Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 02

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị ta thấy:

+ Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$;

+ Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x = 0$ nên hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm $x = 0$.

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên, ta thấy $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 5$.

Đáp án đúng là: A

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty$. Do đó, đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1$. Do đó, đường thẳng $y = - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{3}{{x + 1}}} \right) = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{3}{{x + 1}}} \right) = 0$.

Do đó, đường thẳng $y = 2x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số đã cho nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Giao điểm này có tọa độ là $\left( { - 1;\,0} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên ta có $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {A'D'}$.

Đáp án đúng là: B

TXĐ của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có: $y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 9} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 8}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$; $y' = 0$ khi $x = - 2$ hoặc $x = 4$.

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {4; + \infty } \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 2;1} \right)$ và $\left( {1;4} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $y' = 3{x^2} - 3$. Khi đó, trên khoảng $\left( {0;\,\,2} \right)$, $y' = 0$ khi $x = 1$.

$y\left( 0 \right) = 5;\,\,y\left( 1 \right) = 3;\,\,y\left( 2 \right) = 7$.

Từ đó suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 7$.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ $\left( {0;d} \right)$ với $d > 0$ nên ta loại đáp án C.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$, suy ra hệ số $a > 0$ nên ta loại đáp án D.

Mặt khác hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${x_1},\,{x_2}$, dựa vào hình vẽ ta thấy ${x_1},\,{x_2}$ trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B và chọn A.

Đáp án đúng là: B

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có tiệm cận đứng: $x = - \frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c}$, quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{d}{c} > 0\\\frac{a}{c} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}cd < 0\\ac > 0\end{array} \right.$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ cắt trục $Ox$ tại điểm $\left( {\frac{{ - b}}{a};0} \right)$, cắt trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;\frac{b}{d}} \right)$ , quan sát đồ thị ta thấy: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{a} > 0\\\frac{b}{d} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab < 0\\bd > 0\end{array} \right.$.

Với $a > 0 \Rightarrow b < 0;c > 0;d < 0$.

Với $a < 0 \Rightarrow b > 0;c < 0;d > 0$.

Do đó $a > 0,\,b < 0,\,c > 0,\,d < 0$.

Đáp án đúng là: D

Vì $M$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $CD$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {AP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\end{array} \right.$.

Theo quy tắc hiệu, ta có:

$\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d - \overrightarrow b } \right)$.

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Quan sát hình vẽ, ta thấy:

Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right)$ và $\left( { - 1;\, + \infty } \right)$, đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng này.

Trên các khoảng $\left( { - 3; - 2} \right)$ và $\left( { - 2;\, - 1} \right)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng này.

Vậy ý) a sai.

– Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = - 3$; đạt cực tiểu tại $x = - 1$, do đó ý b) đúng.

– Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $x = - 2$, do đó ý c) sai.

– Vì $x = - 2$ là tiệm cận đứng nên $n = 2$. Khi đó, $y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 2}}$.

Ta có $y' = \frac{{a{x^2} + 4ax + 2b - c}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$; $y' = 0 \Leftrightarrow a{x^2} + 4ax + 2b - c = 0$ (*).

$x = - 1$ là một nghiệm của phương trình (*), do đó $- 3a + 2b - c = 0$.

Các điểm $\left( { - 1;1} \right)$, $\left( { - 3; - 3} \right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho nên tọa độ các điểm này thỏa mãn hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + 2}}$.

Khi đó, ta có hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 2b - c = 0\\a - b + c = 1\\ - 9a + 3b - c = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 3\end{array} \right.$.

Vậy công thức xác định hàm số đã cho là $y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}$. Do đó, ý) d đúng.

a) Đ, b) S, c) S, d) S.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 5$.

– Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

– Ta có $y' = 3{x^2} - 6x - 9$; $y' = 0$ khi $x = - 1$ hoặc $x = 3$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$; nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;3} \right)$. Do đó, ý a) đúng.

– Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 3$, ${y_{CT}} = - 22$; đạt cực đại tại . Do đó, ý b) sai.

– Với $x = 0$ thì $y = 5$; với $x = 1$ thì $y = - 6$; với $x = - 1$ thì $y = 10$.

Do đó, đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm $\left( {0;\,5} \right),\,\,\left( {1; - 6} \right),\,\left( { - 1;\,10} \right)$.

Do đó, ý c) sai.

– Từ bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng $y = - 22$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. Do đó, ý d) sai.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.

Hướng dẫn giải

– Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0$ nên ý a) sai.

– Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Khi đó, $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 ;\,\,\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$, suy ra $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$.

Vậy ý b) đúng.

– Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right.$, do đó $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC}$ nên ý c) đúng.

– Ta có $\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GS} + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GS} + 4\overrightarrow {GO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GS} + 4\overrightarrow {GO} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GS} = 4\overrightarrow {OG}$.

Vậy ý d) sai.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có: $\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D}$. Do đó, ý a) đúng.

– Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \ne \overrightarrow {BD}$. Vậy ý b) sai.

– Ta có: $\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {C'A} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {C'C}$.

Do đó, $\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {CC'} } \right| = CC' = a$. Vậy ý c) sai.

–

Vì $AC'$ là đường chéo của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ nên $AC' = a\sqrt 3$.

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {AM}$$= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$.

Suy ra ${\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)^2}$

$= {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {BB'} ^2} + \frac{1}{4}{\overrightarrow {AD} ^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {AD}$

$= {a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{a^2} + 0 - 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2}{a^2}$.

Do đó, ${\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{3}{2}{a^2}$, suy ra $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}$.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$.

Khi đó, $\overrightarrow {AC'} \cdot \overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)$

$= {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2}$$+ \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BB'} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AD}$

$= {\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BB'}$

$= {a^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} = {a^2}$.

Vậy $\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {AC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {AC'} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$. Do đó, ý d) đúng.

Ta có $y' = 3a{x^2} + 2bx + c$; $y' = 0 \Leftrightarrow 3a{x^2} + 2bx + c = 0$.

Vì ${\Delta '_y} = {b^2} - 3ac > 0$ nên phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ (giả sử ${x_1} < {x_2}$). Khi đó, với cả hai trường hợp $a > 0$ và $a < 0$ hàm số đã cho đều có 2 điểm cực trị.

Đáp số: $2$.

Với mọi $x \in \left[ {2;\,5} \right]$, ta có: $f'\left( x \right) = \frac{m}{{2\sqrt {x - 1} }}$.

Ta thấy dấu của đạo hàm $f'\left( x \right)$ phụ thuộc vào dấu của tham số $m$.

Với mọi $m \ne 0$ thì $f\left( x \right)$ đơn điệu trên $\left[ {2;\,5} \right]$.

Suy ra $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;\,5} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\max }\limits_{\left[ {2;\,5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right) = m + 2m = 3m$.

Theo bài ra, ta có: ${m^2} - 10 = 3m \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \Leftrightarrow$$m = - 2$ hoặc $m = 5$.

Vậy ${m_1} + {m_2} = 3$.

Đáp số: $3$.

Ta có: $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD'} = \overrightarrow {AD'}$;

$\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow {C'D} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {C'B} = \overrightarrow {D'A} = - \overrightarrow {AD'}$.

Khi đó,

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AD'} + k \cdot \left( { - \overrightarrow {AD'} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow k = 1$.

Đáp số: $1$.

Đặt $CD = x$ (km, $x \ge 0$). Quãng đường chạy bộ $DB = 8 - x$ (km) và quãng đường chèo thuyền $AD = \sqrt {9 + {x^2}}$ (km).

Rõ ràng $x$ phải thỏa mãn điều kiện $0 \le x \le 8$.

Khi đó, thời gian chèo thuyền là $\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}$ (giờ) và thời gian chạy bộ là $\frac{{8 - x}}{8}$ (giờ).

Tổng thời gian mà người đàn ông cần có là:

$T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}$, $x \in \left[ {0;\,8} \right]$.

Ta có: $T'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8}$. Trên khoảng $\left( {0;8} \right)$, $T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}$.

$T\left( 0 \right) = \frac{3}{2};\,T\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8};\,\,T\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {73} }}{6}$.

Do đó, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} T\left( x \right) = T\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8}$.

Vậy thời gian ngắn nhất mà người đàn ông cần dùng là $1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1{,}3$ (giờ) và đi bằng cách chèo thuyền đến điểm $D$ cách $C$ một khoảng $\frac{9}{{\sqrt 7 }}$km rồi từ đó chạy bộ đến điểm $B$.

Đáp số: $1{,}3$.

Ta thấy độ dài $x$ (cm) của cạnh hình vuông bị cắt phải thỏa mãn điều kiện $0 < x < 6$.

Khi đó, thể tích của khối hộp là:

$V\left( x \right) = x{\left( {12 - 2x} \right)^2} = 4\left( {{x^3} - 12{x^2} + 36x} \right)$ với $0 < x < 6$.

Ta có: $V'\left( x \right) = 4\left( {3{x^2} - 24x + 36} \right)$, $V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 6$.

Bảng biến thiên của hàm số $V\left( x \right)$ như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng $\left( {0;\,6} \right)$, hàm số $V\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $128$ tại $x = 2$. Vậy để khối hộp tạo thành có thể tích lớn nhất thì $x = 2$ (cm).

Đáp số: $2$.

Gọi ${A_1},\,{B_1},\,{C_1}$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow {O{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}}$. Lấy các điểm ${D_1},{A'_1},\,{B'_1},\,{D'_1}$ sao cho $O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}$ là hình hộp như hình dưới đây.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {O{{D'}_1}}$.

Mặt khác, do các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}}$ đôi một vuông góc và $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15$ (N) nên hình hộp $O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}$ có ba cạnh $O{A_1},\,O{B_1},\,O{C_1}$ đôi một vuông góc và bằng nhau.

Do đó, hình hộp $O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}$ là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15.

Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng $15\sqrt 3$.

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P$, ở đó $\overrightarrow P$ là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Vậy trọng lượng của chiếc đèn là $\left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow {O{{D'}_1}} } \right| = 15\sqrt 3 \approx 26$ (N).

Đáp số: $26$.