Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: C

Hai đơn thức thu gọn là $A = \left( {0{,}3 + \pi } \right){x^2}y;$ $D = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)x{y^2}z$ vì hai đơn thức này là dạng tích của một số với những biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Xét từng đáp án, ta có:

• ${\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}$ (bình phương của một tổng)

• ${\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}$ (lập phương của một tổng)

• ${x^3} - {y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)$ (hiệu hai lập phương)

• ${\left( {x - y} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}$ (lập phương của một hiệu)

Do đó, đáp án A, B, C đúng và đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${x^2} - 20x + 101 = {x^2} - 2 \cdot x \cdot 10 + {10^2} + 1 = {\left( {x - 10} \right)^2} + 1$.

Vì ${\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0$ nên ${\left( {x - 10} \right)^2} + 1 > 0$.

Vậy với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}$ thì giá trị của biểu thức ${x^2} - 20x + 101$ là một số dương.

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{\frac{1}{{x - y}}}}$ không phải phân thức vì $\frac{1}{{x - y}}$ không phải là đa thức.

Đáp án đúng là: C

Mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{1}{x};\,\,\frac{1}{{{y^2}}}$ cần chứa hai nhân tử là $x$ và ${y^2}.$

Mà ta thấy lũy thừa cao nhất của biến $y$ ở đa thức $x\left( {x + 1} \right)y$ (phương án C) là 1 nên $x\left( {x + 1} \right)y$ không phải mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{1}{x};\,\,\frac{1}{{{y^2}}}.$

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số $y = ax{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường thẳng luôn đi qua gốc tọa độ $O\left( {0\,;\,\,0} \right).$

Đáp án đúng là: B

Ta có đồ thị hàm số $y = 2x + 1$ và đồ thị hàm số $y = ax + 3$ là hai đường thẳng song song do đó hệ số góc của hai đường thẳng bằng nhau và bằng $2.$

Vậy $a = 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáy của hình chóp tam giác đều là tam giác đều. Do đó số đo mỗi góc ở đỉnh của đáy hình chóp tam giác đều là $60^\circ .$

Đáp án đúng là: A

Thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là $a$ và độ dài đường cao là $b$ là:

$V = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot b = \frac{1}{3}{a^2}b$ (đvtt).

Đáp án đúng là: B

Do điểm $D$ được gấp trùng với điểm $E$ nên ta có $AD = AE = 10{\rm{ cm}}\,{\rm{.}}$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $AEB$, ta có:

$A{B^2} + B{E^2} = A{E^2}$ hay ${8^2} + B{E^2} = {10^2}$, suy ra $BE = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 6{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Ta có $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC = 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Do đó, ta có $BE + EC = BC$ nên $EC = 10 - 6 = 4{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

• Hình 1 có 4 góc vuông nên là hình chữ nhật.

• Hình 2 có 3 góc vuông và hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình vuông.

• Hình 3 có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và hai đường chéo này vuông góc với nhau nên là hình thoi.

• Hình 4 có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

B. Vậy trong các hình đã cho, Hình 2 là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Đúng.

b) Sai.

c) Sai.

d) Đúng.

⦁ Ta có $A = 2xy\left( {x{y^2} - 3{x^2}y + 1} \right)$

$= 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy$.

Đa thức $A$ có bậc là 5. Do đó ý a) đúng.

⦁ Ta có $B = \left( {12{x^4}{y^5} - 36{x^5}{y^4} + 6{x^3}{y^3}} \right):6{x^2}{y^2}$

$$= 12{x^4}{y^5}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right) - 36{x^5}{y^4}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right) + 6{x^3}{y^3}:\left( {6{x^2}{y^2}} \right)$$

$= 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + xy$.

Khi đó, hệ số tự do của đa thức $B$ là 0. Do đó ý b) sai.

⦁ Thay $x = - 1\,;\,\,y = 1$ vào biểu thức $B$, ta có:

$B = 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {1^3} - 6 \cdot {\left( { - 1} \right)^3} \cdot {1^2} + \left( { - 1} \right) \cdot 1 = 2 + 6 - 1 = 7$.

Vậy với $x = - 1\,;\,\,y = 1$ thì $B = 7$. Do đó ý c) sai.

⦁ Ta có $A = M + B$

Suy ra $M = A - B$

$= 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy - \left( {2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + xy} \right)$

$= 2{x^2}{y^3} - 6{x^3}{y^2} + 2xy - 2{x^2}{y^3} + 6{x^3}{y^2} - xy$

$= \left( {2{x^2}{y^3} - 2{x^2}{y^3}} \right) + \left( { - 6{x^3}{y^2} + 6{x^3}{y^2}} \right) + \left( {2xy - xy} \right)$$= xy.$

Như vậy, $M$ là một đơn thức. Do đó ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Đúng.d) Sai.

⦁ Giả sử $AI$ cắt $BC$ ở $H$.

Ta có: $\widehat {DAI} + \widehat {DAB} + \widehat {BAH} = 180^\circ$, mà $\widehat {DAB} = 90^\circ$ (do $\Delta DAB$ vuông cân tại $A$).

Suy ra $\widehat {DAI} + \widehat {BAH} = 90^\circ$. Do đó ý a) sai.

⦁ Ta có $\widehat {DAI} = \widehat {ABC}$ (gt) nên $\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ$.

Trong $\Delta ABH$ có: $\widehat {ABH} + \widehat {BAH} + \widehat {AHB} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {AHB} = 180^\circ \left( {\widehat {ABH} + \widehat {BAH}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ hay $AI \bot BC$. Do đó ý b) đúng.

⦁ Ta có $\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = \widehat {BAC} + 90^\circ$ và $\widehat {DAC} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + 90^\circ$.

Do đó $\widehat {BAE} = \widehat {DAC}$.

Xét $\Delta BAE$ và $\Delta DAC$ có:

$AB = AD;\,\,\widehat {BAE} = \widehat {DAC};\,\,AC = AE$.

Do đó $\Delta BAE = \Delta DAC$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {EBA} = \widehat {CDA}$ (hai góc tương ứng). Do đó ý c) đúng.

⦁ Tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$ nên $AK$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó $\widehat {DAK} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = 45^\circ$.

Khi đó $\widehat {ABK} = \widehat {BAK} = 45^\circ$ nên $\Delta ABK$ vuông cân tại $K$, do đó $KA = KB$. Do đó ý d) sai.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 5.

Ta có $4{x^2} - 20x + 5a$

$$= {\left( {2x} \right)^2} - 2 \cdot 2x \cdot 5 + {5^2} + 5a - 25$$

$= {\left( {2x - 5} \right)^2} + 5a - 25$.

Để $4{x^2} - 20x + 5a$ là bình phương của một hiệu thì $5a - 25 = 0$ hay $a = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 2.

Với $x \ne \frac{3}{2};$ $x \ne \frac{1}{5};$ $x \ne - \frac{1}{5}$ ta có:

$U = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}:\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}}$

$= \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{\left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}} - \frac{{8 - 3x}}{{\left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}} \cdot \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}}$

$= \frac{{x + 2}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right)}} - \frac{{8 - 3x}}{{\left( {5x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 2 - 8 + 3x}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right)}}$$= \frac{{4x - 6}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {5x - 1} \right)}} = \frac{2}{{5x - 1}}.$

Vậy với $x \ne \frac{3}{2}\,;\,\,x \ne \frac{1}{5}\,;\,\,x \ne - \frac{1}{5},$ sau khi rút gọn biểu thức $U$ ta được phân thức có tử thức bằng 2.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 45.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

${S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {AB + BC + CA} \right) \cdot SI = \frac{1}{2} \cdot \left( {5 + 5 + 5} \right) \cdot 6 = 45{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{.}}$

Vậy d

iện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp $S.ABC$là $45{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp số: 80.

Tứ giác $ABCD$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$ (tổng các góc của một tứ giác).

Vì tứ giác $ABCD$ có số đo các góc $\widehat A\,,\,\,\widehat B\,,\,\,\widehat C\,,\,\,\widehat D$ tỉ lệ thuận với $4;\,\,3;\,\,5;\,\,6$ nên $\frac{{\widehat A}}{4} = \frac{{\widehat B}}{3} = \frac{{\widehat C}}{5} = \frac{{\widehat D}}{6}.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{\widehat A}}{4} = \frac{{\widehat B}}{3} = \frac{{\widehat C}}{5} = \frac{{\widehat D}}{6} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D}}{{4 + 3 + 5 + 6}} = \frac{{360^\circ }}{{18}} = 20^\circ$.

Do đó $\widehat A = 20^\circ \cdot 4 = 80^\circ .$

Hướng dẫn giải

a) Đối với khách hàng là hội viên, ta có hàm số: $s = 5\,\,000t + 50\,\,000.$

Đối với khách hàng không là hội viên, ta có hàm số: $s = 10\,\,000t$.

b) Trung là hội viên nên số tiền Trung bỏ ra cho mỗi năm sẽ được tính theo công thức:

$$s = 5\,\,000t + 50\,\,000.$$

Thay $s = 90\,\,000$ vào công thức $s = 5\,\,000t + 50\,\,000$, ta được:

$90\,\,000 = 5\,\,000t + 50\,\,000$ nên $t = \frac{{90\,\,000 - 50\,\,000}}{{5\,\,000}} = 8$.

Do đó, năm ngoái Trung trả tổng cộng 90 000 đồng nên số sách Trung đã mượn là 8 cuốn.

Thay $t = 8$ vào công thức $s = 10\,\,000t$, ta được: $s = 10\,\,000 \cdot 8 = 80\,\,000.$

Vậy nếu không phải là hội viên thì số tiền Trung phải trả cho năm ngoái là $80\,\,000$ đồng.

c) Khi là hội viên thì với mỗi cuốn sách mướn khách hàng sẽ tiết kiệm được $5\,\,000$ đồng so với khách không phải là hội viên.

Để bù được phí hội viên thì số tiền tiết kiệm được khi mướn t cuốn sách phải lớn hơn hoặc bằng phí hội viên: $5\,\,000t \ge 50\,\,000$ nên $t \ge 10$.

Vậy cần phải mướn ít nhất 10 cuốn sách để có thể bù được phí hội viên

Hướng dẫn giải

a) Tam giác $ABC$ có các đường trung tuyến $BD,{\rm{ }}CE$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm $\Delta ABC,$ do đó $DG = \frac{1}{2}BG,$ $EG = \frac{1}{2}CG.$

Mà $F,{\rm{ }}H$ lần lượt là trung điểm của $BG,{\rm{ }}CG$ nên

$BF = FG = \frac{1}{2}BG,$ $CH = HG = \frac{1}{2}CG.$

Do đó $DG = BF = FG,{\rm{ }}EG = CH = HG.$

Suy ra,

$G$ là trung điểm của $FD,{\rm{ }}G$ là trung điểm của $EH.$

Tứ giác $EFHD$ có hai đường chéo $EH$ và $FD$ cắt nhau tại trung điểm $G$ của mỗi đường nên $EFHD$ là hình bình hành.

b) Để hình bình hành $EFHD$ là hình vuông thì $EH = DF$ và $EH \bot DF.$

Suy ra $EG = DG,{\rm{ }}BG = CG$ và $BD \bot CE.$

⦁ Xét $\Delta BEG$ và $\Delta CDG$ có:

$BG = CG,$ (cmt), $\widehat {EGB} = \widehat {DGC}$ (đối đỉnh), $EG = DG$ (cmt).

Do đó $\Delta BEG = \Delta CDG$ (c.g.c).

Suy ra $BE = CD$ (hai cạnh tương ứng).$\left( 1 \right)$

Mà $BD,{\rm{ }}CE$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $E$ là trung điểm của $AB,{\rm{ }}D$ là trung điểm của $AC.$

Suy ra $AB = 2BE,{\rm{ }}AC = 2CD.\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $AB = AC.$

⦁ Dễ thấy, nếu $AB = AC$ và $BD \bot CE$ thì tứ giác $EFHD$ là hình vuông.

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$ có hai đường trung tuyến $BD,CE$ vuông góc với nhau thì tứ giác $EFHD$ là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có: $A = \frac{{2 + 2x - {x^2}}}{{{x^2} - 2x + 3}} = \frac{{5 - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{x^2} - 2x + 3}} = \frac{5}{{{x^2} - 2x + 3}} - 1$.

Do ${x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2$ với mọi $x$ nên $\frac{5}{{{x^2} - 2x + 3}} = \frac{5}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2}} \le \frac{5}{2}.$

Suy ra $\frac{5}{{{x^2} - 2x + 3}} - 1 \le \frac{5}{2} - 1$ hay $A \le \frac{3}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {x - 1} \right)^2} = 0$ hay $x = 1$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{3}{2}$ khi $x = 1$.