Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 09

Hướng dẫn giải

1. ⦁ Ta có căn bậc hai của $20{,}25$ là $\sqrt {20{,}25} = \sqrt {{{4{,}5}^2}} = 4{,}5$.

Vậy căn bậc hai của $20{,}25$ là $4{,}5$.

⦁ Vì $a$ có căn bậc hai là $20{,}25$, nên ta có:

$\sqrt a = 20{,}25$ suy ra $a = {20{,}25^2}$ hay $a = 410{,}0625$.

Vậy $a = 410{,}0625$ là số cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Với mọi $x \ge 0,$ ta có:

⦁ $\sqrt x - 3 \ne 0$ khi $\sqrt x \ne 3$ hay $x \ne 9.$

⦁ $x - 1 = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)$ và $1 - \sqrt x = - \left( {\sqrt x - 1} \right)$

Với mọi $x \ge 0,$ ta có $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 1 \ge 1 > 0.$

Do đó $x - 1 \ne 0$ khi $\sqrt x - 1 \ne 0,$ hay $\sqrt x \ne 1,$ tức là $x \ne 1.$

Như vậy, điều kiện xác định của biểu thức $A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}$ là $x \ge 0,\,\,x \ne 9$ và điều kiện xác định của biểu thức $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{5}{{1 - \sqrt x }} + \frac{4}{{x - 1}}$ là $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

b) Thay $x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được:

$$A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{9}} - 1}}{{\sqrt {\frac{1}{9}} - 3}} = \frac{{\frac{1}{3} - 1}}{{\frac{1}{3} - 3}} = \frac{{ - \frac{2}{3}}}{{ - \frac{8}{3}}} = \frac{1}{4}.$$

Vậy $A = \frac{1}{4}$ khi $x = \frac{1}{9}.$

c) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$$B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{5}{{1 - \sqrt x }} + \frac{4}{{x - 1}}$$

$$= \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{5}{{\sqrt x - 1}} + \frac{4}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{5\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{4}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$

$$= \frac{{x + 2\sqrt x - 3 + 5\sqrt x + 5 + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$

$= \frac{{x + 7\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{x + \sqrt x + 6\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}$.

Vậy với $x \ge 0;x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}}$.

d) Với $x \ge 0,\,\,x \ne 1,x \ne 9,$ ta có:

$$P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}} \cdot \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 9}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{9}{{\sqrt x - 3}}.$$

⦁ Với $0 \le x < 9,x \ne 1$ thì $\sqrt x - 3 < 0$, suy ra $1 + \frac{9}{{\sqrt x - 3}} < 1$ hay $P < 1.$

⦁ Với $x > 9$ và $x \in \mathbb{N}$ suy ra $x \ge 10$. Do đó, $\sqrt x - 3 \ge \sqrt {10} - 3 > 0$.

Suy ra $\frac{9}{{\sqrt x - 3}} \le \frac{9}{{\sqrt {10} - 3}}$ nên $1 + \frac{9}{{\sqrt x - 3}} \le 1 + \frac{9}{{\sqrt {10} - 3}}$ hay $P \le 1 + \frac{9}{{\sqrt {10} - 3}}$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 10$.

Vậy với $x = 10$ thì biểu thức $P$ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

1. a) Điều kiện xác định: $x \ne 1;x \ne 3$.

Ta có: $\frac{{x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{x + 3}}{{x - 1}} = \frac{{8x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$$\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{8x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$

$$\frac{{{x^2} - 1 - \left( {{x^2} - 9} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{8x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$

$${x^2} - 1 - {x^2} + 9 = 8x - 5$$

$$8 + 5 = 8x$$

$$8x = 13$$

$x = \frac{{13}}{8}$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{{13}}{8}$.

b) $\frac{{4x + 9}}{3} + \frac{1}{2} \ge \frac{{2x - 1}}{4}$

$$\frac{{4\left( {4x + 9} \right)}}{{12}} + \frac{6}{{12}} \ge \frac{{3\left( {2x - 1} \right)}}{{12}}$$

$$4\left( {4x + 9} \right) + 6 \ge 3\left( {2x - 1} \right)$$

$$16x + 36 + 6 \ge 6x - 3$$

$$16x + 42 \ge 6x - 3$$

$$16x - 6x \ge - 3 - 42$$

$$10x \ge - 45$$

$$x \ge - \frac{9}{2}.$$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x \ge - \frac{9}{2}.$

Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là giá niêm yết của một chiếc bếp từ đôi và một chiếc nồi chiên không dầu $(0 < x < 21,\,\,0 < y < 21$, triệu đồng).

Theo đề, giá niêm yết của một chiếc bếp từ đôi và một chiếc nồi chiên không dầu tổng cộng là $21$ triệu đồng nên ta có phương trình: $x + y = 21$. (1)

Bếp từ đôi giảm giá $15\%$, tức là có giá bằng $100\% - 15\% = 85\%$ giá niêm yết , nghĩa là giá của một bếp từ đôi sau khi giảm là $85\% x = 0{,}85x$.

Nồi chiên không dầu giảm giá $10\%$, tức là có giá bằng $100\% - 10\% = 90\%$ giá niêm yết, nghĩa là giá của một nồi chiên không dầu sau khi giảm là $90\% y = 0{,}9y$.

Bác Lan mua hai sản phẩm sau khi giảm giá với số tiền $18{,}3$ triệu đồng nên ta có phương trình:

$0{,}85x + 0{,}9y = 18{,}3$. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\0{,}85x + 0{,}9y = 18{,}3\end{array} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất, ta có: $x = 21 - y\,\,\,\left( * \right)$, thế vào phương trình thứ hai, ta được:

$$0{,}85\left( {21 - y} \right) + 0{,}9y = 18{,}3$$

$$17{,}85 + 0{,}05y = 18{,}3$$

$$0{,}05y = 0{,}45$$

$y = 9$ (thỏa mãn).

Thay $y = 9$ vào phương trình (*), ta được $x = 21 - 9 = 12$ (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của bếp từ đôi và nồi chiên không dầu lần lượt là $12$ triệu đồng và $9$ triệu đồng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $Ax\,{\rm{//}}\,BC$ suy ra $\widehat {ACB} = \widehat {xAC} = 35^\circ$ (so le trong).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B,$ ta có:

$\sin 35^\circ = \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}};$ $\tan 35^\circ = \tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}.$

b) Ta có $AB = 1{,}6 + 25 = 26{,}6{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Theo câu a, ta có:

⦁ $\tan 35^\circ = \tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}$ nên $BC = \frac{{AB}}{{\tan 35^\circ }} = \frac{{26{,}6}}{{\tan 35^\circ }} \approx 38{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

⦁ $\sin 35^\circ = \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}$ nên $AC = \frac{{AB}}{{\sin 35^\circ }} = \frac{{26{,}6}}{{\sin 35^\circ }} \approx 46{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiếc xe cách tòa nhà khoảng $38{\rm{ m}}$ và cách mắt người quan sát khoảng $46{\rm{\;m}}.$

a) Xét $\Delta OCD$ có: $OC = OD = R$ nên $\Delta OCD$ cân tại $O.$

Mà $OH$ là đường cao của $\Delta OCD$ nên $OH$ cũng là đường phân giác của tam giác, nên $\widehat {COF} = \widehat {DOF}.$

Xét $\Delta COF$ và $\Delta DOF$ có:

$OC = OD,$ $\widehat {COF} = \widehat {DOF}$ và $OF$ là cạnh chung.

Do đó, $\Delta COF = \Delta DOF$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {OCF} = \widehat {ODF}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {OCF} = 90^\circ$ (do $OC \bot MF$) nên $\widehat {ODF} = 90^\circ$ hay $FD \bot OD$ tại $D$.

Xét đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có: $FD \bot OD$ tại $D$ và $D \in \left( {O;R} \right)$

Suy ra $FD$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ tại $D$.

b) Xét đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có $MA$ và $MC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ nên $MA = MC.$ Do đó $M$ thuộc đường trung trực của $AC.$

Ta có: $OA = OC = R$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $AC.$

Như vậy, $OM$ là đường trung trực của $AC$ nên $OM \bot AC.$

Xét $\Delta ABC$ có $CO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AB$ và $CO = R = \frac{{AB}}{2}$ nên $\Delta ABC$ vuông tại $C$ hay $BC \bot AC$.

Từ đó suy ra $OI\,{\rm{//}}\,BC.$

Xét $\Delta ABC$ có $O$ là trung điểm của $AB$ và $OI\,{\rm{//}}\,BC$ nên $OI$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.

Suy ra $OI = \frac{1}{2}BC$ (tính chất đường trung bình) hay $BC = 2OI$.

c) ⦁ Xét tam giác $MOC$ vuông tại $C$, có: $\cos \widehat {MOC} = \frac{{OC}}{{MO}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},$ suy ra $\widehat {MOC} = 60^\circ$.

Do $MA,\,\,MC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ nên $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOC}$. Suy ra $\widehat {AOC} = 2\widehat {MOC} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Do đó $\widehat {COB} = 180^\circ - \widehat {AOC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

⦁ Ta có $F$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $C$ và $D$ nên $OF$ là tia phân giác của $\widehat {DOC}$.

Suy ra $\widehat {DOC} = 2\widehat {COB} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .$

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,OD$ và cung nhỏ $CD$ là

${S_1} = \frac{{120 \cdot \pi \cdot {R^2}}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}$ (đơn vị diện tích).

⦁ Xét $\Delta OCH$ vuông tại $H$ ta có: $CH = OC \cdot \sin \widehat {COB} = R \cdot \sin 60^\circ = \frac{{R\sqrt 3 }}{2};$

$OH = OC \cdot \cos \widehat {COB} = R \cdot \cos 60^\circ = \frac{R}{2}.$

Xét $\Delta OCD$ cân tại $O$ (do $OC = OD)$ nên đường phân giác $OH$ cũng đồng thời là đường trung tuyến, nên $H$ là trung điểm của $CD,$ suy ra $CD = 2CH = 2 \cdot \frac{{R\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 .$

Diện tích tam giác $OCD$ là: ${S_2} = \frac{1}{2}OH \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{R}{2} \cdot R\sqrt 3 = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích hình được giới hạn bởi dây $CD$ và cung nhỏ $CD$ là:

$S = {S_1} - {S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{3} - \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{R^2}\left( {4\pi - 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}}$ (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích hình được giới hạn bởi dây $CD$ và cung nhỏ $CD$ là$\frac{{{R^2}\left( {4\pi - 3\sqrt 3 } \right)}}{{12}}$ (đvdt).

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi kích thước hình chữ nhật mà tể tướng sẽ căng là $x$ và $y$ ($0 < x < 150;\,\,0 < y < 150$).

Khi đó, ta có chu vi của mảnh đất hình chữ nhật đó là $300$ mét, suy ra $x + y = \frac{{300}}{2} = 150{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Diện tích của mảnh đất là $S = xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

⦁ Chứng minh bổ đề: $\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy$ với mọi $x > 0,\,\,y > 0.$

Thật vậy, với mọi $x > 0,\,\,y > 0,$ ta có:

$${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$$

$${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0$$

$${x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy \ge 0$$

$${\left( {x + y} \right)^2} - 4xy \ge 0$$

$\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy$.

Đẳng thức xảy ra khi $x = y.$

⦁ Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

$$S = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}$$

Suy ra $S \le \frac{{{{150}^2}}}{4} = 5\,\,625$.

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = \frac{{150}}{2} = 75$ (thỏa mãn).

Khi đó, diện tích lớn nhất $S = 5\,\,625{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}$ khi $x = y = 75{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Vậy tể tưởng đó cần căng sợi dây bao quanh mảnh đất hình hình vuông có cạnh $75{\rm{ m}}$ để mảnh đất nhận được có diện tích lớn nhất.