Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha + \frac{1}{2}\cos \alpha .$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\cos 2x \le 2 \Rightarrow - 1 \le \cos 2x + 1 \le 3.$

$\Rightarrow - 1 \le y \le 3.$

Vậy tập giá trị của hàm số $y = 2\cos 2x + 1$ là $\left[ { - 1;3} \right].$

Đáp án đúng là: B

Có $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2$.

Đáp án đúng là: D

Có ${u_{n + 1}} = 2020 - 2019\left( {n + 1} \right)$$= 1 - 2019n$.

Có ${u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - 2019n - \left( {2020 - 2019n} \right) = - 2019$.

Do đó ${u_n} = 2020 - 2019n$ là một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

Có $\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}$ mà $\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0$ nên $\lim \left| {{u_n} - 2} \right| = 0$$\Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0$$\Rightarrow \lim {u_n} = 2$.

Đáp án đúng là: C

+) $\lim \frac{{1 - n}}{{2n + 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} - 1}}{{2 + \frac{1}{n}}} = - \frac{1}{2}$ (vì $\lim \frac{1}{n} = 0$).

+) $\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} = + \infty$ (vì $\frac{3}{2} > 1$).

+) $\lim {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^n} = 0$ (vì $0 < \frac{\pi }{4} < 1$).

+) $\lim {n^2} = + \infty$.

Đáp án đúng là: D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 2 \cdot {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = 0$.

Đáp án đúng là: D

+) Hàm số $f\left( x \right) = \tan x + 5$ có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Do đó hàm số $f\left( x \right) = \tan x + 5$ không liên tục trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}$có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}$.

Do đó hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}$ không liên tục trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {x - 6}$có tập xác định là $\left[ {6; + \infty } \right)$.

Do đó hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {x - 6}$ không liên tục trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Do đó hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: D

+) A sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.

+) B và C sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào định nghĩa, đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ khi đó đường thẳng $d$ không có điểm chung với mặt phẳng $(P).$

Đáp án đúng là: C

+) Vì $\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.$ nên $O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Lại có $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ nên $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

+) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD$ và $AD//BC$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB//CD//Sx\end{array} \right.$ nên $Sx = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD//BC//Sy\end{array} \right.$ nên $Sy = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $BB'{\rm{//}}DD'$ và $BB' = DD'.$

$\Rightarrow BB'D'D$ là hình bình hành nên $B'D'{\rm{//}}BD.$

Mà $BD \subset \left( {BDC'} \right)$ và $B'D' \not\subset \left( {BDC'} \right).$

$\Rightarrow B'D'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right).$

Tương tự ta cũng có $AD'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right).$

Ta có: $B'D'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right);\,\,AD'{\rm{//}}\left( {BDC'} \right)$ và $B'D' \cap AD' = D'$ trong $\left( {AB'D'} \right).$

$\Rightarrow \left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BDC'} \right).$

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có $2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)$.

b) Ta có $2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

c)

- Với $x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Vì $x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)$ nên $- \pi < - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{11\pi }}{{12}} < k2\pi < \frac{{13\pi }}{{12}} \Leftrightarrow - \frac{{11}}{{24}} < k < \frac{{13}}{{24}}$

Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0$. Suy ra ${x_1} = - \frac{\pi }{{12}}$

- Với $x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Vì $x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)$ nên $- \pi < - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{7\pi }}{{12}} < k2\pi < \frac{{17\pi }}{{12}} \Leftrightarrow - \frac{7}{{24}} < k < \frac{{17}}{{24}}$

Do $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0$. Suy ra ${x_2} = - \frac{{5\pi }}{{12}}$.

d) Ta có $S = {x_1} + {x_2} = - \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{\pi }{{12}} = - \frac{\pi }{2}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có ${u_n} = 3n - 1$ và ${u_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) - 1 = 3n + 2$.

Suy ra ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {3n + 2} \right) - \left( {3n - 1} \right) = 3 > 0$.

Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

b) Có ${u_{n + 1}} - {u_n} = 3$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với ${u_1} = 2$ và $d = 3$.

c) Có ${u_n} = 179 \Leftrightarrow 3n - 1 = 179 \Leftrightarrow n = 60$.

d) Ta có ${S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2}$$\Leftrightarrow 5430 = \frac{{\left[ {4 + \left( {n - 1} \right).3} \right].n}}{2}$$\Leftrightarrow 3{n^2} + n - 10860 = 0$$\Leftrightarrow n = 60$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

Ta có $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4{x}^{2}-7x+12}}{a|x|-17}=$ $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{4-\frac{7}{x}+\frac{12}{{x}^{2}}}}{-x(a+\frac{17}{x})}=$ $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4-\frac{7}{x}+\frac{12}{{x}^{2}}}}{a+\frac{17}{x}}=\frac{2}{a}$

a) $L = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \frac{2}{a} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 4$.

b) $L = 1$$\Leftrightarrow \frac{2}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 2$.

c) $L \ne 0$.

d) $L = 2$$\Leftrightarrow \frac{2}{a} = 2 \Leftrightarrow a = 1$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}EF//DC\left( {//AB} \right)\\EF = DC\left( { = AB} \right)\end{array} \right.$. Suy ra $EFDC$ là hình bình hành.

Do đó $EC//FD$.

b) Vì $\left\{ \begin{array}{l}BE//AF;BC//AD\\BE,BC \subset \left( {BCE} \right),BE \cap BC = B\\AF,AD \subset \left( {ADF} \right),AF \cap AD = A\end{array} \right.$$\Rightarrow \left( {ADF} \right)//\left( {BCE} \right)$.

c) Vì $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $\left( {ADF} \right)$. $\left( P \right)$ cắt $AB,AC,CD,EF$ lần lượt tại $I,N,K,J$. Suy ra $IJ$ qua $M$ và $IJ//AF$.

d) Vì $NI//AD//BC$ nên $\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}}$.

Lại có $IM//BH//AF$ ($H$ là trung điểm của $BE$) nên $\frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{AM}}{{MH}} = 2$ (vì $M$ là trọng tâm $\Delta ABE$).

Do đó $\frac{{AN}}{{NC}} = 2$.

Trả lời: 23

Ta có $P\left( t \right) = 90$$\Leftrightarrow 100 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = 90$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}k\\t = \frac{7}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}n\end{array} \right.,\left( {k,n \in \mathbb{Z}} \right)$.

Với $t = - \frac{1}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}k$ ta có:

$0 < - \frac{1}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}k < 10$$\Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{47}}{4}$$\Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}$.

Với $t = \frac{7}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}n$ ta có

$0 < \frac{7}{{14}} + \frac{{12}}{{14}}n < 10$$\Leftrightarrow - \frac{7}{{12}} < n < \frac{{133}}{{12}}$$\Rightarrow n \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}$.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, có 23 lần huyết áp là 90 mmHg.

Trả lời: 230

Gọi ${u_n}$ là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n.

Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân có ${u_1} = 180$ và công bội $q = 1 + 5\% = 1{,}05$.

Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là

${u_6} = {u_1}.{q^5} = 180.1,{05^5} \approx 230$ triệu đồng.

Trả lời: 10

$\lim {u_n} = \lim \frac{{n\sqrt n \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} + \frac{3}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{n\sqrt n }}} \right)}}{{n\sqrt n \left( {\sqrt {6 + \frac{2}{n}} + \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)}}$$= \sqrt {\frac{2}{6}} = \sqrt {\frac{1}{3}}$.

Suy ra $a = 1;b = 3$. Do đó ${a^2} + {b^2} = 10$.

Trả lời: 105

Có $\overline C \left( x \right) = \frac{{50000 + 105x}}{x}$.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50000 + 105x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{50000}}{x} + 105}}{1} = 105$.

Trả lời: 0,5

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, gọi $K = AM \cap SO$.

Khi đó $\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABM} \right) = BK$.

Trong $\left( {SBD} \right)$ lấy điểm $N = BK \cap SD$. Khi đó $N = SD \cap \left( {ABM} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ nên $AC = BD = a\sqrt 2$.

Do đó $\Delta SAC$ và $\Delta SBD$ là các tam giác đều.

Mà $K = AM \cap SO \Rightarrow K$ là trọng tâm $\Delta SAC$.

Suy ra $K$ là trọng tâm $\Delta SBD$ $\Rightarrow BN$ là trung tuyến của $\Delta SBD$ $\Rightarrow N$ là trung điểm của $SD$.

Suy ra $\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2} = 0{,}5$.

Trả lời: 1

Để $MN//\left( {SAD} \right)$ thì $MN//AK$ ($K = BN \cap AD$).

Vì $MN//SK$ nên $\frac{{BM}}{{MS}} = \frac{{BN}}{{NK}}$ (1).

Vì $AK//BC$ nên $\frac{{BN}}{{NK}} = \frac{{CN}}{{AN}}$ (2).

Từ (1) và (2), ta có $\frac{{BM}}{{MS}} = \frac{{CN}}{{AN}}$ hay $x = y$. Suy ra $\frac{x}{y} = 1$.