Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 8 Cánh Diều (2023-2024) có đáp án - Đề 6

1.a) ${x^2}--xy + 5x--5y$

$$= \left( {{x^2}--xy} \right) + \left( {5x--5y} \right) = x\left( {x - y} \right) + 5\left( {x - y} \right)$$

$$= \left( {x\;--{\rm{ }}y} \right)\left( {x + 5} \right).$$

b) ${x^2} - 2xy - 25 + {y^2}$

$= \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 25 = {\left( {x - y} \right)^2} - {5^2}$

$= \left( {x - y - 5} \right)\left( {x - y + 5} \right).$

2. Ta có: $A = \left( {x--5} \right)\left( {x + 5} \right)--x\left( {x + 1} \right) + x + 12.$

$= {x^2} - 25 - {x^2} - x + x + 12$

$= \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {x - x} \right) + \left( { - 25 + 12} \right)$

$= 0 + 0 + \left( { - 13} \right) = - 13.$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ không phụ thuộc vào giá trị của biến $x.$

$A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} - \frac{2}{{x - 2}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\frac{3}{{x - 2}}$ (ĐKXĐ: $x \ne \pm 2)$

$$= \left( {\frac{x}{{(x - 2)(x + 2)}} - \frac{2}{{x - 2}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\frac{3}{{x - 2}}$$

$$= \left[ {\frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{1\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right].\frac{{x - 2}}{3}$$

$$= \frac{{x - 2x - 4 + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{3}$$

$$= \frac{{ - 6}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{3}$$

$$= \frac{{ - 2}}{{x + 2}}.$$

Vậy $A = \frac{{ - 2}}{{x + 2}}$ với $x \ne \pm 2.$

b) Ta có:$\;{x^2} - 2x = 0$

$x\left( {x - 2} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

Do đó $x = 0$ (thỏa mãn) hoặc $x = 2$ (không thỏa mãn)

Với $x = 0$ thay vào biểu thức $A$ ta được: $A = \frac{{ - 2}}{{0 + 2}} = - 1.$

Vậy $A = - 1$ khi $x$ thỏa mãn: ${x^2} - 2x = 0.$

c) Ta có: $A = \frac{{ - 2}}{{x + 2}}$với $x \ne \pm 2$

Do $x$ nguyên nên $x + 2$ nguyên.

Khi đó biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên khi $\frac{{ - 2}}{{x + 2}}$ nhận giá trị nguyên, tức là $2 \vdots \;\left( {x + 2} \right)$ hay $x + 2$ là ước của 2

Do đó $x + 2 \in \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}.$

Vì $x$ là số nguyên lớn nhất nên $x + 2$ nhận ước nguyên lớn nhất, do đó $x + 2 = 2$ suy ra $x = 2 - 2 = 0$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 0$ là giá trị cần tìm.

1) Để hàm số $y = \left( {m--1} \right)x - 1$ là hàm số bậc nhất thì $m - 1 \ne 0,$ tức là $m \ne 1$.

Vậy với $m \ne 1$ thì hàm số trên là hàm số bậc nhất.

2) Vẽ đồ thị hàm số:

+ Với $m = 3$ hàm số trở thành: $y = 2x - 1$.

+ Cho $x = 0$ thì $y = - 1$ ta được $A\left( {0; - 1} \right) \in Oy.$

+ Cho $y = 0$ thì $x = \frac{1}{2}$ ta được $B\left( {\frac{1}{2};0} \right) \in Ox.$

+ Vẽ đồ thị hàm số.

Vậy với $m = 3:$ đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua 2 điểm $A\left( {0; - 1} \right)$ và $B\left( {\frac{1}{2};0} \right).$

Khi $m = 3,$ đồ thị hàm số $y = 2x - 1$ cắt trục $Oy$ tại điểm $A\left( {0; - 1} \right)$nên $OA = \left| { - 1} \right| = 1$ và cắt trục $Ox$ tại điểm $B\left( {\frac{1}{2};0} \right)$ nên $OB = \left| {\frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}.$

+ Do tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên áp dụng định lý Pythagore tính được $AB = \frac{{\sqrt 5 }}{2}.$

+ Vẽ $OH \bot \left( d \right)$ $(H$ thuộc $d),$ suy ra khoảng cách từ $O\left( {0;0} \right)$ đến $d$ bằng $OH.$

Ta có: $OA \cdot OB = OH \cdot AB{\rm{ }}\left( { = 2{S_{OAB}}} \right).\,\,\,\,\;\left( 1 \right)$

Từ đó tính được $OH = \frac{1}{{\sqrt 5 }}.$

Xét tứ giác $AMNH$ có:

$\widehat {MAN} = 90^\circ$ $(\Delta ABC$ vuông tại $A)$;

$\widehat {AMH} = 90^\circ$ $\left( {HM \bot AB} \right)$;

$\widehat {ANH} = 90^\circ$ $\left( {HN \bot AC} \right)$.

Vậy tứ giác$AMHN$ là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

b) Tứ giác: $AMNE$ có:

$AM = HN$ (cạnh đối hình chữ nhật $AMHN);$

$EN = HN$ $(N$ là trung điểm của $EH)$

$\Rightarrow AM{\rm{ }} = {\rm{ }}NE$

Lại có $AM\,{\rm{//}}\,NE$ $(AM\,{\rm{//}}\,HN$ và $H,{\rm{ }}N,{\rm{ }}E$ thẳng hàng).

Vậy tứ giác $AMNE$ là hình bình hành (Tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành).

c) Ta có $AB \bot DH$ tại $M$ (gt) và $M$ là trung điểm của $DH\;$ (gt) nên$AB$ là đường trung trực của $DH$ suy ra $BD = BH$ (1)

Tương tự có $CE = HC$ (2)

Do $BC = BH + HC$ nên $B{C^2} = {\rm{ }}B{H^2} + {\rm{ }}H{C^2} + {\rm{ }}2{\rm{ }}BH.{\rm{ }}HC$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $B{C^2} = B{D^2} + E{C^2} + 2BH \cdot HC$ (đpcm).

Diện tích đáy của khối Rubik đó là:

Ta có: $V = \frac{1}{3}Sh$ suy ra $S = \frac{{3V}}{h} = \frac{{3 \cdot 45{,}24}}{{5{,}2}} = 26{,}1{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}.$

Vậy diện tích đáy của khối Rubik là $26{,}1{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.$

Ta có: ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 12$

$${a^2} + {b^2} + {c^2} - 12 = 0$$

$${a^2} + {b^2} + {c^2} - 24 + 12 = 0$$

$${a^2} + {b^2} + {c^2} - 4\left( {a + b + c} \right) + 12 = 0$$

$${a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} - 4c + 4 = 0$$

$${\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 0$$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\b - 2 = 0\\c - 2 = 0\end{array} \right.$, tức là $a = b = c = 2$.

Thay $a = b = c = 2$ vào $P,$ ta được

$$P = {\left( {2 - 3} \right)^{2023}} + {\left( {2 - 3} \right)^{2023}} + {\left( {2 - 3} \right)^{2023}}$$

$$\;\,\;\; = {\left( { - 1} \right)^{2023}} + {\left( { - 1} \right)^{2023}} + {\left( { - 1} \right)^{2023}} = - 3.$$

Vậy $P = - 3$ khi $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ thỏa mãn đề bài.