Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10

Hướng dẫn giải

1. ⦁ Ta có căn bậc hai của $20{,}25$ là $\sqrt {12{,}25} = \sqrt {{{3{,}5}^2}} = 3{,}5$.

Vậy căn bậc hai của $12{,}25$ là $3{,}5$.

⦁ Vì $a$ có căn bậc hai là $12{,}25$, nên ta có:

$\sqrt a = 12{,}25$ suy ra $a = {12{,}25^2}$ hay $a = 150{,}0625.$

Vậy $a = 150{,}0625$ là số cần tìm.

a) Với $x \ge 0$ ta có:

⦁ $\sqrt x - 2 \ne 0$ khi $\sqrt x \ne 2$ hay $x \ne 4.$

⦁ $x - 2\sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)$

Do đó $x - 2\sqrt x \ne 0$ khi $\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) \ne 0,$ hay $\sqrt x \ne 0$ và $\sqrt x - 2 \ne 0$ tức là $x \ne 0,\,\,x \ne 4.$

Như vậy, điều kiện xác định của biểu thức $A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}$ là $x \ge 0,\,\,x \ne 4$ và điều kiện xác định của biểu thức $B = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}$ là $x > 0,\,\,x \ne 4.$

b) Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0,\,\,x \ne 4)$ vào biểu thức $A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}$, ta có:

$$A = \frac{2}{{\sqrt {25} - 2}} = \frac{2}{{5 - 2}} = \frac{2}{3}.$$

Vậy $A = \frac{2}{3}$ khi $x = 25$.

c) Với $x > 0,\,\,x \ne 4$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x + 3\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$= \frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

Với $x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne \frac{9}{4}$, ta có:

$$P = \frac{A}{B} = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$

$= \frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{2\left( {2\sqrt x - 3} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}$.

Vậy với $x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne \frac{9}{4}$ thì $P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}.$

d) – Với $x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne \frac{9}{4}$ ta có: $P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}.$

Suy ra $2P = \frac{{2\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{3}{{2\sqrt x - 3}}.$

Với $x \in \mathbb{Z},$ để $2P$ có giá trị là số nguyên thì $3 \vdots \left( {2\sqrt x - 3} \right)$

Hay $2\sqrt x - 3 \in$Ư$\left( 3 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,3;\,\, - 3} \right\}.$

Với $x > 0$ ta có $2\sqrt x - 3 > - 3$ nên $2\sqrt x - 3 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,3} \right\}.$

⦁ Nếu $2\sqrt x - 3 = 1$, thì $\sqrt x = 2$ nên $x = 4$ (không thỏa mãn $x \ne 4).$

⦁ Nếu $2\sqrt x - 3 = - 1$, thì $\sqrt x = 1$ nên $x = 1$ (thỏa mãn điều kiện).

⦁ Nếu $2\sqrt x - 3 = 3$, thì $\sqrt x = 3$ nên $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện).

– Thử lại, ta có:

⦁ Với $x = 1$ thì $P = \frac{{\sqrt 1 }}{{ - 1}} = - 1$ (thỏa mãn).

⦁ Với $x = 9$ thì $P = \frac{{\sqrt 9 }}{3} = 1$ (thỏa mãn).

Vậy $x \in \left\{ {1;\,\,9} \right\}$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

1. a) Điều kiện xác định: $x \ne - 3;\,\,x \ne 1$.

Ta có: $\frac{{2x - 5}}{{x + 3}} - \frac{{2x}}{{x - 1}} = \frac{4}{{{x^2} + 2x - 3}}$

$$\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{4}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$

$$\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) - 2x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{4}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$

$$\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) - 2x\left( {x + 3} \right) = 4$$

$$2{x^2} - 7x + 5 - 2{x^2} - 6x - 4 = 0$$

$$- 13x + 1 = 0$$

$$- 13x = - 1$$

$x = \frac{1}{{13}}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{{13}}$.

b) $2x + \frac{{2x + 1}}{2} > 3x - \frac{1}{5}$

$$\frac{{6x + 1}}{2} > \frac{{15x - 1}}{5}$$

$$\frac{{6x + 1}}{2} - \frac{{15x - 1}}{5} > 0$$

$$\frac{{5\left( {6x + 1} \right) - 2\left( {15x - 1} \right)}}{{10}} > 0$$

$$5\left( {6x + 1} \right) - 2\left( {15x - 1} \right) > 0$$

$$30x + 5 - 30x + 2 > 0$$

$7 > 0$(luôn đúng).

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm.

Gọi $x,y$ lần lượt là thời gian mà người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm một mình xong công việc ($x,y > 0$, đơn vị: ngày).

Trong một ngày, người thứ nhất làm được số phần công việc là: $\frac{1}{x}$ (công việc).

Trong một ngày, người thứ hai làm được số phần công việc là: $\frac{1}{y}$ (công việc).

Hai người cùng làm sau 6 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình:

$6 \cdot \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1$ hay $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$. (1)

Theo đề, hai người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4 ngày nữa thì hoàn thành công việc, do đó ta có: $3 \cdot \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{4}{y} = 1$ hay $\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1$. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\end{array} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1.\end{array} \right.$

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:

$\frac{4}{y} = \frac{1}{2}$ nên $y = 8$ (thỏa mãn).

Thay $y = 8$ vào phương trình (1), ta được:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$, suy ra $\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}$ nên $x = 24$ (thỏa mãn).

Vậy người thợ thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc trong 24 ngày, người thợ thứ hai làm một mình thì hoàn thành công việc trong 8 ngày.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta AKD$ vuông tại $D$, ta có: O10-2024-GV154.$\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}}.$

b) Ta có: O10-2024-GV154.$FK = EH = CH - CE = 25 - 5 = 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Từ $\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}},$ ta có $AK = KD \cdot \tan 36^\circ = 25 \cdot \tan 36^\circ \approx 18{,}164{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Ta có $AH = AK + KH \approx 18{,}164 + 1{,}6 = 19{,}764 \approx 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta AFK$ vuông tại $K$, ta có: O10-2024-GV154.$\tan F = \frac{{AK}}{{KF}} \approx \frac{{18{,}164}}{{20}}$, do đó $\widehat {KFA} \approx 42^\circ .$

Vậy góc nâng từ $F$ đến nóc tòa nhà khoảng $42^\circ$.

a) Ta có: hai tiếp tuyến $AB,\,\,AC$ cắt nhau tại $A$ nên $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OB = OC = R$

Suy ra $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

b) Ta có: $AB \bot OB$ (do $AB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B)$ và $ON \bot OB$

Suy ra $ON\,{\rm{//}}\,AB$ hay $ON\,{\rm{//}}\,AM$. (1)

Tương tự, ta có: $OM\,{\rm{//}}\,AC$ hay $OM\,{\rm{//}}\,AN$. (2)

Xét tứ giác $AMON$ có $ON\,{\rm{//}}\,AM$ và $OM\,{\rm{//}}\,AN$ nên $AMON$ là hình bình hành.

Ta có: hai tiếp tuyến $AB,\,\,AC$ cắt nhau tại $A$ nên $AO$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), hay $AO$ là tia phân giác của $\widehat {MAN}$ (3)

Do đó hình bình hành $AMON$ là hình thoi.

c) Ta có: $\sin \widehat {OAC} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},$ suy ra $\widehat {OAC} = 30^\circ$.

Suy ra $\widehat {MON} = \widehat {MAN} = 2 \cdot \widehat {OAC} = 60^\circ$.

Ta có $\widehat {BOM} + \widehat {MON} = \widehat {BON} = 90^\circ$ suy ra $\widehat {BOM} = 90^\circ - \widehat {MON} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Suy ra $\widehat {BOC} = \widehat {BOM} + \widehat {MOC} = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ .$

Mà $\widehat {BOC}$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $BC$ nên

Do đó số đo cung lớn $BC$ là:

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $OB,\,\,OC$ và cung lớn $BC$ là

$S = \frac{{240\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{2\pi {R^2}}}{3}$ (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn $AB$ là $x$ ($0 < x < 8$, đơn vị: m).

Lúc này, độ dài đoạn $AB$ chính là chu vi hình vuông đó và bằng $4x$ (m).

Do đó, độ dài đoạn $BC$ là $8 - 4x$ (m).

Suy ra, độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn $BC$ là $\frac{{8 - 4x}}{4} = 2 - x$ (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là: ${x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Ta có: ${x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} = 2{x^2} - 4x + 4 = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2$.

Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2{\rm{ }}{m^2}$ khi $x - 1 = 0$ hay $x = 1.$

Khi đó, độ dài đoạn thẳng $AB = 4{\rm{ m}}$và độ dài đoạn thẳng $BC = 8 - 4 = 4{\rm{ m}}$ hay $B$ là trung điểm của đoạn $AC$.

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau $AB = BC = 4{\rm{\;m}}.$