Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

Phương trình $0x - 0y = 6$ có hệ số $a = b = 0$ nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: C

Nhân phương trình thứ nhất của hệ với 6, ta được phương trình mới $3x - 3y = - 6,$ cộng với phương trình thứ hai ta được phương trình: $0x = - 1$ (hoặc phương trình $0y = - 1$).

Phương trình trên vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Như vậy, có 2 khẳng định đúng là (ii), (iii). Ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha = \frac{4}{3}.$

Đáp án: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.

⦁ Do $a > 1$ nên $a - 1 > 0$. Do đó ý a) là đúng.

⦁ Do $a > b$ nên $a - b > 0$. Do đó ý b) là sai.

⦁ Do $1 > b$ hay $b < 1$ nên $b - 1 < 0$, mà $a - 1 > 0$ suy ra $\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) < 0.$ Do đó ý c) là đúng.

⦁ Ta có $a - 2b = \left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) - 1$

Do $b - 1 < 0$ nên $- 2\left( {b - 1} \right) > 0$.

Lại có $a - 1 > 0$ nên $\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) > 0,$ suy ra $\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) - 1 > - 1$

Như vậy $2a - b > - 1.$ Do đó ý d) là sai.

Đáp số: $\frac{{85}}{2}.$

Để đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $M\left( {3;\,\, - 5} \right)$ thì thay $x = 3,\,\,y = - 5$ vào hàm số $y = ax + b$, ta được: $- 5 = 3a + b$.

Tương tự, để đường thẳng đi qua điểm $N\left( {1;\,\,2} \right)$, ta có: $2 = a + b$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3a + b = - 5}\\{a + b = 2}\end{array}} \right.$.

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2a = - 7,$ suy ra $a = - \frac{7}{2}$.

Thay $a = - \frac{7}{2}$ vào phương trình $a + b = 2$, ta được:

$- \frac{7}{2} + b = 2,$ suy ra $b = \frac{{11}}{2}$.

Vậy, tổng bình phương của $a$ và $b$ là ${a^2} + {b^2} = {\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} = \frac{{85}}{2}.$

a) $\left( {1 - 2x} \right)\left( {x + 5} \right) = 0$

$1 - 2x = 0$ hoặc $x + 5 = 0$

$2x = 1$ hoặc $x = - 5$

$x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = - 5$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{1}{2};\,\,x = - 5.$

b) Điều kiện xác định: $x \ne 4,\,\,x \ne - 4.$

$\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{17x - 56}}{{16 - {x^2}}}$

$\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} - \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}$

$\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}$

$\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) - x\left( {x + 4} \right) = - 17x + 56$

$2{x^2} - 8x - 5x + 20 - {x^2} - 4x = - 17x + 56$

${x^2} = 36$

$x = 6$ (thõa mãn) hoặc $x = - 6$ (thõa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 6;\,\,x = - 6.$

c) ${\left( {x - 1} \right)^2} < x\left( {x + 3} \right)$

$${x^2} - 2x + 1 < {x^2} + 3x$$

$$- 5x < - 1$$

$$x > \frac{1}{5}$$

Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là $x > \frac{1}{5}.$

d) $\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}$

$$\frac{{3\left( {4x - 1} \right)}}{6} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{2\left( {9x - 11} \right)}}{6}$$

$$3\left( {4x - 1} \right) + 6x - 19 \ge 2\left( {9x - 11} \right)$$

$$12x - 3 + 6x - 19 \ge 18x - 22$$

$$12x + 6x - 18x \ge - 22 + 3 + 19$$

$0x \ge 0$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \in \mathbb{R}.$

a) Vì số nguyên tử của ${\rm{Fe,}}\,\,{\rm{O}}$ và ${\rm{H}}$ ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\3x = 3 + y\\3x = 2y\end{array} \right.$

Từ hai phương trình $3x = 3 + y$ và $3x = 2y$ ta có phương trình $3 + y = 2y,$ suy ra $y = 3.$

Vậy $x = 2$ và $y = 3.$ Khi đó ta có phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng như sau:

$$2{\rm{Fe}}{\left( {{\rm{OH}}} \right)_3} \to {\rm{F}}{{\rm{e}}_2}{{\rm{O}}_3} + 3{{\rm{H}}_2}{\rm{O}}.$$

b) Gọi $x$ (km/h) là vận tốc dự định của ôtô và $y$ (giờ) là thời gian dự định của ôtô để đi hết quãng đường AB $\left( {x > 10,\,\,y > 0} \right).$

– Quãng đường AB là $xy$ (km).

– Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: $x + 10$ (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: $y - 3$ (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: $\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right)$ (giờ).

Ta có phương trình: $\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy$

$xy - 3x + 10y - 30 = xy$

$- 3x + 10y = 30$ (1)

– Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi muộn hơn so với dự định là 5 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: $x - 10$ (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: $y + 5$ (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: $\left( {x + 10} \right)\left( {y + 5} \right)$ (giờ).

Ta có phương trình: $\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy$

$xy + 5x - 10y - 50 = xy$

$5x - 10y = 50$ (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: $2x = 80,$ suy ra $x = 40$ (thỏa mãn).

Thay $x = 40$ vào phương trình (1), ta được:

$- 3 \cdot 40 + 10y = 30$ hay $10y = 150,$ suy ra $y = 15$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dự định của ôtô là 40 (km/h) và thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là 15 (giờ).

a) Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H,$ ta có:

$AH = AB \cdot \sin B = 4 \cdot \sin 40^\circ \approx 2{,}57$ (cm);

$BH = AB \cdot \cos B = 4 \cdot \cos 40^\circ \approx 3{,}06$ (cm).

Ta có $BC = BH + HC$

Suy ra $HC = BC - BH \approx 4{,}5 - 3{,}06 = 1{,}44$ (cm).

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, theo định lí Pythagore, ta có:

$$A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} \approx 2,{57^2} + 1,{44^2} = 8{,}6785$$

Suy ra $AC \approx 2{,}95$ (cm).

Trong $\Delta AHC$, ta cũng có: $\tan C = \frac{{AH}}{{HC}} \approx \frac{{2{,}57}}{{1{,}44}} = \frac{{257}}{{144}}.$ Suy ra $\widehat {C\,} \approx 60^\circ 44'.$

b) Đặt: $BC = x\,\,\left( {\rm{m}} \right);$ $AC = AB + BC = 500 + x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $C,$ ta có: $CD = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CAD} = \left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ .$

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C,$ ta có: $CD = BC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CBD} = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$.

Do đó, ta có: $\;\left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$

$500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ + x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$

$\;x \cdot {\rm{tan}}38^\circ - x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ$

$\;x \cdot \left( {{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ } \right) = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ$

$\;x = \frac{{500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ }}{{{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ }} \approx 3\,\,158{,}5\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$

Suy ra $CD = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 3\,\,158{,}5 \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 2468\,\,({\rm{m}}).$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2\,\,468$ mét.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {B\,} = \alpha$.

Do $\widehat {B\,}$ là góc nhọn nên $0^\circ < \widehat {B\,} < 90^\circ$ hay $0^\circ < \alpha < 90^\circ .$

Ta có: $\sin \alpha = \frac{{AC}}{{BC}}$ và $\cos \alpha = \frac{{AB}}{{BC}}.$

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (định lí Pythagore).

Khi đó:

$${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1.$$

Với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ thì $1 - \cos \alpha \ne 0$ và $\sin \alpha - \cos \alpha + 1 \ne 0$.

Ta có: $\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha - 1}}{{1 - \cos \alpha }} - \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha + 1}}$

$$= \frac{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha - 1} \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right) - 2\cos \alpha \left( {1 - \cos \alpha } \right)}}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}$$

$$= \frac{{\left[ {\sin \alpha + \left( {\cos \alpha - 1} \right)} \right]\left[ {\sin \alpha - \left( {\cos \alpha - 1} \right)} \right] - 2\cos \alpha \left( {1 - \cos \alpha } \right)}}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}$$

$$= \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\left( {\cos \alpha - 1} \right)}^2} - 2\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}$$

$$= \frac{{{{\sin }^2}\alpha - \left( {{{\cos }^2}\alpha - 2\cos \alpha + 1} \right) - 2\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}$$

$$= \frac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha + 2\cos \alpha - 1 - 2\cos \alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }}{{\left( {1 - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha - \cos \alpha + 1} \right)}}$$

$$= \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x - 1}}{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x + 1} \right)}}.$$

$= \frac{{1 - 1}}{{\left( {1 - \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x + 1} \right)}} = 0$ (vì $1 - \cos x \ne 0$ và $\sin x - \cos x + 1 \ne 0)$

Vậy $\frac{{\sin x + \cos x - 1}}{{1 - \cos x}} = \frac{{2\cos x}}{{\sin x - \cos x + 1}}.$