Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

a) Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0$ và $x \to {1^ + }$ thì $x - 1 > 0$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = + \infty$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 3$.

c) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Do đó hàm số gián đoạn tại điểm ${x_0} = 1$.

d) Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên từng khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Có $M \in SA \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow M \in \left( {SAD} \right)$.

b) Xét $\Delta ABD$, có $O$ là trung điểm của $BD$, $N$ là trung điểm của $AD$ nên $ON$ là đường trung bình của $\Delta ABD$.

Suy ra $ON//AB$.

c) Tương tự $OM//SC$. Mà $OM \subset \left( {SAC} \right)$ nên OM không song song (SAC).

d) Có $OM//SC$ mà $SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow OM//\left( {SCD} \right)$(1).

Có $ON//AB$ mà $AB//CD$ nên $ON//CD$ mà $CD \subset \left( {SCD} \right)$. Suy ra $ON//\left( {SCD} \right)$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $\left( {OMN} \right)//\left( {SCD} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có ${u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} \right) = - 23$.

Trả lời: −23.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 8n + 1}}{{10{n^2} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 + \frac{8}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{10 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{5}$.

Suy ra $a = 1;b = 5$. Do đó $3a - 4b = 3.1 - 4.5 = - 17$.

Trả lời: −17.

Ta có $P,O$ lần lượt là trung điểm của $SC,AC$ nên $PO$ là đường trung bình của $\Delta SAC$.

Suy ra $PO//MA$. Do đó $O$ là ảnh của điểm $P$ qua phép chiếu song song $MA$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

$A$ là ảnh của điểm $M$ theo phương chiếu song song $MA$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Gọi I là trung điểm của AD và Q là trung điểm của SD. Suy ra OI là đường trung bình của DSAD.

Suy ra $QI//MA$. Do đó I là ảnh của Q theo phương chiếu song song MA trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó $\Delta AIO$ là ảnh của $\Delta MQP$ theo phương chiếu song song MA trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Ta có ${S_{\Delta AIO}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}} = \frac{1}{8}{.4^2} = 2$.

Trả lời: 2.

$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 3} \right) = - 1$

Trả lời: −1.

Độ sâu của mực nước trong kênh bằng 12 mét khi $2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{6}} \right) + 10 = 12$$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{6}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{6} = k2\pi$$\Leftrightarrow t = - 2 + 24k$.

Vì $0 \le t \le 24$ nên $0 \le - 2 + 24k \le 24$$\Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{13}}{{12}}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow k = 1$.

Do đó $t = 22$.

Vậy vào lúc 22 giờ thì độ sau của mực nước trong kênh bằng 12 mét.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có $I = MN \cap AB$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ có $Q = IP \cap SB$ mà $IP \subset \left( {MNP} \right)$. Do đó $Q = SB \cap \left( {MNP} \right)$.

Có $IB//CN$ nên $\frac{{IB}}{{CN}} = \frac{{MB}}{{MC}} = 1$ $\Rightarrow \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{1}{3}$.

Áp dụng định lí Menelaus cho $\Delta SAB$ có $\frac{{SP}}{{PA}}.\frac{{AI}}{{IB}}.\frac{{BQ}}{{QS}} = 1$$\Leftrightarrow 1.3.\frac{{BQ}}{{QS}} = 1$$\Rightarrow \frac{{BQ}}{{QS}} = \frac{1}{3}$.

Mức lương năm thứ hai kỹ sư nhận được là $220 + 220.5\% = 220.\left( {1 + 5\% } \right)$ triệu đồng.

Mức lương năm thứ ba kỹ sư nhận được là $220\left( {1 + 5\% } \right) + 220\left( {1 + 5\% } \right).5\% = 220.{\left( {1 + 5\% } \right)^2}$ triệu đồng.

Mức lương năm thứ tư kỹ sư nhân được là $220.{\left( {1 + 5\% } \right)^3}$ triệu đồng.

Tổng số tiền lương mà kỹ sư nhận được sau 4 năm làm việc là:

$220 + 220.\left( {1 + 5\% } \right) + 220.{\left( {1 + 5\% } \right)^2} + 220.{\left( {1 + 5\% } \right)^3} = 220.\frac{{1 - {{\left( {1 + 5\% } \right)}^4}}}{{1 - \left( {1 + 5\% } \right)}} \approx 948$ triệu đồng.