Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đơn thức $30{x^2}{y^3}$ chia hết cho đơn thức $60xy$ (vì số mũ ở mỗi biến của đơn thức $30{x^2}{y^3}$ đều lớn hơn số mũ ở mỗi biến của đơn thức $60xy$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đẳng thức $a\left( {a + 1} \right) = {a^2} + a$ là hằng đẳng thức.

Các đẳng thức $3a + 1 = a + 3$; $a + 3 = 3a - 1$; $2\left( {a - 2} \right) = 4a$ không phải là hằng đẳng thức (vì khi ta thay $a = 0$ thì hai vế của mỗi đẳng thức không bằng nhau).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $5{x^2}\left( {2x - 5} \right) - 4x + 10$

$$= 5{x^2}\left( {2x - 5} \right) - \left( {4x - 10} \right)$$

$$= 5{x^2}\left( {2x - 5} \right) - 2\left( {x - 5} \right)$$

$$= \left( {2x - 5} \right)\left( {5{x^2} - 2} \right).$$

Do đó $2x - 5$ là nhân tử chung khi phân tích đa thức trên thành nhân tử.

Đáp án đúng là: C

Biểu thức $\frac{{x + 8}}{{2:x}}$ không là phân thức vì $2:x$ không phải là đa thức.

Đáp án đúng là: C

Phân thức có tử thức là $2x - 1$ và mẫu thức là ${x^2} - 1\,,$ là $\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 1}}.$

Đáp án đúng là: B

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất $y = 3x - 6$ với trục $Oy$ là 0.

Do đó ta có $y = 3 \cdot 0 - 6 = - 6$.

Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất $y = 3x - 6$ với trục $Ox$ là $\left( {0\,;\,\, - 6} \right).$

Đáp án đúng là: C

Khi $a > 0$ thì góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ và trục $Ox$ là góc nhọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số cạnh bên của hình chóp tam giác đều là 3.

Số cạnh đáy của hình chóp tam giác đều là 3.

Tổng số cạnh bên và cạnh đáy của hình chóp tam giác đều là: $3 + 3 = 6.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích nửa chu vi đáy và trung đoạn:

${S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${29^2} = 841$ và ${20^2} + {21^2} = 400 + 441 = 841.$

Do đó ${20^2} + {21^2} = {29^2}$ nên bộ ba độ dài $21\;\;{\rm{dm}};\,\,20\;\;{\rm{dm;}}\,\,29\;\;{\rm{dm}}$ là độ dài ba cạnh của tam giác vuông.

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.

Tứ giác có 4 góc bằng nhau là hình chữ nhật.

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau là hình vuông.

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau không phải là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Đúng.

b) Sai.

c) Sai.

d) Đúng.

⦁ Ta có $G = \left( {7{x^5}{y^4}{z^3} - 3{x^4}y{z^2} + 2{x^2}{y^2}z} \right):{x^2}yz$

$$= 7{x^5}{y^4}{z^3}:{x^2}yz - 3{x^4}y{z^2}:{x^2}yz + 2{x^2}{y^2}z:{x^2}yz$$

$= 7{x^3}{y^3}{z^2} - 3{x^2}z + 2y$.

Đa thức $G$ có bậc là 8. Do đó ý a) đúng.

⦁ Thay $x = 1\,;\,\,y = - 1\,;\,\,z = 1$ vào biểu thức $G$, ta có:

$G = 7 \cdot {1^3} \cdot {\left( { - 1} \right)^3} \cdot {1^2} - 3 \cdot {1^2} \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = - 7 - 3 - 2 = - 12.$

Vậy với $x = 1\,;\,\,y = - 1\,;\,\,z = 1$ thì $G = - 12$. Do đó ý b) sai.

⦁ Ta có $A + 14{x^3}{y^3}{z^2} - 6{x^2}z = G$ hay $A + 14{x^3}{y^3}{z^2} - 6{x^2}z = 7{x^3}{y^3}{z^2} - 3{x^2}z + 2y$

Suy ra $A = \left( {7{x^3}{y^3}{z^2} - 3{x^2}z + 2y} \right) - 2y$

$= 7{x^3}{y^3}{z^2} - 3{x^2}z + 2y - 14{x^3}{y^3}{z^2} + 6{x^2}z$

$= - 7{x^3}{y^3}{z^2} + 3{x^2}z$.

Khi đó, đa thức $A$ hạng tử tự do là 0. Do đó ý c) sai.

⦁ Ta có $A + G = \left( { - 7{x^3}{y^3}{z^2} + 3{x^2}z} \right) + \left( {7{x^3}{y^3}{z^2} - 3{x^2}z + 2y} \right)$

$$= - 7{x^3}{y^3}{z^2} + 3{x^2}z + 7{x^3}{y^3}{z^2} - 3{x^2}z + 2y$$

$= \left( { - 7{x^3}{y^3}{z^2} + 7{x^3}{y^3}{z^2}} \right) + \left( {3{x^2}z - 3{x^2}z} \right) + 2y$$= 2y$.

Như vậy, tổng của hai đa thức $A$ và $G$ là một đơn thức. Do đó ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Sai.

c) Đúng.

d) Đúng.

⦁ Do $E$ là trung điểm của $BC$ nên $BE = \frac{1}{2}BC$ hay $BC = 2BE.$

Vì $BC = 2AB$ và $BC = 2BE$ nên $AB = BE$. Do đó ý a) là sai.

⦁ Theo đề bài, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AD = BC,\,\,AD\,{\rm{//}}\,BC$.

Vì $AD = BC$; $BE = \frac{1}{2}BC;\,AF = \frac{1}{2}AD$ (do $F$ là trung điểm của $AD)$ nên $BE = AF$.

Tứ giác $ABEF$ có $BE = AF$ (cmt) và $BE\,{\rm{//}}\,AF$ (vì $AD\,{\rm{//}}\,BC\,).$

Suy ra, tứ giác $ABEF$ là hình bình hành.

Hình bình hành $ABEF$ có $AB = BE$ nên $ABEF$ là hình thoi. Do đó ý b) sai.

⦁ Ta thấy $BD$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của tam giác $ADI$ nên tam giác $ADI$ cân tại $D$.

Tam giác $ADI$ cân tại $D$ có $\widehat {DAI} = 60^\circ$ nên tam giác $ADI$ là tam giác đều.

Suy ra $BD$ cũng là đường cao của tam giác $ADI$ nên $BD \bot BI$ hay $\widehat {DBI} = 90^\circ .$

Do đó ý c) đúng.

⦁ Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD,\,\,AB\,{\rm{//}}\,CD$.

Vì $AB = CD$; $AB = BI$ (do $B$ là trung điểm của $AI)$ nên $BI = CD$.

Tứ giác $BICD$ có $BI\,{\rm{//}}\,CD$ (vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$) và $BI = CD$ nên tứ giác $BICD$ là hình bình hành.

Hình bình hành $BICD$ có $\widehat {DBI} = 90^\circ$ nên tứ giác $BICD$ là hình chữ nhật.

Khi đó, $E$ là trung điểm của $DI$.

Ta có tam giác $ADI$ là tam giác đều có $AE$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Do đó, $AE \bot DI$ hay $\widehat {AED} = 90^\circ$. Do đó ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp số: $- {\bf{216}}$.

Ta có $M = {\left( {x + 3} \right)^3} - \left( {x + 9} \right)\left( {{x^2} + 27} \right)$

$$= {x^3} + 9{x^2} + 27x - 27 - \left( {{x^3} + 27x + 9{x^2} + 243} \right)$$

$= {x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 - {x^3} - 27x - 9{x^2} - 243$

$= \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {9{x^2} - 9{x^2}} \right) + \left( {27x - 27x} \right) - \left( {243 - 27} \right)$

$= - 216$.

Vậy $M = - 216.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: $- {\bf{5}}$.

Với $x \ne - 3\,;\,\,x \ne 3\,;\,\,x \ne - 1$, ta có:

$$S = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right)$$

$= \left[ {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}$

$= \frac{{x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\frac{{x + 1}}{{x + 3}}$

$= \frac{{{x^2} - 3x - 2x - 6 - {x^2} + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$

$$= \frac{{ - 5x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$$

$$= \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 5}}{{x - 3}}.$$

Vậy với $x \ne - 3\,;\,\,x \ne 3\,;\,\,x \ne - 1,$ sau khi rút gọn biểu thức $S$ ta được phân thức có tử thức bằng $- 5.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: 73.

Thể tích của lọ nước hoa hình kim tự tháp là: ${V_1} = \frac{1}{3} \cdot {5^2} \cdot 10 = \frac{{250}}{3}\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).$

Thể tích của nắp lọ nước hoa là: ${V_2} = \frac{1}{3} \cdot 2,{5^2} \cdot 5 = \frac{{125}}{{12}}\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).$

Dung tích của lọ nước hoa đó là: $\frac{{250}}{3} - \frac{{125}}{{12}} \approx 73\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right) = 73\,\,\left( {{\rm{ml}}} \right)$.

Vậy dung tích của lọ nước hoa đó là $73\,\,{\rm{ml}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: 35.

Xét tứ giác $MNPQ,$ ta có: $\widehat Q + \widehat {QMN} + \widehat N + \widehat {NPQ} = 360^\circ$ (tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra $\widehat {NPQ} = 360^\circ - \left( {\widehat {QMN} + \widehat N + \widehat Q} \right) = 360^\circ - \left( {110^\circ + 120^\circ + 60^\circ } \right) = 70^\circ$.

Do $PM$ là tia phân giác của góc $NPQ$ nên ta có: $\widehat {MPQ} = \frac{{\widehat {NPQ}}}{2} = \frac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ$.

Vậy số đo của $\widehat {MPQ}$ là $35^\circ$.

Hướng dẫn giải

a) Hàm số $T$ theo t đối với công ty A là: $T = 150\,\,000t + 300\,\,000.$

Hàm số $T$ theo t đối với công ty B là: $T = 200\,\,000t.$

b) Thay $t = 5$ vào công thức $T = 150\,\,000t + 300\,\,000$, ta được:

$T = 15\,\,0000 \cdot 5 + 300\,\,000 = 1\,\,050\,\,000$ (đồng).

Vậy đối với công ty A, sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng thì số tiền phải trả là $1\,\,050\,\,000$ đồng.

Thay $t = 5$ vào công thức $T = 200\,\,000t$, ta được:

$T = 200\,\,000 \cdot 5 = 1\,\,000\,\,000$ (đồng).

Vậy đối với công ty B, sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng thì số tiền phải trả là $1\,\,000\,\,000$ đồng.

c) Để dịch vụ truyền hình cáp của công ty A lợi hơn dịch vụ truyền hình cáp của công ty B thì:

$150\,\,000t + 300\,\,000 < 200\,\,000t$.

Suy ra $300\,\,000 < 50{\rm{ }}000t$ hay $t > 6.$

Vậy nếu sử dụng từ 7 tháng trở lên thì sử dụng dịch vụ truyền hình cáp bên công ty A sẽ có lợi hơn.

Hướng dẫn giải

a) Do $ME \bot AB$ tại $E$ nên $\widehat {MEA} = 90^\circ .$

Do $MF \bot AD$ tại $F$ nên $\widehat {MFA} = 90^\circ .$

Do $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat {EAF} = 90^\circ .$

Tứ giác $AEMF$ có $\widehat {MFA} = \widehat {EAF} = \widehat {AEM} = 90^\circ$ nên $AEMF$ là hình chữ nhật.

b) Do $ABCD$ là hình vuông nên $BD$ là đường phân giác của $\widehat {ABC}.$

Do đó $\widehat {ABD} = 45^\circ$ suy ra $\Delta BEM$ vuông cân tại $E$ nên $BE = ME.$

Do $AEMF$ là hình chữ nhật nên $ME = AF$ nên $BE = AF.$

Chu vi của hình chữ nhật $AEMF$ là:

$$2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {AE + BE} \right) = 2AB.$$

Mà $AB$ không đổi nên chu vi của hình chữ nhật $AEMF$ không đổi.

Do đó, diện tích của tứ giác $AEMF$ lớn nhất khi $AEMF$ là hình vuông.

Suy ra $ME = MF.$

Khi đó $\Delta BEM = \Delta DFM$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $BM = DM$ hay $M$ là trung điểm của $BC.\,$

Vậy với $M$ là trung điểm của $BC$ thì diện tích của tứ giác $AEMF$ lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left( {a - \frac{1}{b}} \right)\left( {b - \frac{1}{c}} \right)\left( {c - \frac{1}{a}} \right)$$= \left( {\frac{{ab - 1}}{b}} \right)\left( {\frac{{bc - 1}}{c}} \right)\left( {\frac{{ac - 1}}{a}} \right)$

$= \frac{{\left( {ab - 1} \right)\left( {bc - 1} \right)\left( {ac - 1} \right)}}{{abc}}$$= \frac{{\left( {a{b^2}c - ab - bc + 1} \right)\left( {ac - 1} \right)}}{{abc}}$

$$= \frac{{{a^2}{b^2}{c^2} - a{b^2}c - {a^2}bc + ab - ab{c^2} + bc + ac + 1}}{{abc}}$$

$$= abc - a - b - c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{{abc}}$$

$$= abc - (a + b + c) + \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{{abc}}$$

Để $\left( {a - \frac{1}{b}} \right)\left( {b - \frac{1}{c}} \right)\left( {c - \frac{1}{a}} \right) \in \mathbb{N}*$ thì $a\,,\,\,b\,,\,\,c \in \mathbb{N}*$ và $abc \in$ Ư$\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\}.$

Với $a = b = c = 1$, ta có: $abc - (a + b + c) + \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + \frac{1}{{abc}}$

$= 1 \cdot 1 \cdot 1 - \left( {1 + 1 + 1} \right) + \left( {1 + 1 + 1} \right) + 1 = 2$.

Vậy $a = b = c = 1$.