Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình là: $x \ne 0$ và $x \ne - 1$.

Khi nhận được kết quả là $x = 0$ và $x = - \frac{3}{2}$, ta thấy chỉ có giá trị $x = - \frac{3}{2}$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = - \frac{3}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Giải phương trình:

$\left( {x + 4} \right)\left( {8 - x} \right) = 0$

$x + 4 = 0$ hoặc $8 - x = 0$

$x = - 4$ hoặc $x = 8$.

Như vậy, phương trình trên có nghiệm là $x = - 4;\,\,x = 8$.

Đáp án đúng là: D

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có số nghiệm nhiều nhất khi hệ có vô số nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, ta được phương trình mới là: $2x - 4y = 8$.

Cộng từng vế phương trình trên với phương trình (2), ta nhận được phương trình:

$0x = 7$. Phương trình này vô nghiệm.

Do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Như vậy chỉ có khẳng định (iii) là đúng. Ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “$x$ không lớn hơn $- 10$” được viết là $x \le - 10$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $- 3 > - 4$, cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số $m$ bất kỳ, ta được:

$m - 3 > m - 4$.

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình $x + 2y > 0$ có hai ẩn nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình $\frac{1}{x} - 3 > 0$ có chứa ẩn $x$ dưới mẫu nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình ${x^2} + 1 > 0$ có chứa ${x^2}$ nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình $\frac{x}{2} + 1 > 0$ hay $\frac{1}{2}x + 1 > 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b > 0$ với $a = \frac{1}{2} \ne 0$ và $b = 1.$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Giải bất phương trình:

$x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}$

$5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}$

$5x \ge - 12$

$x \ge \frac{{ - 12}}{5}$.

Do đó nghiệm của bất phương trình là $x \ge \frac{{ - 12}}{5}\,\,\,\left( { = - 2{,}4} \right)$.

Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = - 2$.

Đáp án đúng là: C

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $M$ có $\cot N = \frac{{MN}}{{MP}}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có $\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha = \frac{3}{5}.$

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABC$ là tam giác vuông có cạnh huyền là cạnh $BC$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$, do đó $\frac{{AC}}{{BC}} = \sin B = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Vậy tỉ số giữa cạnh góc vuông $AC$ và cạnh huyền $BC$ bằng $\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ hay hai góc $B$ và $C$ phụ nhau, do đó $\sin C = \cos B$.

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$\cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{5}{{13}} \approx 0{,}38$.

Vậy $\sin C = \cos B \approx 0{,}38$.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

1. Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}ax + 2by = - 18\\bx - 3ay = - 3\end{array} \right.$ nhận cặp số $\left( { - 3;\,\,2} \right)$ làm nghiệm thì $x = - 3$ và $y = 2$ thỏa mãn hệ phương trình. Khi đó, ta có $\left\{ \begin{array}{l}a \cdot \left( { - 3} \right) + 2b \cdot 2 = - 18\\b \cdot \left( { - 3} \right) - 3a \cdot 2 = - 3\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 4b = - 18\\ - 6a - 3b = - 3\end{array} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $\frac{4}{3},$ ta được hệ phương trình mới $\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 4b = - 18\\ - 8a - 4b = - 4\end{array} \right.$.

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$- 11a = - 22$ suy ra $a = 2$.

Thay $a = 2$ vào phương trình $- 3a + 4b = - 18$, ta được:

$- 3 \cdot 2 + 4b = - 18$, suy ra $4b = - 12$ nên $b = - 3$.

Vậy $a = 2$ và $b = - 3$.

2. Gọi $x,\,\,y$ (km/h) lần lượt là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước $\left( {x > y > 0} \right).$

Vận tốc của thuyền khi đi xuôi dòng là: $x + y$ (km/h).

Vận tốc của thuyền khi đi ngược dòng là: $x - y$ (km/h).

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng $40$ km là: $\frac{{40}}{{x + y}}$ (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng $40$ km là: $\frac{{40}}{{x - y}}$ (giờ).

Theo bài, chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài $40$ km hết $4$ giờ $30$ phút $( = 4{,}5$ giờ) nên ta có phương trình: $\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4{,}5$. (1)

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng $5$ km là: $\frac{5}{{x + y}}$ (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng $4$ km là: $\frac{4}{{x - y}}$ (giờ).

Theo bài, thời gian thuyền xuôi dòng $5$ km bằng thời gian thuyền ngược dòng $4$ km nên ta có phương trình: $\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4{,}5\\\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4{,}5\\\frac{5}{{x + y}} - \frac{4}{{x - y}} = 0\end{array} \right.$

Cách 1. Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 8, ta được $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4{,}5\\\frac{{40}}{{x + y}} - \frac{{32}}{{x - y}} = 0\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$\frac{{72}}{{x - y}} = 4{,}5,$ suy ra $\frac{1}{{x - y}} = 0{,}0625$ nên $x - y = 16.$ (3)

Thay $\frac{1}{{x - y}} = 0{,}0625$ vào phương trình $\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}},$ ta được:

$\frac{5}{{x + y}} = 4 \cdot 0{,}0625$ suy ra $\frac{5}{{x + y}} = 0{,}25$ nên $x + y = 20$. (4)

Từ phương trình (3) và phương trình (4), ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + y = 20}\\{x - y = 16.}\end{array}} \right.$

***Cách 2. Đặt $a = \frac{1}{{x + y}}$ và $b = \frac{1}{{x - y}}$ $\left( {a > 0;\,\,b > 0} \right)$, ta có hệ phương trình:* **

$\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4{,}5\\5a = 4b\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4{,}5\\5a - 4b = 0\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 10, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4{,}5\\50a - 40b = 0\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$90a = 4{,}5$, suy ra $a = \frac{1}{{20}}$ (thỏa mãn).

Thay $a = \frac{1}{{20}}$ vào phương trình $5a = 4b$, ta được:

$5 \cdot \frac{1}{{20}} = 4b,$ suy ra $b = \frac{1}{{16}}$ (thỏa mãn).

Với $b = \frac{1}{{16}}$ ta có: $\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{{16}}$ suy ra $x - y = 16$. (3’)

Với $a = \frac{1}{{20}}$ ta có $\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{20}}$ suy ra $x + y = 20$. (4’)

Từ phương trình (3’) và phương trình (4’), ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + y = 20}\\{x - y = 16.}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$2x = 36,$ suy ra $x = 18$ (thỏa mãn).

Thay $x = 18$ vào phương trình $x + y = 20$, ta được:

$18 + y = 20$, suy ra $y = 2$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Hướng dẫn giải

1. Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ ta có:

⦁ $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}$, suy ra $AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 70^\circ }} \approx 5{,}32{\rm{\;(cm);}}$

⦁ $BH = AH \cdot \cot B = 5 \cdot \cot 70^\circ \approx 1{,}82{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ ta có:

⦁ $\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}$, suy ra $AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{5}{{\sin 35^\circ }} \approx 8{,}72{\rm{\;(cm);}}$

⦁ $CH = AH \cdot \cot C = 5 \cdot \cot 35^\circ \approx 7{,}14{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Khi đó $BC = BH + HC \approx 1{,}82 + 7{,}14 = 8{,}96{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy $AB \approx 5{,}32\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,AC \approx 8{,}72\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC \approx 8{,}96\,\,{\rm{cm}}\,.$

2. Hình ảnh thiết bị chiếu sáng trong bài toán được mô tả như hình vẽ bên, trong đó $A$ là vị trí đặt thiết bị chiếu sáng, $CD$ là độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất và $\widehat {CAD} = 20^\circ$ là góc chiếu sáng. Khi đó ta có $AB = 2{,}5{\rm{\;m}}$ và $BC = 2{\rm{\;m}}.$

⦁ Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$, ta có:

$\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{2{,}5}} = 0{,}8$ nên $\widehat {BAC} \approx 38{,}7^\circ .$

Ta có $\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} \approx 38{,}7^\circ + 20^\circ = 58{,}7^\circ .$

⦁ Xét $\Delta ABD$ vuông tại $B$, ta có

$BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} \approx 2{,}5 \cdot \tan 58{,}7^\circ \approx 4{,}1{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Do đó $CD = BD - BC \approx 4{,}1 - 2 = 2{,}1{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất khoảng $2{,}1$ mét.

Hướng dẫn giải

Với hai số thực $a,\,\,b$ thỏa mãn $a + b \ne 0$, ta có:

${a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} - 2 = {a^2} + {b^2} + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2$

$= {a^2} + {b^2} + 2ab - 2ab + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2$

$= {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2$

$= {\left( {a + b} \right)^2} - 2\left( {ab + 1} \right) + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}$

$$= \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^4} - 2{{\left( {a + b} \right)}^2}\left( {ab + 1} \right) + {{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}$$

$= \frac{{{{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}$.

Với $a + b \ne 0$ ta có ${\left( {a + b} \right)^2} > 0$ và ${\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]^2} \ge 0$

Do đó $\frac{{{{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 0$ nên ${a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} - 2 \ge 0$ hay ${a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.$

Vậy bất đẳng thức ${a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2$ đã được chứng minh.

làm \ right)}^2}}} {{{{\ left ({a + b} \ right)}^2}}}} \]