Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: B

Ta có:$I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left[ {f\left( x \right) - 4g\left( x \right) - 1} \right]{\rm{d}}x}$$= \int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 4\int\limits_5^{ - 2} {g\left( x \right){\rm{d}}x} - \left. x \right|_{ - 2}^5$$= 8 + 4.3 - \left( {5 + 2} \right) = 13$.

Đáp án đúng là: A

$$\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx - 2\int\limits_1^2 {xdx} } = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx - 2.} \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^2 = 1\\ \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 4 \Leftrightarrow } \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 1} .\end{array}$$

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left( P \right):3x - z + 2 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3\,;\,0\,;\, - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ của $Q\left( { - 3\,;\, - 2\,;\,1} \right)$ vào $d$ ta có $\frac{{ - 3 - 3}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 - 2}}{3} = \frac{{1 + 1}}{{ - 2}}$ vô lý.

Vậy điểm $Q\left( { - 3\,;\, - 2\,;\,1} \right)$ không thuộc $d$.

Đáp án đúng là: D

$\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 7 = 0$$\Rightarrow a = 1$;$\,b = 2$;$\,c = - 2$;$d = - 7$

$\Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$$= 4$; $I\left( {1;2; - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 9;\,9;\,0} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( { - 9;\,0;\,9} \right)$.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {81;\,81;\,81} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${M_1}\left( {0;5;0} \right)$ và ${M_2}\left( {2;0;4} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {2; - 5;4} \right)$.

Đường thẳng ${M_1}{M_2}$nhận $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \overrightarrow {{u_3}} = \left( {2; - 5;4} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đáp án đúng là: C

$\left( P \right)$ có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = (1;0; - 1)$

$\left( {Oxy} \right)$ có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow {n'} = (0;0;1)$

Do đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1\,;\,4\,;\,0} \right)$, bán kính bằng $IM = 2$ nên phương trình của mặt cầu $\left( S \right)$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 4$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A\left( {1;1;3} \right)$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

Khi đó đường thẳng $d$ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.$.

Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ thì $I = d \cap \left( {Oxy} \right)$, suy ra $I\left( {4;4;0} \right)$.

Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R = IA = \sqrt {27}$.

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 27$.

Đáp án đúng là: C

Theo công thức Bayes, ta có $P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {\left. A \right|\bar B} \right)}}.$

Đáp án đúng là: D

Gọi $A$ là biến cố “Sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất”

B là biến cố “Sản phẩm đó đạt tiêu chuẩn”.

Theo đề ta có: $P\left( A \right) = 0{,}6;P\left( {\overline A } \right) = 0{,}4$; $P\left( {B|A} \right) = 0{,}9;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}85$.

Ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= 0{,}6.0{,}9 + 0{,}4.0{,}85 = 0{,}88$.

Ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}6.0{,}9}}{{0{,}88}} \approx 0{,}614$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Có $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$. Suy ra $F'\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = {e^0} - 2.0 = 1$.

b) Có $F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} - 2x} \right)dx} = {e^x} - {x^2} + C$.

Mà $F\left( 0 \right) = 1$ nên $F\left( 0 \right) = {e^0} - 0 + C = 1 \Rightarrow C = 0$.

Do đó $F\left( x \right) = {e^x} - {x^2}$. Suy ra $F\left( 1 \right) = {e^1} - {1^2} = e - 1$.

c) $\int {F\left( x \right)} dx = \int {\left( {{e^x} - {x^2}} \right)dx} = {e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + C$.

d) $\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{x{e^x}}}dx = } \int {\frac{{{e^x} - 2x}}{{x{e^x}}}dx = } \int {\left( {\frac{1}{x} - 2{e^{ - x}}} \right)dx} = \ln \left| x \right| + 2{e^{ - x}} + C$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{x}$, trục $Ox$, đường thẳng $x = 0$ và đường thẳng $x = 1$ được tính bằng công thức $S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt[3]{x}} \right|dx}$.

b) Ta có ${S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3}} \right|dx} = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{1}{4}$.

c) ${S_2} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - \sqrt[3]{x}} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt[3]{x} - {x^3}} \right)dx}$.

d) Ta có ${S_2} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt[3]{x} - {x^3}} \right)dx} = \frac{1}{2}$

Diện tích phần không tô đậm là ${S_3} = {S_{OABC}} - {S_2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {1;1;2} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0$ ta được:

$1 + 2.1 - 2 + 3 = 4 \ne 0$. Do đó điểm $A \notin \left( P \right)$.

c) $R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.1 - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 6 }}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{{16}}{6} = \frac{8}{3}$.

d) Vì $\left( Q \right)//\left( P \right)$ nên $\left( Q \right):x + 2y - z + D = 0\left( {D \ne 3} \right)$.

Vì $A \in \left( Q \right)$ nên $1 + 2.1 - 2 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 1$.

Vậy $\left( Q \right):x + 2y - z - 1 = 0$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Số công nhân làm ở phân xưởng I là $23 + 12 = 35$.

Tổng số công nhân của hai phân xưởng là $23 + 12 + 25 + 15 = 75$.

Suy ra $P\left( A \right) = \frac{{35}}{{75}} = \frac{7}{{15}}$.

b) Số công nhân hài lòng với điều kiện làm việc của phân xưởng là: $23 + 25 = 48$.

Suy ra $P\left( B \right) = \frac{{48}}{{75}} = 0{,}64$.

c) $P\left( {\overline B |A} \right) = \frac{{12}}{{35}}$.

d) $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{25}}{{40}} = 0{,}625$.

Trả lời: 6,5

$F'\left( x \right) = {e^x}\left( {m\sin x + n\cos x} \right) + {e^x}\left( {m\cos x - n\sin x} \right)$$= {e^x}\left[ {\left( {m - n} \right)\sin x + \left( {n + m} \right)\cos x} \right]$.

Vì $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}m - n = 2\\m + n = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{1}{2}\\n = - \frac{5}{2}\end{array} \right.$.

Suy ra $S = {m^2} + {n^2} = \frac{{13}}{2} = 6{,}5$.

Trả lời: 2026

Ta có $I = \int\limits_0^1 {{e^{x + 1}}dx}$$= \int\limits_0^1 {{e^{x + 1}}d\left( {x + 1} \right)} = \left. {{e^{x + 1}}} \right|_0^1 = {e^2} - e$.

Suy ra $a = 1;b = - 1$.

Do đó $S = {\log _2}{2^{2026}} = 2026$.

Trả lời: 34,4

Xét một cánh hoa trong hệ trục $Oxy$ như hình vẽ

Gọi $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$. Ta có $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {1;0} \right)$ và có đỉnh $I\left( {0;3} \right)$.

Suy ra $\left( P \right):y = - 3{x^2} + 3$.

Do đó diện tích mỗi cánh hoa là $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 3{x^2} + 3} \right)dx} = 4\;{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

Hơn nữa diện tích của lục giác đều cạnh 2 dm bằng 6 lần diện tích của tam giác đều cạnh 2 dm.

Vậy diện tích của hình trên là ${S_H} = 6\left( {\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} + 4} \right) = 6\sqrt 3 + 24 \approx 34{,}4$ dm$^{2}$.

Trả lời: 6,4

Gọi $BC$ là đường kính của hình tròn.

Gọi $H$ là hình chiếu của $H$ lên $BC$.

Ta có $AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 - 2.5 + 13} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{3} = 2$.

Suy ra $HC = AH.\tan 58^\circ = 2.\tan 58^\circ \approx 3{,}2$.

Do đó $BC = 2HC = 6{,}4$.

Vùng quan sát được trên mặt phẳng $\left( P \right)$ của camera là hình tròn có đường kính bằng 6,4.

Trả lời: 9

Phương trình đường viên đạn đi là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.$.

Khi viên đạn trúng mục tiêu tại điểm $B\left( {5;a;b} \right)$ nên $1 + 2t = 5 \Leftrightarrow t = 2$.

Do đó tọa độ điểm B là $B\left( {5;4;13} \right)$. Vậy $b - a = 13 - 4 = 9$.

Trả lời: 0,6

Gọi biến cố A “Người được chọn là nam”.

Biến cố B “Người được chọn bị cận thị”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0{,}5$; $P\left( {B|A} \right) = 0{,}4;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}6$.

Ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= 0{,}5.0{,}4 + 0{,}5.0{,}6 = 0{,}5$.

Ta có $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0{,}5;P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

Suy ra $P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0{,}5.0{,}6}}{{0{,}5}} = 0{,}6$.