Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: B

Với hai số thực dương $x,\,\,y$ và hai số thực $\alpha ,\,\,\beta$ tùy ý, ta có:

+) ${x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}$ (nhân hai lũy thừa cùng cơ số);

+) ${\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}$ (lũy thừa của lũy thừa);

+) ${\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }$ (lũy thừa của một tích).

Khi đó, áp dụng công thức lũy thừa của một tích ta có

${\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }} = {x^{\alpha + \beta }} \cdot {y^{\alpha + \beta }} \ne {x^\alpha } \cdot {y^\beta }$ (dấu bằng chỉ xảy ra khi $\alpha = \beta = 0$).

Từ đó suy ra đáp án B sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có $K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0{,}75}} - {25^{0{,}5}} = \frac{{109}}{{27}}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${a^2} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} = {a^{2 + \frac{1}{3}}} = {a^{\frac{7}{3}}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sqrt a \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^5}}} = {a^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}} = {a^{\frac{5}{3}}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{a^{12}} \cdot {b^6}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{a^6} \cdot {b^3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{{\left( {{a^6} \cdot {b^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{a^2} \cdot b}} = ab$.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

+) ${\log _a}x$ có nghĩa khi và chỉ khi $x > 0$, do đó đáp án A sai.

+) ${\log _a}1 = 0$, do đó đáp án B sai.

+) ${\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y$, do đó đáp án C sai.

+) ${\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\,\,\left( {x > 0,\,n \ne 0} \right)$, do đó đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}9 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}{3^2} = 2 \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}}{\log _3}3 = 4$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 = {\log _a}3 - {\log _a}5 = {\log _a}\frac{3}{5}$.

Vậy $x = \frac{3}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}$$= \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left[ {\left( {{x^2} + 9{y^2}} \right) + 6xy} \right]}}$

$= \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {6xy + 6xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {12xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}} = 1$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2} \cdot 2{\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}{\log _7}{\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = \frac{1}{2}{\log _7}\frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{9}$

$= \frac{1}{2}{\log _7}\frac{{7ab + 2ab}}{9} = \frac{1}{2}{\log _7}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_7}a + {{\log }_7}b} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {x^{2023}}$ không phải hàm số mũ.

Đáp án đúng là: B

+) Hàm số $y = {a^x}$ với $a > 1$ là hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)$ và với $0 < a < 1$ thì hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)$ nên đáp án A và D sai.

+) Đồ thị hàm số $y = {a^x}$ với $0 < a$, $a \ne 1$ luôn đi qua điểm $\left( {1\,;\,\,a} \right)$ nên đáp án C sai.

+) Đồ thị các hàm số $y = {a^x}$ và $y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}$với $0 < a$, $a \ne 1$ đối xứng với nhau qua trục $Oy$ là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {\log _{\frac{e}{3}}}x$ có cơ số là $\frac{e}{3}$ và $0 < \frac{e}{3} < 1$ nên hàm số này nghịch biến trên tập xác định $\left( {0;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ đi lên từ trái qua phải nên hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó $a > 1$.

Đồ thị $\left( {{C_2}} \right)$ đi xuống từ trái qua phải nên hàm số $y = {b^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, do đó $0 < b < 1$.

Vậy $0 < b < 1 < a$.

Đáp án đúng là: A

ĐKXĐ: $- {x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3$.

Vậy hàm số $y = {\log _{\frac{1}{8}}}\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)$ có tập xác định là $\left( {2;3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình ${2^x} = 3$ là phương trình mũ.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${3^x} > 6 \Leftrightarrow x > {\log _3}6$.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.

Ta có ${\log _3}\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = 10$.

Đáp án đúng là: D

Ta có ${2^{2x - 4}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x - 4 = x \Leftrightarrow x = 4$.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x > 0\\2x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 4\\x > 0\end{array} \right.\\x > - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0$.

Ta có ${\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{{3^{ - 1}}}}\left( {2x + 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) - {\log _3}\left( {2x + 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x + 3}} = 0$$\Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x}}{{2x + 3}} = {3^0}$

$\Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x}}{{2x + 3}} = 1$$\Rightarrow {x^2} + 4x = 2x + 3$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.$.

Kết hợp với điều kiện ta chọn $x = 1$, vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án đúng là: C

+) Phương án A và B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

+) Phương án C đúng vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì phương của chúng song song với nhau.

+) Phương án D sai vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song hoặc trùng nhau.

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $AB{\rm{//}} = C'D'\,\,\left( {{\rm{//}} = CD} \right)$.

Suy ra $ABC'D'$ là hình bình hành, do đó $AD'{\rm{//}}BC'$.

Lại có $AD' \bot A'D$ (do $ADD'A'$ là hình vuông).

Từ đó suy ra $BC' \bot A'D$.

Đáp án đúng là: B

Vì $MN{\rm{//}}M'N'$ nên $\left( {MN,\,\,M'P'} \right) = \left( {M'N',\,M'P'} \right) = \widehat {N'M'P'} = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $E$ là trung điểm của $BD$.

Khi đó ta có $ME,\,\,NE$ lần lượt là đường trung bình của các tam giác $BCD,\,\,ABD$.

Suy ra $ME{\rm{//}}CD,\,NE{\rm{//}}AB$. Do đó, $\left( {AB,\,CD} \right) = \left( {NE,\,ME} \right)$.

Ta có $ME = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a,\,\,NE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a$.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác $MNE$ ta có

$\cos \widehat {MEN} = \frac{{M{E^2} + N{E^2} - M{N^2}}}{{2ME \cdot NE}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \frac{{ - 1}}{2}$.

Suy ra $\widehat {MEN} = 120^\circ$.

Khi đó, $\left( {NE,\,ME} \right) = 180^\circ - \widehat {MEN} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Vậy $\left( {AB,\,CD} \right) = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Trong không gian cho điểm $A$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, có đúng một đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là điểm $A$.

Đáp án đúng là: A

Nếu $b\; \bot a$ thì có thể xảy ra trường hợp $b\; \subset \;\left( P \right)$, nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, suy ra $SA \bot BC$.

Lại có $ABCD$ là hình vuông nên $AB \bot BC$.

Từ đó suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$, do đó $BC \bot AM$.

Mà $AM \bot SB$ (do $M$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$).

Như vậy, $AM \bot \left( {SBC} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot BC$, đáp án A đúng.

Ta có $BC \bot AB$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $B$) và $SA \bot BC$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

Suy ra $BC \bot AH$. Lại có $AH \bot SB$, do đó $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

Suy ra $AH \bot SC$ và $AH \bot BC$, đáp án C và D đúng.

Đáp án đúng là: C

Hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nếu $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thì $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề ii) và iii) là các mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: A

+) Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau, do đó đáp án A đúng.

+) Đáp án B sai vì hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.

+) Đáp án C sai vì giả sử ta chọn đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho thì đường thẳng này nằm trong cả 2 mặt phẳng.

+) Đáp án D là sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$, do đó đáp án B đúng.

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, suy ra $SA \bot BC$. Lại có $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên $AB \bot BC$. Từ đó suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$, do đó $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)$, vậy đáp án D đúng.

Vì $M$ là trung điểm của $AC$ và $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên $BM \bot AC$.

Lại có $BM \bot SA$ (do $SA \bot \left( {ABC} \right)$) nên $BM \bot \left( {SAC} \right)$, do đó $\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)$, vậy đáp án C đúng.

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $ABCD$ là hình vuông, do đó hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau.

Lại có $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$, suy ra $AA' \bot BD$.

Khi đó, đường thẳng $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $AA'$ nằm trong mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$ nên $BD \bot \left( {ACC'A'} \right)$. Suy ra $\left( {BDD'B'} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)$.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$ và $\left( {BDD'B'} \right)$ bằng $90^\circ$.

a) Ta có $\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right) = {5^2} - {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = 25 - 24 = 1$.

Do đó

$P = {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2018}} \cdot {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2019}} = {\left[ {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)} \right]^{2018}} \cdot \left( {5 - 2\sqrt 6 } \right) = 5 - 2\sqrt 6$.

b) Hàm số đã cho xác định khi $\{\begin{matrix}4-{x}^{2}\ge 0 \\ 2x-3>0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-2\le x\le 2 \\ x>\frac{3}{2}\end{matrix}\Leftrightarrow \frac{3}{2}<x\le 2.$

Vậy $D = \left( {\frac{3}{2};2} \right].$

a) Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, mà $BC \subset \left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow BC \bot SA$.

Và $BC \bot AB$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Mà $SA,AB \subset \left( {SAB} \right)$. Vậy $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, mà $BD \subset \left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow SA \bot BD$.

Và $BD \bot AC$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Mà $SA,AC \subset \left( {SAC} \right)$.

Suy ra $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Mặt khác ta có: $BD \subset \left( {SBD} \right)$.

Vậy $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.

Diện tích rừng trồng mới của năm $2020 + 1$ là $1200{\left( {1 + 6\% } \right)^1}$ .

Diện tích rừng trồng mới của năm $2020 + 2$ là $1200{\left( {1 + 6\% } \right)^2}$ .

…

Diện tích rừng trồng mới của năm $2020 + n$ là $1200{\left( {1 + 6\% } \right)^n}$ .

Ta có: $1200{\left( {1 + 6\% } \right)^n} > 1600 \Leftrightarrow {\left( {1 + 6\% } \right)^n} > \frac{4}{3} \Leftrightarrow n > {\log _{1 + 6\% }}\frac{4}{3} \approx 4{,}94$.

Như vậy kể từ năm 2020 thì năm 2025 là năm đầu tiên diện tích rừng trồng mới đạt trên 1 600 ha.