt[3]{{x + 1}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$, do đó:

Nếu $\sqrt {{a^2}} = - a$ thì $a \le 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $AC = AB.\cot C.$

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat {CAH} = \widehat {CBA}$ (cùng phụ với $\widehat {HAB}$)

Xét $\Delta BAC$ vuông tại $A$ có $\cot \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}$.

Suy ra $\cot \widehat {ACH} = \frac{3}{4}$.

Vậy chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABC$ có $CO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AB$ và $CO = \frac{1}{2}AB$ (do $AB$ là đường kính của đường tròn tâm $O)$ nên tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $C$.

Do đó, $\widehat {ACB}$ là góc vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nhận thấy hai đường tròn cắt nhau thì $\left| {R - R'} \right| < OO' < R + R'$ hay $2{\rm{ cm}} < OO' < 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

• Gọi $x,\,\,y$ (giờ) lần lượt là số giờ tổ I, tổ II làm riêng để hoàn thành toàn bộ công việc $\left( {x,\,\,y > 0} \right).$

Trong 1 giờ, tổ I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc); tổ II làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Khi đó, trong 1 giờ, cả hai tổ làm được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (công việc).

Do đó, ý a) là đúng.

• Trong 3 giờ, tổ I làm được $\frac{3}{x}$ (công việc).

Trong 5 giờ, tổ II làm được $\frac{5}{y}$ (công việc).

Do đó, ý b) là đúng.

• Theo bài, nếu cả hai tổ cùng làm thì sau $15$ giờ xong công việc nên trong 1 giờ cả hai tổ làm chung được $\frac{1}{{15}}$ (công việc). Ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}$ (1)

Theo bài, tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ thì hoàn thành được $25\% = \frac{1}{4}$ công việc nên ta có phương trình: $\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

• Từ phương trình thứ nhất, ta được: $\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}$.

Thế $\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}$ vào phương trình thứ hai, ta được:

$3\left( {\frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}} \right) + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ hay $\frac{1}{5} + \frac{2}{y} = \frac{1}{4}$, suy ra $\frac{2}{y} = \frac{1}{{20}}$ nên $y = 40$ (thỏa mãn).

Thay $y = 40$ vào phương trình $\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}$, ta được:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{40}}$ hay $\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}$, suy ra $x = 24$ (thỏa mãn).

Vậy tổ I làm riêng trong 24 giờ sẽ hoàn thành công việc, tổ II làm riêng trong 40 giờ sẽ hoàn thành công việc.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

• Theo đề bài, phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$ hay $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$. Do đó, ý a) là đúng.

• Vì $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$ nên $\alpha = \widehat {ABC} \approx 41^\circ 49'.$ Do đó, ý b) là đúng.

• Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $AC = BC \cdot \tan \widehat {ABC} \approx 5 \cdot \tan 41^\circ 49' \approx 4{,}47{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Mà $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $AB = \frac{3}{2}AC \approx \frac{3}{2} \cdot 4{,}47 = 6{,}705{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Độ dài phần ngọn bị gãy là độ dài đoạn thẳng $AB$. Do đó, ý c) là sai.

• Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: $4{,}47 + 6{,}705 = 11{,}175 \approx 11{,}18{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Ta có: Điều kiện xác định: $x \ne 0,{\rm{ }}x \ne 3$.

Ta có: $\frac{{2x - 5}}{{x - 3}} - \frac{1}{x} = \frac{{6x + 3}}{{{x^2} - 3x}}$

$\frac{{\left( {2x - 5} \right)x}}{{\left( {x - 3} \right)x}} - \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{6x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}}$

$\frac{{2{x^2} - 5x - x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}} = \frac{{6x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}}$

$2{x^2} - 5x - x + 3 = 6x + 3$

$2{x^2} - 5x - x + 3 - 6x - 3 = 0$

$2{x^2} - 12x = 0$

$2x\left( {x - 6} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$(loại) hoặc $x = 6$(TM).

Vậy $x = 6$ là nghiệm của phương trình.

Vậy có 1 giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −16

Ta có: $\frac{{x + 1}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} \ge 4$

$$\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{6} - \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{6} \ge 4$$

$$\frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x - 2} \right)}}{6} - 4 \ge 0$$

$$\frac{{8 - x - 24}}{6} \ge 0$$

$$\frac{{ - x - 16}}{6} \ge 0$$

$$- x - 16 \ge 0$$

$x \le - 16$.

Do đó, giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là $x = - 16$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −0,6

Điều kiện xác định: $x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 16$.

Thay $x = \frac{1}{{16}}$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}$, ta được:

$B = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 2}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 4}} = \frac{{\frac{1}{4} + 2}}{{\frac{1}{4} - 4}} = \frac{9}{4}:\left( { - \frac{{15}}{4}} \right) = \frac{{ - 9}}{{15}} = \frac{{ - 3}}{5} = - 0{,}6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3,6

Công thức tính độ dài của cung tròn $n^\circ$ trên đường tròn bán kính $R{\rm{\;(cm)}}$ là: $l = \frac{n}{{180}} \cdot \pi R{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Suy ra $R = \frac{{180l}}{{n\pi }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Thay $n = 50,\,\,l = \pi {\rm{\;(cm)}}$ ta được: $R = \frac{{180 \cdot \pi }}{{50 \cdot \pi }} = 3{,}6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy bán kính của đường tròn đó là $3{,}6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, ta có:

$$A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left( {\frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)$$

$$= \left( {\frac{a}{{2\sqrt a }} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right]$$

$$= \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{2\sqrt a }} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}$$

$$= \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a - \left( {a + 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{a\sqrt a - 2a + \sqrt a - a\sqrt a - 2a - \sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{ - 4a}}{{2\sqrt a }}$$

$= - 2\sqrt a$.

Vậy $A = - 2\sqrt a$ với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$.

b) Ta có: $\left| {a - 1} \right| = 1$ suy ra $a - 1 = 1$ hoặc $a - 1 = - 1$.

Suy ra $a = 2$ (thỏa mãn) hoặc $a = 0$ (loại).

Thay $a = 2$ vào $A = - 2\sqrt a$ được $A = - 2\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

a) Vì $AM,\,\,AN$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ lần lượt tại $M,\,\,N$ nên $AM \bot OM,\,\,AN \bot ON.$

Gọi $E$ là trung điểm của $OA$. Khi đó $OE = AE = \frac{1}{2}OA.$

Xét $\Delta MOA$ vuông tại $M$ có $ME$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên $ME = \frac{1}{2}OA$.

Xét $\Delta NOA$ vuông tại $N$ có $NE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên $NE = \frac{1}{2}OA$.

Vì $NE = ME = OE = AE = \frac{1}{2}OA$ nên bốn điểm $A,M,O,N$ cùng thuộc đường tròn tâm $E,$ đường kính $OA$.

b) Xét $\Delta COB$ cân tại $O$ (do $OC = OB$) có $OI$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó $OI \bot BC$. Suy ra $\Delta IOA$ vuông tại $I$.

Xét $\Delta IOA$ vuông tại $I$ có $IE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên $IE = \frac{1}{2}OA$.

Khi đó, ta có $NE = IE = OE = AE = \frac{1}{2}OA$ nên bốn điểm $A,I,O,N$ cùng thuộc đường tròn tâm $E,$ đường kính $OA$.

Suy ra $\widehat {AIN} = \widehat {AON}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AN$ của đường tròn tâm $E$). (*)

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $AM,AN$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$, suy ra $OA$ là phân giác của $\widehat {MON}$

Do đó, $\widehat {AON} = \frac{1}{2}\widehat {MON}$.

Mà $\widehat {NFM} = \frac{1}{2}\widehat {MON}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $MN$)

Suy ra $\widehat {NFM} = \widehat {AON}$ (**)

Từ (*) và (**), suy ra $\widehat {NFM} = \widehat {AIN}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó $MF\,{\rm{//}}\,AC$.

c)

⦁ Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $OA.$

Ta có $AM = AN$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OM = ON$ nên $A,\,\,O$ cùng nằm trên đường trung trực của $MN$ hay $OA$ là đường trung trực của $MN$.

Suy ra $MN \bot OA$ hay $HN \bot OA$.

Xét $\Delta OHN$ và $\Delta ONA$, có: $\widehat {OHN} = \widehat {ONA} = 90^\circ$ và $\widehat {AON}$ là góc chung

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{OH}}{{ON}} = \frac{{ON}}{{OA}}$ suy ra $OH.OA = O{N^2} = {R^2}$ (3).

⦁ Ta có $OC = OB,\,\,IC = IB$ (do $I$ là trung điểm của $BC),$ $KC = KB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ba điểm $O,\,\,I,\,\,K$ thẳng hàng.

Xét $\Delta OIB$ và $\Delta OBK$, có: $\widehat {OIB} = \widehat {OBK} = 90^\circ$ và $\widehat {BOK}$ là góc chung

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{OI}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OK}}$ suy ra $OI.OK = O{B^2} = {R^2}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $OI.OK = OH.OA = {R^2}.$ Từ đó, ta có $\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}$.

Xét $\Delta OIA$ và $\Delta OHK$ có: $\widehat {AOK}$ là góc chung và $\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}$

Do đó (c.g.c)

Suy ra $\widehat {OHK} = \widehat {OIA} = 90^\circ$, suy ra $HK \bot OA$.

Mà $MN \bot OA$ tại $H$ và $MN$ cố định (do điểm $A$ cố định), do đó $K$ thuộc $MN$ cố định.

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn $AB$ là $x$ ($0 < x < 8$, đơn vị: m).

Lúc này, độ dài đoạn $AB$ chính là chu vi hình vuông đó và bằng $4x$ (m).

Do đó, độ dài đoạn $BC$ là $8 - 4x$ (m).

Suy ra, độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn $BC$ là $\frac{{8 - 4x}}{4} = 2 - x$ (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là: ${x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Ta có: ${x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} = 2{x^2} - 4x + 4 = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2$.

Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2{\rm{ }}{m^2}$ khi $x - 1 = 0$ hay $x = 1.$

Khi đó, độ dài đoạn thẳng $AB = 4{\rm{ m}}$và độ dài đoạn thẳng $BC = 8 - 4 = 4{\rm{ m}}$ hay $B$ là trung điểm của đoạn $AC$.

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau $AB = BC = 4{\rm{\;m}}.$