Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 1}}{{x - 4}} + 1 = \frac{3}{{x + 2}}$ là $x - 4 \ne 0$ và $x + 2 \ne 0$.

Suy ra $x \ne 4$ và $x \ne - 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ trong đó $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó, $0x-0y=5$ không là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một cặp phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..$

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 5\\x - 3y = 2\end{array} \right.$ là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với số $a$ bất kì có $a - 4 > a - 5.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “$x$ không lớn hơn $- \frac{{10}}{3}$” được viết là $x \le - \frac{{10}}{3}.$

Hướng dẫn giải$\sqrt {\frac{2}{{x - 1}}}$

Đáp án đúng là: B

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}}$ là $x \in \mathbb{R}$.

Do đó, $\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2x - 3} \right)}^2}} = \left| {2x - 3} \right|$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt[3]{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} = 1 - x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$ hay $\widehat B,\,\widehat C$ là hai góc phụ nhau.

Do đó, $\tan B = \cot C.$

Vậy khẳng định D là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có góc ở tâm có số đo bằng cung bị chắn.

Do đó, chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $4-3<5<4+3$ hay $1<O{O}^{'}<7$

Do đó hai đường tròn này cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

• Gọi $x$ (ml) là thể tích dung dịch nước muối $1{,}5\%$ và $y$ (ml) là thể tích nước cất $0\%$ ($x,{\rm{ }}y > 0$).

Tổng thể tích dung dịch là $1{\rm{ 000 ml}}$ nên ta có phương trình $x + y = 1\,\,000$ (1).

Do đó, ý a) là đúng.

• Tổng khối lượng muối trong dung dịch là $0{,}9\%$ của $1{\rm{ 000 ml}}$. Lượng muối trong dung dịch ban đầu là $1{,}5\% .x$ và trong nước cất là $0$.

Do đó ta có: $0{,}015x + 0y = 0{,}009.1\,\,000$ hay $0{,}015x = 9$ (2)

Do đó, ý b) là sai.

• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0{,}015x = 9\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

• Giải phương trình $0{,}015x = 9$ ta được $x = 600$ (thỏa mãn).

Thay $x = 600$ vào phương trình (1), được: $y = 1\,000 - 600 = 400$ (thỏa mãn).

Vậy Lan cần pha $600{\rm{ ml}}$ dung dịch nước muối $1{,}5\%$ và $400{\rm{ ml}}$ dung dịch nước cốt $0\%$ để được dung dịch mong muốn.

Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

• Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng $BH$.

Xét tam giác $CAE$ vuông tại $E$, ta có:

$CE = AE.\tan \widehat {CAE} = AE.\tan 40^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ (1).

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác $BAE$ vuông ở $E$, ta có:

$BE = AE.\tan \widehat {BAE} = AE.\tan 50^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ (2).

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) suy ra $BC = BE - CE = AE\tan 50^\circ - AE\tan 40^\circ$

$BC = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$5 = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Do đó, ý c) là sai.

• Với $AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}$ suy ra $CE = AE \cdot \tan \widehat {CAE} = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }} \cdot \tan 40^\circ \approx 11{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Chiều cao của tòa nhà là: $5 + 11{,}9 + 7 \approx 23{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tòa nhà cao $23{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Do đó, ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Điều kiện xác định $x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.$

Ta có: $\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{4}{{1 - 9{x^2}}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

${\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 4$

$\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 4$

$- 6x \cdot 2 = 4$

$- 12x = 4$

$x = - \frac{1}{3}$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Do đó, không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −4

Ta có: $\frac{{4x + 9}}{3} + \frac{1}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}$

$$\frac{{4\left( {4x + 9} \right)}}{{12}} + \frac{6}{{12}} \ge \frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{12}}$$

$$4\left( {4x + 9} \right) + 6 \ge 3\left( {2x - 1} \right)$$

$$16x + 36 + 6 \ge 6x - 3$$

$$16x + 42 \ge 6x - 3$$

$$16x - 6x \ge - 3 - 42$$

$$10x \ge - 45$$

$$x \ge - \frac{9}{2}.$$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x \ge - \frac{9}{2}.$

Do đó, giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên là $- 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,25

Điều kiện xác dịnh: $x \ge 0$.

Thay $x = 25$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}}$, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {25} - 2}}{{\sqrt {25} + 7}} = \frac{{5 - 2}}{{5 + 7}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Vậy $A = 0{,}25$ tại $x = 25.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 62,8

Diện tích hình vành khuyên đó là: $S = \pi \left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 20\pi \approx 62{,}8{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Với $x > 0,{\rm{ }}x \ne 1$ ta có:

$P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

$$= \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$$

$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$.

Vậy với $x > 0,{\rm{ }}x \ne 1$ ta có $P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.$

b) Ta có $P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$.$BC$

Theo đề, để $2P = 2\sqrt x + 5$ thì $\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + 5$

Suy ra $2\sqrt x + 2 = 2x + 5\sqrt x$ hay $2x + 3\sqrt x - 2 = 0$ do đó $\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right) = 0$

Suy ra $\sqrt x + 2 = 0$ hoặc $\sqrt x - \frac{1}{2} = 0$.

Do đó, $\sqrt x = - 2$ (vô lí) hoặc $\sqrt x = \frac{1}{2}$.

Suy ra $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy $x = \frac{1}{4}$ thì $2P = 2\sqrt x + 5$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $OO' = OB + BO'\,\,\,\,\left( {d = R + R'} \right)$

Do đó đường tròn $\left( O \right)$ và đường tròn $\left( {O'} \right)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $B.$

Xét $\Delta ODE$ cân tại $O$ (do $OD = OE)$ nên đường cao $OH$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó $H$ là trung điểm của $DE$.

Mà $H$ lại là trung điểm của $AC$, do đó tứ giác $ADCE$ là hình bình hành.

Mặt khác, $AC \bot DE$ nên hình bình hành $ADCE$ là hình thoi.

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ ta có $\widehat {AEB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $BE \bot AE$ tại $E$.

Mà $AE\,{\rm{//}}\,CD$ (do $ADCE$ là hình thoi) nên $EB \bot CD$.

Xét đường tròn $\left( {O'} \right)$ đường kính $BC$ ta có $\widehat {BFC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $BF \bot CD$ tại $F$.

Ta có $EB \bot CD$ và $FB \bot CD$ suy ra $EB$ và $FB$ trùng nhau.

Vậy ba điểm $F,B,E$ thẳng hàng.

c) Tam giác $FDE$ vuông tại $F$ có $FH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $DE$ nên $FH = \frac{1}{2}DE = HD = HE.$

Do đó $\Delta HFD$ cân tại $H$, do đó $\widehat {HFD} = \widehat {HDC}$.

Mặt khác, $O'FC$ cân tại $O'$ (do $O'F = O'C$) nên $\widehat {O'FC} = \widehat {HCD}$

Mà $\widehat {HDC} + \widehat {HCD} = 90^\circ$ (tam giác $HCD$ vuông tại $H$)

Nên $\widehat {HFD} + \widehat {O'FC} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {HFO'} = 180^\circ - \left( {\widehat {HFD} + \widehat {O'FC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Ta có $HF \bot O'F$ tại $F$ và $F$ thuộc đường tròn $\left( {O'} \right)$ nên $HF$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O'} \right)$.

Vậy $HF$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O'} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đặt $AD = x\,\,\left( {x > 0} \right)$.

Ta có tứ giác $ADME$ có $\widehat {ADE} = \widehat {DAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ$ nên $ADME$ là hình chữ nhật.

Do đó, $EM = AD = x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Ta có $EM\,{\rm{//}}\,AB$ (cùng vuông góc với $AC)$ nên theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$\frac{{EM}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CA}}$ hay $\frac{x}{6} = \frac{{CE}}{8}$ suy ra $CE = \frac{4}{3}x$.

Ta có $AE = AC - EC = 8 - \frac{4}{3}x$.

Diện tích hình chữ nhật $ADME$ là:

${S_{ADME}} = AD.AE = x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right)$$= - \frac{4}{3}{x^2} + 8x = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x} \right)$

$= - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 12$$= - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12$.

Vì ${\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $- \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Do đó $- \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12 \le 12$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Dấu “=” xảy ra khi $x - 3 = 0$ hay $x = 3.$

Khi đó $D$ là trung điểm của $AB$.

Lúc này, xét $\Delta ABC$ có $D$ là trung điểm của $AB$ và $DM\,{\rm{//}}\,AC$ (cùng vuông góc với $AB)$ nên $DM$ là đường trung bình của tam giác $ABC,$ suy ra $M$ là trung điểm của $BC$.

Như vậy, diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ADME$ bằng ${\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ khi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vậy diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là ${\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.