Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: D

Các bước để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu là

(1) Tìm điều kiện xác định của phương trình.

(4) Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

(3) Giải phương trình vừa nhận được.

(2) Xét mỗi giá trị tìm được của ẩn, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Do đó phương trình bậc nhất hai ẩn trong các phương trình trên là: $x - 2y = 0.$

Đáp án đúng là: C

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

⦁ $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{b}{a}$;

⦁ $AC = BC \cdot \cos C$ hay $b = a \cdot \cos C$;

⦁ $AB = AC \cdot \tan C$ hay $c = b \cdot \tan C$;

⦁ $\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}$ suy ra $b = \frac{c}{{\cot B}}$.

Vậy phương án C là khẳng định đúng

Đáp án: a) S; b) S; c) Đ; d) Đ.

⦁ Vì $a < b$ nên $4a < 4b$ suy ra $4a - 2 < 4b - 2$, do đó ý a) là sai.

⦁ Vì $a < b$ nên $- 3a > - 3b$ suy ra $6 - 3a > 6 - 3b$, do đó ý b) là sai.

⦁ Vì $a < b$ nên $4a < 4b$ suy ra $4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5$ hay $4a + 1 < 4b + 5$, do đó ý c) là đúng.

⦁ Vì $a < b$ nên $- 2a > - 2b$ suy ra $7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b$ hay $7 - 2a > 4 - 2b$, do đó ý d) đúng.

Đáp số: $\frac{{85}}{2}.$

Để đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $M\left( {3;\,\, - 5} \right)$ thì thay $x = 3,\,\,y = - 5$ vào hàm số $y = ax + b$, ta được: $- 5 = 3a + b$.

Tương tự, để đường thẳng đi qua điểm $N\left( {1;\,\,2} \right)$, ta có: $2 = a + b$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3a + b = - 5}\\{a + b = 2}\end{array}} \right.$.

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2a = - 7,$ suy ra $a = - \frac{7}{2}$.

Thay $a = - \frac{7}{2}$ vào phương trình $a + b = 2$, ta được:

$- \frac{7}{2} + b = 2,$ suy ra $b = \frac{{11}}{2}$.

Vậy, tổng bình phương của $a$ và $b$ là ${a^2} + {b^2} = {\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} = \frac{{85}}{2}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < 0$.

1. Vì số nguyên tử của ${\rm{K,}}\,\,{\rm{N}}$ và ${\rm{O}}$ ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2\\3x = 2 \cdot 2 + 2y\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\3x = 4 + 2y.\end{array} \right.$

Thay $x = 2$ vào phương trình $3x = 4 + 2y,$ ta được:

$3 \cdot 2 = 4 + 2y,$ suy ra $2y = 2$ nên $y = 1.$

Vậy $x = 2$ và $y = 1.$ Khi đó ta có phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng như sau:

$2{\rm{KN}}{{\rm{O}}_3} \to 2{\rm{KN}}{{\rm{O}}_2} + {{\rm{O}}_2}.$

2. Gọi $x$ (gam) và $y$ (gam) lần lượt là khối lượng dung dịch muối ăn với nồng độ $5\%$ và $20\%$ cần dùng $\left( {0 < x < 1\,\,000,\,\,0 < y < 1\,\,000} \right)$.

Theo bài, cần pha trộn hai dung dịch trên để được $1\,\,000$ g dung dịch muối ăn mới nên ta có phương trình $x + y = 1\,\,000$. (1)

Khối lượng muối ăn trong $x$ (gam) dung dịch muối ăn $5\%$ là $5\% \cdot x = 0{,}05x$ (gam).

Khối lượng muối ăn trong $y$ (gam) dung dịch muối ăn $20\%$ là $20\% \cdot x = 0{,}2x$ (gam).

Khối lượng muối ăn trong $1\,\,000$ gam dung dịch muối ăn $14\%$ là $1\,\,000 \cdot 14\% = 140$ (gam).

Khi đó, ta có phương trình: $0{,}05x + 0{,}2y = 140$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\0{,}05x + 0{,}2y = 140\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 5, ta được hệ mới là $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0{,}25x + y = 700\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$0{,}75x = 300,$ suy ra $x = 400$ (thỏa mãn).

Thay $x = 400$ vào phương trình (1), ta được: $400 + y = 1\,\,000$ suy ra $y = 600$ (thỏa mãn).

Vậy cần trộn $400$ gam dung dịch muối ăn $5\%$ với $600$ gam dung dịch muối ăn $20\%$ để được $1\,\,000$ gam dung dịch muối ăn $14\% .$

1. Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

⦁ $AB = BC \cdot \cos B$ suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{6}{{\frac{3}{5}}} = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

⦁ $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Suy ra $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {10^2} - {6^2} = 64,$ nên $AC = 8{\rm{\;cm}}{\rm{.}}$

⦁ $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ suy ra $\sin C = \cos B = \frac{3}{5}$, từ đó ta tìm được $\widehat {C\,} \approx 36^\circ 52'$.

2. Đặt: $BC = x\,\,\left( {\rm{m}} \right);$ $AC = AB + BC = 500 + x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $C,$ ta có: $CD = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CAD} = \left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ .$

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C,$ ta có: $CD = BC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CBD} = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$.

Do đó, ta có: $\;\left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$

$500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ + x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$

$\;x \cdot {\rm{tan}}38^\circ - x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ$

$\;x \cdot \left( {{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ } \right) = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ$

$\;x = \frac{{500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ }}{{{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ }} \approx 3\,\,158{,}5\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$

Suy ra $CD = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 3\,\,158{,}5 \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 2468\,\,({\rm{m}}).$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2\,\,468$ mét.

⦁ Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có: $\cos \widehat {DAH} = \frac{{AD}}{{AH}}.$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có: $\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}.$

Suy ra $\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ hay $A{H^2} = AD \cdot AB$.

Chứng minh tương tự ta cũng có: $A{H^2} = AE \cdot AC$.

Do đó $AD \cdot AB = AE \cdot AC$ hay $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}$.

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ACB$ có: $\widehat {BAC}$ là góc chung và $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}$

Do đó (c.g.c), suy ra $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{CB}}$ và $\widehat {B\,} = \widehat {E\,}$.

⦁ Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có $AH = AB \cdot \sin B$.

Suy ra ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin B$.

Chứng minh tương tự, ta cũng có: ${S_{\Delta ADE}} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot EA \cdot \sin E$

Khi đó, $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot ED \cdot EA \cdot \sin E}}{{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA \cdot \sin B}} = \frac{{DE}}{{CB}} \cdot \frac{{AE}}{{AB}} \cdot \frac{{\sin E}}{{\sin E}}$ (do $\widehat {B\,} = \widehat {E\,})$

Suy ra $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AB}}} \right)^2}$ (do $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{CB}})$

Do đó $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AH}} \cdot \frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2}$

Xét $\Delta AHE$ vuông tại $E$ ta có: $\frac{{AE}}{{AH}} = \cos \widehat {HAC} = \sin C$ (do $\widehat {HAC} + \widehat {C\,} = 90^\circ )$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có: $\frac{{AH}}{{AB}} = \sin B$

Từ đó, ta có $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AE}}{{AH}} \cdot \frac{{AH}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\sin C \cdot \sin B} \right)^2} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C.$

Vậy $\frac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\sin ^2}B \cdot {\sin ^2}C.$