Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của biểu thức là $2 - x \ne 0$, suy ra $x \ne 2$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x - 1} \right)^3}$.

Thay $x = - 1$ vào biểu thức trên, ta được: ${\left( { - 1 - 1} \right)^3} = {\left( { - 2} \right)^3} = - 8$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right) = 1 - 4{x^2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{2{{\left( {y - x} \right)}^2}}}{{4\left( {x - y} \right)}} = \frac{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{4\left( {x - y} \right)}} = \frac{{x - y}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $f\left( 0 \right) = 4.0 - 1 = - 1$.

Đáp án đúng là: B

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y = ax + b$ $\left( {a \ne 0} \right)$.

Hàm số $y = - 2x + 1$ có $a = - 2 \ne 0$ và $b = 1$ nên là hàm số bậc nhất.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác $ABCD$ có $AB\,{\rm{//}}\,CD;\,\,BC\,{\rm{//}}\,AD$ nên là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song).

Đáp án đúng là: B

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.

a) Với điều kiện $x \ne 2;\,\,x \ne - 2,$ ta có:

$A = \frac{x}{{x - 2}} - \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 8}}{{4 - {x^2}}}$

$= \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{{x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + 2x - \left( {2{x^2} - 4x + x - 2} \right) + {x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + 2x - 2{x^2} + 4x - x + 2 + {x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{5x + 10}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$$= \frac{{5\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$$= \frac{5}{{x - 2}}.$

Vậy với $x \ne 2;\,\,x \ne - 2$ thì $A = \frac{5}{{x - 2}}.$

b) Thay $x = - 6$ (thỏa mãn điều kiện) vào $A$ ta có: $A = \frac{5}{{ - 6 - 2}} = \frac{5}{{ - 8}} = \frac{{ - 5}}{8}.$

Vậy với $x = - 6$ thì $A = \frac{{ - 5}}{8}.$

c) Với $x \ne 2;\,\,x \ne - 2,$ để $A = 2$ ta có: $\frac{5}{{x - 2}} = 2$

$5 = 2\left( {x - 2} \right)$

$x - 2 = \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2} + 2$

$x = \frac{9}{2}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với $x = \frac{9}{2}$ thì $A = 2$.

d) Với $x \ne 2;\,\,x \ne - 2$ và $x \ne - 1$ ta có:

$M = A:B = \frac{5}{{x - 2}}:\frac{5}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$$= \frac{{x - 2 + 3}}{{x - 2}} = 1 + \frac{3}{{x - 2}}.$

Để $M$ nguyên khi $\frac{3}{{x - 2}}$ nguyên khi $x - 2 \in$Ư$\left( 3 \right) = \left\{ { - 3;\,\, - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}.$

Ta có bảng giá trị

a) Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$$

Hay ${6^2} + A{C^2} = {10^2}$

Suy ra $A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Rightarrow AC = 8{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy độ dài $AC$ là 8 cm.

b) Do $MD\,{\rm{//}}\,AC$ suy ra $\widehat {MDB} = \widehat {DAE} = 90^\circ$ (đồng vị).

Do đó:

$$\widehat {MDA} = 180^\circ - \widehat {MDB} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .$$

Do $ME\,{\rm{//}}\,AB$ suy ra $\widehat {MEC} = \widehat {DAE} = 90^\circ$ (đồng vị).

Do đó $\widehat {MEA} = 180^\circ - \widehat {MEC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .$

Tứ giác $ADME$ có: $\widehat {DAE} = \widehat {MDA} = \widehat {MEA} = 90^\circ .$

Do đó tứ giác $ADME$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

c) Xét $\Delta ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM = \frac{1}{2}BC.$

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB = MC = \frac{1}{2}BC.$

Do đó $MB = MC = AM = \frac{1}{2}BC.$

Xét $\Delta ABM$ có $MA = MB$ nên $\Delta ABM$ cân tại $M,$ khi đó $MD$ là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta ABM.$

Do đó $D$ là trung điểm $AB$ nên $DA = DB = \frac{1}{2}AB.$

Mà $ME = DA$ (do $ADME$ là hình chữ nhật) nên $ME = DB.$

Xét tứ giác $BDEM$ có $ME\,{\rm{//}}\,BD$ và $ME = DB,$ nên là hình bình hành.

d) Xét $\Delta ABC$ có $ME\,{\rm{//}}\,AB$ và $M$ là trung điểm của $BC$ nên $E$ là trung điểm $AC.$

Tứ giác $AKCB$ có $E$ là trung điểm của $AC$ và $BK$ (do $BE = EK)$ nên tứ giác $AKCB$ là hình bình hành. Suy ra $AK\,{\rm{//}}\,BC.\,\,\,\left( 3 \right)$

Tứ giác $AICM$ có $E$ là trung điểm của $AC$ và $MI$ (do $EM = EI)$ nên tứ giác $AICM$ là hình bình hành. Suy ra $AI\,{\rm{//}}\,BC.\,\,\,\left( 4 \right)$

Theo tiên đề Euclid, qua $A$ chỉ vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với $BC$ nên từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ ta phải có $A;\,\,I;\,\,K$ thẳng hàng.

a) Ta có: $P = {x^2} - 2xy + 2{y^2} - 2x + 3y + 3$

$= {x^2} - 2xy + {y^2} - 2x + 2y + 1 + {y^2} + y + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}$

$= {\left( {x - y} \right)^2} - 2\left( {x - y} \right) + 1 + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}$

$= {\left( {x - y - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}.$

Vì: ${\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x,\,\,y;$

${\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $y$

Nên: $P \ge \frac{7}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x - y - 1 = 0$ và $y + \frac{1}{2} = 0,$ tức là $y = - \frac{1}{2}$ và $x = \frac{1}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{7}{4}$ khi $x = \frac{1}{2}$ và $y = - \frac{1}{2}.$

b) Với $a,\,\,b,\,\,c$ đôi một khác nhau ta có biểu thức có nghĩa.

Khi đó: $B = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}$

$= \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) - {a^2}c + a{c^2} + {a^2}b - a{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) + \left( { - {a^2}c + {a^2}b} \right) - \left( {a{b^2} - a{c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {bc + {a^2} - ab - ac} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {b - c} \right)\left[ { - \left( {ac - bc} \right) + \left( {{a^2} - ab} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1.$

Vậy giá trị biểu thức $B$ không phụ thuộc vào $a,\,\,b,\,\,c.$