Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phủ định của mệnh đề “Mọi học sinh của lớp 10A đều thích học môn Toán” là “Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ sai khi và chỉ khi $P$ đúng và $Q$ sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Xét phương trình ${x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = - 3$ (vô lí). Do đó A là mệnh đề sai.

+) Ta có: ${\left( {2x + 1} \right)^2} - 1 = 4{x^2} + 4x + 1 - 1 = 4{x^2} + 4x = 4x(x + 1)$

Vì $x \in \mathbb{N}$ nên $x\left( {x + 1} \right) \in \mathbb{N}$suy ra $4x(x + 1)$ chia hết cho 4 . Do đó B là mệnh đề đúng.

+) Với $x = - 1 \in \mathbb{Z}$ thì ${x^5} = {\left( { - 1} \right)^5} = - 1$ và ${x^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1$ khi đó $- 1 < 1$ hay ${\left( { - 1} \right)^5} < {\left( { - 1} \right)^2}$. Do đó C là mệnh đề sai.

+) Xét phương trình ${x^4} + 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 1\\{x^2} = - 2\end{array} \right.$ (vô lí).

Suy ra phương trình vô nghiệm. Do đó D là mệnh đề sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề đã cho được viết dưới dạng kí hiệu là: $\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình:

${x^3} - 8{x^2} + 15x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 8x + 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 8x + 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\\x = 5\end{array} \right.$

Mà $x \in {\mathbb{N}^*}$ nên $A = \left\{ {3;\,\,5} \right\}$.

Vì vậy tập $A$ có hai phần tử.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Ta có: $3 \in \left( {0;\,\,3} \right]$ nhưng $3 \notin \left( { - 1;\,3} \right)$nên $\left( {0;\,\,3} \right] \not\subset \left( { - 1;\,3} \right)$. Do đó A sai.

+) Ta có: $\sqrt 2 \in \left( { - 1;2} \right)$ mà $\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}$ nên $\left( { - 1;2} \right) \not\subset \mathbb{Q}$. Do đó B sai.

+) Ta có: $\frac{3}{4} \in \left( { - 1;\,\,4} \right) \cup \left[ {5;\,\,6} \right]$ mà $\frac{3}{4} \notin \mathbb{Z}$. Do đó C sai.

+) Ta có: $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ nên $\left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \subset \mathbb{Q}$. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Xét phương trình $\left| {x - 1} \right| \le 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 \ge - 1\\x - 1 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 2$.

Khi đó $M = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}$

+) Ta có: $N = \left\{ {x \in \mathbb{R}, - 3 \le x < 12} \right\} = \left[ { - 3;\,\,12} \right)$

$\Rightarrow M \cup N = \left[ { - 3;\,\,12} \right)$ và $M \cap N = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}$

$\Rightarrow \left( {M \cup N} \right)\backslash \left( {M \cap N} \right) = \left[ { - 3;\,\,12} \right)\backslash \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập $\left( {A \cap B} \right)\backslash C$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Quan sát hình vẽ ta có:

$\overrightarrow F$ và $\overrightarrow P$ cùng phương và $\overrightarrow F$ và $\overrightarrow P$ ngược hướng. Do đó A và B đúng.

Độ lớn của lực $\overrightarrow F$ lớn hơn độ lớn của lực $\overrightarrow P$. Do đó C đúng và D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi số tiền anh Trung đầu tư cho khoản $X$là $x$ (triệu đồng), số tiền đầu tư cho khoản $Y$ là $y$ (triệu đồng) $\left( {x,y \ge 0} \right)$.

Vì số tiền đầu tư cho khoản $X$ phải ít nhất là $100$ triệu đồng nên ta có bất phương trình: $x \ge 100$.

Số tiền đầu tư cho khoản $Y$ không nhỏ hơn số tiền đầu tư cho khoản $X$ nên $y \ge x$ hay $x - y \le 0$.

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 100\\x - y \le 0\\y \ge 0\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x - {12^2}y > 7 \Leftrightarrow x - 144y > 7$ có dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Dựa vào hình vẽ ta thấy chỉ có điểm $\left( {5;0} \right)$ thuộc vào miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay $x = 1$ và $y = - 1$ vào bất phương trình $\left( {3m + 2} \right)x - \left( {m - 1} \right)y < 2$, ta được:

$\left( {3m + 2} \right).1 - \left( {m - 1} \right).\left( { - 1} \right) < 2$

$\Leftrightarrow 3m + 2 + m - 1 < 2$

$\Leftrightarrow 4m < 1$

$\Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$

Vậy với $m < \frac{1}{4}$ thì cặp $\left( {1;\,\, - 1} \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Gọi đường thẳng ${d_1}$ có dạng $y = ax + b\left( 1 \right)$

Đường thẳng này đi qua hai điểm $\left( {0;\,\,2} \right)$ và $\left( { - 2;\,\,0} \right)$

Thay lần lượt tọa độ hai điểm này vào $\left( 1 \right)$ ta được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.\left( { - 2} \right) + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow {d_1}:y = x + 2$ hay ${d_1}:x - y = - 2$

Lấy $O\left( {0;\,\,0} \right)$ có $0 - 0 = 0 > - 2$ là điểm không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho và miền nghiệm không kể đường thẳng ${d_1}$ nên ta có bất phương trình $x - y < - 2$.

+) Gọi đường thẳng ${d_2}$ có dạng $y = a'x + b'\left( 2 \right)$

Đường thẳng này đi qua hai điểm $\left( {0;\,\,2} \right)$ và $\left( {10;\,\,0} \right)$

Thay lần lượt tọa độ hai điểm này vào $\left( 2 \right)$ ta được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.10 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{5}\\b = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow {d_2}:y = - \frac{1}{5}x + 2$ hay ${d_2}:x + 5y = 10$

Lấy $O\left( {0;\,\,0} \right)$ có $0 + 5.0 = 0 < 2$ là điểm không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho và miền nghiệm kể cả đường thẳng ${d_2}$ nên ta có bất phương trình $x + 5y \ge 10$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: (I), (II), (III).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 2\left( 1 \right)\\2x - 3y > - 2\left( 2 \right)\end{array} \right..$

+) Thay $x = 0$ và $y = 0$ lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 + 0 \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 2$ (luôn đúng);

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.0 - 3.0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2$ (luôn đúng).

Do đó cặp số $\left( {0;\,0} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = 1$ và $y = 1$ lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 + 1 \le 2 \Leftrightarrow 2 \le 2$ (luôn đúng);

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.1 - 3.1 > - 2 \Leftrightarrow - 1 > - 2$ (luôn đúng).

Do đó cặp số $\left( {1;\,1} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = - 1$ và $y = 1$ lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 1 + 1 \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 2$ (luôn đúng);

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 1} \right) - 3.1 > - 2 \Leftrightarrow - 5 > - 2$ (vô lí).

Do đó cặp số $\left( { - 1;\,1} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = - 1$ và $y = - 1$ lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 1 + \left( { - 1} \right) \le 2 \Leftrightarrow - 2 \le 2$ (luôn đúng);

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 1} \right) > - 2 \Leftrightarrow 1 > - 2$ (luôn đúng).

Do đó cặp số $\left( { - 1;\, - 1} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\tan \alpha = 2$ nên ${\rm{cos}}\alpha \ne 0$

Chia cả tử và mẫu của $\cos \alpha$ ta được:

$P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{2\tan \alpha - 2}}{{2 + 3\tan \alpha }} = \frac{{2.2 - 2}}{{2 + 3.2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì điểm $M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ là điểm thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên nên ta có:

$2{x_0} - 4{y_0} < 0$. Do đó A sai.

${x_0} \ge 0$. Do đó B sai.

${x_0} - {y_0} \ge - 1$ nên ${x_0} - {y_0} > - 1$ là mệnh đề đúng. Do đó D đúng.

${x_0} = {y_0}$ là chưa đủ điều kiện để khẳng định được tính đúng sai. Do đó C sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\alpha = - \beta$ thì ${\rm{cos}}\alpha = {\rm{cos}}\beta$. Do đó B đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $M = \tan 150^\circ + \cot 30^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

$${\rm{cos}}\left( { - 5{\rm{7}}^\circ } \right) = {\rm{cos}}5{\rm{7}}^\circ = {\rm{cos}}\left( {90^\circ - 33^\circ } \right) = \sin 33^\circ$$

Vậy $\beta = 33^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)$

$= \sin A.\sin \left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right] - \cos A.cos\left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right]$

$= \sin A.\sin A - \cos A.\left( { - \cos A} \right)$

$= {\sin ^2}A + {\cos ^2}A$

$= 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$:

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta được:

$R = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2\sin 150^\circ }} = \sqrt 2 a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3$ (đvdt).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S = pr$

Mà $p$ là nửa chu vi của tam giác $ABC$ nên $p = \frac{{a + b + c}}{2}$

Khi đó: $S = \frac{{a + b + c}}{2}r \Leftrightarrow r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $A = \left[ { - 9;\,\,5} \right)$

$\Rightarrow {C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ;\,\, - 9} \right) \cup \left[ {5;\, + \infty } \right)$

Xét $x + 2 < 4 \Leftrightarrow x < 2$

$\Rightarrow B = \left( { - \infty ;2} \right)$.

Vì vậy $\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash B = \left[ {5;\,\, + \infty } \right)$.

b) Tập $B$ có đúng $2$ tập con khi và chỉ khi tập $B$ có đúng $1$ phần tử, hay phương trình $m{x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 7 - m = 0\left( 1 \right)$ có duy nhất $1$ nghiệm thực. Do $B \subset A$ nên $1$ nghiệm thực duy nhất của (1) phải thuộc đoạn $\left[ { - 6;0} \right]$.

Xét phương trình $m{x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 7 - m = 0\left( 1 \right)$

TH1: Nếu $m = 0$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{7}{2} \in \left[ { - 6;0} \right]$.

Vì vậy $m = 0$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

TH2: Nếu $m \ne 0$ thì để $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó phải thuộc $\left[ {1;8} \right]$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4m\left( {7 - m} \right) = 5{m^2} - 32m + 4 = 0\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ { - 6;0} \right]\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5}\\m = \frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5}\end{array} \right.\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ { - 6;\,\,0} \right]\end{array} \right.$

Với $m = \frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5}$ ta có $\frac{{\frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5} + 1}}{{\frac{{16 + 2\sqrt {59} }}{5}}} = \frac{{10 - \sqrt {59} }}{2} \notin \left[ { - 6;0} \right]$ không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với $m = \frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5}$ ta có $\frac{{\frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5} + 1}}{{\frac{{16 - 2\sqrt {59} }}{5}}} = \frac{{10 + \sqrt {59} }}{2} \notin \left[ { - 6;0} \right]$ không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy với $m = 0$ thì tập $B$ có đúng hai tập con đồng thời $B \subset A$.

a)

b) Ta có hình vẽ:

Quãng đường di chuyển của tàu từ $A$ đến vị trí $B$ (động cơ tàu bị hỏng) sau $1{,}5$ giờ với vận tốc $60km/h$ là: $60\,.\,1{,}5\, = \,90\,\,\left( {km} \right)$.

Quãng đường di chuyển của tàu từ $B$ đến vị trí $C$ (nơi neo đậu) sau $3$ giờ với vận tốc $6\,\,km/h$ là: $6\,.\,3\, = \,18\,\,\left( {km} \right)$.

Ta có: $\widehat {ABC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Xét tam giác $ABC$, có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}$ (định lí cosin)

$= {90^2} + {18^2} - 2.90.18.{\rm{cos120}}^\circ$

$= 10\,\,044$

$\Leftrightarrow AC = 18\sqrt {31} \approx 100\,\,\left( {km} \right)$.

Vậy khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng $100\,\,km$.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số bàn và $y$ là số ghế anh An đóng được trong một tuần $\left( {x;y\,\, \ge 0} \right)$.

Số giờ đề đóng $x$ chiếc bàn và $y$ chiếc ghế là: $6x + 3y$ (giờ).

Mỗi tuần anh làm việc không quá $60$ giờ nên ta có bất phương trình: $6x + 3y \le 60$ (1).

Vì số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất $2$ lần nên ta có: $y \ge 2x$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\6x + 3y \le 60\\y \ge 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 20\\ - 2x + y \ge 0\end{array} \right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác $OAB$ với $O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {5;\,\,10} \right),\,\,B\left( {0;20} \right)$.

Số tiền lãi thu được: $F\left( {x;\,\,y} \right) = 150x + 100y$ (nghìn đồng).

Ta có:

Tại $O\left( {0;\,\,0} \right)$ có $F\left( {0;\,\,0} \right) = 150.0 + 100.0 = 0$;

Tại $A\left( {5;\,\,10} \right)$ có $F\left( {5;\,\,10} \right) = 150.5 + 100.10 = 1\,\,750$;

Tại $B\left( {0;20} \right)$ có $F\left( {0;\,\,20} \right) = 150.0 + 100.20 = 2\,\,000$.

Vậy một tuần anh An phải đóng được $0$ chiếc bàn và $20$chiếc ghế để tiền lãi thu được là lớn nhất.