Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{{3\pi }}{5} = \frac{{3\pi }}{5}.\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{cccccccccccccccccccc}^\circ \\{}\end{array} = 108^\circ .$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha + \frac{1}{2}\cos \alpha .$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\cos 2x \le 2 \Rightarrow - 1 \le \cos 2x + 1 \le 3.$

$\Rightarrow - 1 \le y \le 3.$

Vậy tập giá trị của hàm số $y = 2\cos 2x + 1$ là $\left[ { - 1;3} \right].$

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số $y = \tan x.$

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Do đó, nếu $x \in D$ thì $- x \in D.$

Ta có:

$f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) = - \tan x = - f\left( x \right),\forall x \in D.$

Vậy $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Đáp án đúng là: B

$\sin x = 0$$\Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: D

Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {n^2} + 1$ ta có: ${u_{n + 1}} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 1 = {n^2} + 2n + 2.$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{n^2} + 2n + 2} \right) - \left( {{n^2} + 1} \right)$

$= {n^2} + 2n + 2 - {n^2} - 1$

$= 2n + 1 > 0,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: A

Có ${u_2} = {u_1} + 3 = - 1 + 3 = 2$; ${u_3} = {u_2} + 3 = 2 + 3 = 5$.

Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy là $- 1;\,\,2;\,\,5$.

Đáp án đúng là: D

Có $\frac{{2n + 5}}{{5n - 4}} = \frac{7}{{12}}$

$\Leftrightarrow 12\left( {2n + 5} \right) = 7\left( {5n - 4} \right)$

$\Leftrightarrow 24n + 60 = 35n - 28$

$\Leftrightarrow 11n = 88$

$\Leftrightarrow n = 8$.

Vậy số $\frac{7}{{12}}$ là số hạng thứ 8 của dãy số.

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số $1;\,\, - 4;\,\, - 9;\,\, - 14;\,\, - 19$ ta có:

${u_2} - {u_1} = - 4 - 1 = - 5;$ ${u_3} - {u_2} = - 9 - \left( { - 4} \right) = - 5;$

${u_4} - {u_3} = - 14 - \left( { - 9} \right) = - 5;$ ${u_5} - {u_4} = - 19 - \left( { - 14} \right) = - 5.$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - 5,\,\,\forall n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}.$

Vậy dãy số $1;\,\, - 4;\,\, - 9;\,\, - 14;\,\, - 19$ là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

Vì các số hạng được viết trong các ô vuông từ trái sang phải tạo thành cấp số cộng nên ta coi ${u_1} = 2$ là số hạng đầu của cấp số cộng với công sai $d.$

Khi đó ${u_4} = x$ và ${u_5} = - 10.$

Ta có: ${u_5} = {u_1} + \left( {5 - 1} \right)d \Rightarrow - 10 = 2 + \left( {5 - 1} \right)d \Rightarrow d = - 3.$

$\Rightarrow {u_4} = {u_1} + \left( {4 - 1} \right)d = 2 + \left( {4 - 1} \right)\left( { - 3} \right) = - 7.$

Suy ra $x = - 7.$

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Có ${u_1} = \frac{3}{2} \cdot {5^1} = \frac{{15}}{2}$;

${u_2} = \frac{3}{2} \cdot {5^2} = \frac{{15}}{2} \cdot 5 = {u_1} \cdot 5$;

${u_3} = \frac{3}{2} \cdot {5^3} = \frac{{15}}{2} \cdot {5^2} = {u_1} \cdot {5^2}$;

${u_4} = \frac{3}{2} \cdot {5^4} = \frac{{15}}{2} \cdot {5^3} = {u_1} \cdot {5^3}$.

Do đó $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{{15}}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {4 + {u_n}} \right) = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 4 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1 - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 4 = 1 - 4 = - 3.$

Đáp án đúng là: C

+) $\lim \frac{{1 - n}}{{2n + 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} - 1}}{{2 + \frac{1}{n}}} = - \frac{1}{2}$ (vì $\lim \frac{1}{n} = 0$).

+) $\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} = + \infty$ (vì $\frac{3}{2} > 1$).

+) $\lim {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^n} = 0$ (vì $0 < \frac{\pi }{4} < 1$).

+) $\lim {n^2} = + \infty$.

Đáp án đúng là: B

+) Xét $n = 2k$ thì $\lim {\left( { - 2} \right)^{2k}} = \lim {4^k} = + \infty$.

+) Xét $n = 2k + 1$ thì

$\lim {\left( { - 2} \right)^{2k + 1}} = \lim \left[ {{{\left( { - 2} \right)}^{2k}} \cdot \left( { - 2} \right)} \right] = \lim {\left( { - 2} \right)^{2k}} \cdot \lim \left( { - 2} \right) = - 2 \cdot \lim {4^k} = - \infty$.

Do đó đáp án B sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 1 = - 1 + 1 = 0.$

Đáp án đúng là: D

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 1} \right) = 0 + 1 = 1 > 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0$ mà ${x^2} > 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{{x^2}}} = + \infty$.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số $y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}.$

Điều kiện: $x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2.$

Tập xác định của hàm số $y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}.$

Hàm số $y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}$ là hàm phân thức nên nó liên tục trên tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$ chứa $x = 2.$

Như vậy, hàm số $y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}$ cũng sẽ liên tục tại $x = 2.$

Đáp án đúng là: C

Hàm phân thức, lượng giác liên tục trên mỗi khoảng xác định.

Hàm $y = \sin x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: B

Yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.

Xét phương án A: Trường hợp ba điểm thẳng hàng không xác định được một mặt phẳng.

Xét phương án C: Trường hợp bốn điểm không đồng phẳng không xác định được một mặt phẳng.

Xét phương án D: Trường hợp điểm nằm trên đường thẳng không xác định được một mặt phẳng.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $O = AC \cap BD \Rightarrow O \in AC;\,\,O \in BD.$

Mà $AC$ nằm trên các mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),\,\,\left( {SAC} \right);$ $BD$ nằm trên $\left( {SBD} \right).$

Suy ra điểm $O$ nằm trên các mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),\,\,\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right).$

Vậy điểm $O$ không nằm trên mặt phẳng $\left( {SAD} \right).$

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất hai đường thẳng song song ta có: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Xét phương án A: Nếu điểm nằm trên đường thẳng thì không tồn tại đường thẳng qua điểm đó và song song với đường thẳng đã cho.

Xét phương án C và D: Vì nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.

Đáp án đúng là: D

Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$

Xét $\Delta ABC$ có: $CM$ là đường trung tuyến và $I$ là trọng tâm của $\Delta ABC.$

$\Rightarrow \frac{{CI}}{{CM}} = \frac{2}{3}.$

Xét $\Delta ABD$ có: $DM$ là đường trung tuyến và $J$ là trọng tâm của $\Delta ABD.$

$\Rightarrow \frac{{DJ}}{{DM}} = \frac{2}{3}.$

Như vậy $\frac{{CI}}{{CM}} = \frac{{DJ}}{{DM}}$ nên theo định lí Thalès đảo trong $\Delta MCD$ có $IJ{\rm{//}}CD.$

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề đúng là nếu $a$ cắt $\left( P \right)$ thì $b$ cắt $\left( P \right).$

Xét phương án A sai vì: Nếu $a{\rm{//}}\left( P \right)$ thì $b{\rm{//}}\left( P \right)$ hoặc $b \subset \left( P \right).$

Xét phương án C và D sai vì: Nếu $a$ nằm trên $\left( P \right)$ thì $b{\rm{//}}\left( P \right)$ hoặc $b \subset \left( P \right).$

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên gọi $O = AC \cap BD.$

$\Rightarrow O \in BD$ mà $BD \subset \left( {SBD} \right).$

$\Rightarrow O = AC \cap \left( {SBD} \right).$

Như vậy $AC$ không song song với mặt phẳng $\left( {SBD} \right).$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $P$ là trung điểm của $SD.$

$\Rightarrow P \in SD$ mà $SD \subset \left( {SCD} \right).$

$\Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right).$

Vậy hai mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ không song song với nhau.

Đáp án đúng là: C

Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CC',B'C'$.

Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

Vì $J$ là trọng tâm tam giác $ACC'$ nên $\frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}$.

Vì $K$ là trọng tâm tam giác $AB'C'$ nên $\frac{{AK}}{{AP}} = \frac{2}{3}$.

Xét $\Delta AMN$ có $\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}$ nên $IJ{\rm{//}}MN$ mà $MN \subset \left( {BCC'B'} \right)$ nên $IJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)$.

Xét $\Delta APN$ có $\frac{{AK}}{{AP}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}$ nên $KJ{\rm{//}}PN$ mà $PN \subset \left( {BCC'B'} \right)$ nên $KJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)$.

Vì $IJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)$ và $KJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)$ nên $\left( {IJK} \right)$${\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)$ hay $\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {BB'C} \right).$

Đáp án đúng là: B

Phương án B mang nội dung sai vì phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Đáp án đúng là: A

Do $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên $\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{2}$

Ta có $M'$ là hình chiếu của $M$ theo phép chiếu song song biến $\Delta ABC$ thành $\Delta A'B'C'.$

Mà phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng nên ta có $\frac{{B'M'}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}$ hay $M'$ là trung điểm của cạnh $B'C'.$

Đáp án đúng là: D

Vì tốc độ tối đa theo quy định là 50 (km/h) nên các nhóm tốc độ $\left( {50;60} \right],$ $\left( {60;70} \right],$ $\left( {70;85} \right],$ $\left( {85;100} \right]$ là các nhóm mang xe vi phạm quy định về an toàn giao thông.

Vậy số xe vi phạm quy định về an toàn giao thông là $8 + 3 + 2 + 1 = 14.$

Đáp án đúng là: B

Nhóm chiều cao thứ 3 là nhóm $\left[ {167;171} \right).$

Vậy giá trị đại diện ${c_3}$ của nhóm chiều cao thứ $3$ là ${c_3} = \frac{{167 + 171}}{2} = 169.$

Đáp án đúng là: B

Tần số lớn nhất là $24$ nên nhóm chứa mốt là nhóm $\left[ {18{,}5;21{,}5} \right).$

Ta có ${u_m} = 18{,}5;\,\,{m_m} = 24;\,\,{m_{m - 1}} = 15;\,\,{m_{m + 1}} = 2;\,\,{u_{m + 1}} - {u_m} = 21{,}5 - 18{,}5 = 3.$

Do đó ${M_o} = 18{,}5 + \frac{{24 - 15}}{{\left( {24 - 15} \right) + \left( {24 - 2} \right)}}.3 = \frac{{1\,\,201}}{{62}} \approx 19{,}37.$

Đáp án đúng là: C

Cỡ mẫu $n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.$

Gọi ${x_1},...,{x_{56}}$ là thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của 56 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: ${x_1},...,{x_3}$ thuộc nhóm $\left[ {9{,}5;12{,}5} \right);$

${x_4},...,{x_{15}}$ thuộc nhóm $\left[ {12{,}5;15{,}5} \right);$

${x_{16}},...,{x_{30}}$ thuộc nhóm $\left[ {15{,}5;18{,}5} \right);$

${x_{31}},...,{x_{54}}$ thuộc nhóm $\left[ {18{,}5;21{,}5} \right);$

${x_{55}},\,\,{x_{56}}$ thuộc nhóm $\left[ {21{,}5;24{,}5} \right).$

Ta có tứ phân vị thứ hai ${Q_2}$ chính là trung vị ${M_e}$ và trung vị là $\frac{{{x_{28}} + {x_{29}}}}{2}.$

Vì ${x_{28}},\,\,{x_{29}}$ thuộc nhóm $\left[ {15{,}5;18{,}5} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó, ${u_m} = 15{,}5;\,\,n = 56;{n_m} = 15;\,\,C = 3 + 12 = 15;\,\,{u_{m + 1}} - {u_n} = 18{,}5 - 15{,}5 = 3,$ ta có:

${M_e} = 15{,}5 + \frac{{\frac{{56}}{2} - 15}}{{15}}.3 = 18{,}1.$

Vậy tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là $18{,}1.$

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 3n} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{n^2} + 3n} \right) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}$$

$$= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n}}{{n\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{3}{{\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + 1}} = \frac{3}{2}.$$

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC,\,\,BD.$

Xét $\Delta SBD$ có: $O,\,\,M$ lần lượt là trung điểm của $BD,\,\,SB.$

Suy ra $OM$ là đường trung bình của $\Delta SBD.$

$\Rightarrow OM{\rm{//}}SD.$

Hơn nữa $SD \subset \left( {SCD} \right);\,\,OM\,\, \not\subset \left( {SCD} \right).$

$\Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SCD} \right).$

b) Trong $\left( {ABCD} \right)$ gọi $K = AN \cap CD.$

$$\Rightarrow K \in AN;\,\,K \in CD.$$

Mà $AN \subset \left( {AMN} \right)$ và $CD \subset \left( {SCD} \right).$

$\Rightarrow K \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).$ (1)

Vì $N$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BN = 2CN$ nên $MN$ không song song với $SC.$

Trong $\left( {SBC} \right)$ gọi $H = MN \cap SC.$

$\Rightarrow H \in MN;\,\,H \in SC.$

Mà $MN \subset \left( {AMN} \right)$ và $SC \subset \left( {SCD} \right).$

$\Rightarrow H \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $HK = \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).$

Gọi ${u_n}$ là giá tiền của mét khoan thứ $n$ với $n \in {\mathbb{N}^*}.$

Mét khoan đầu tiên có giá tiền là ${u_1} = 200\,\,000$ (đồng).

Mét khoan thứ hai có giá tiền là

${u_2} = 200\,\,000 + 200\,\,000.6\% = 200\,\,000\left( {1 + 6\% } \right) = 200\,\,000.1{,}06$ (đồng).

Mét khoan thứ ba có giá tiền là

${u_3} = 200\,\,000.1{,}06 + 200\,\,000.1{,}06.6\%$

$= 200\,\,000.1{,}06\left( {1 + 6\% } \right) = 200\,\,000.1,{06^2}$ (đồng).

Khi đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 200\,\,000$ và công bội $q = 1{,}06.$

Ta có công thức số hạng tổng quát ${u_n} = 200\,\,00.1,{06^{n - 1}}$ (đồng).

Vậy nếu ông An khoan cái giếng sâu 35 m thì hết số tiền là:

${S_{35}} = \frac{{200\,\,000\left( {1 - 1,{{06}^{35}}} \right)}}{{1 - 1{,}06}} = 2\,2\;28\,6\;955{,}97 \approx 22\;287\;000\,$ (đồng).

Theo đề ta có $- 3\sin \left( {1{,}5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1{,}5$

$\Leftrightarrow \sin \left( {1{,}5t + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {1{,}5t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1{,}5t + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\1{,}5t + \frac{\pi }{3} = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1{,}5t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\1{,}5t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}\\t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy vào các thời điểm $t = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3},k \ge 1,k \in \mathbb{Z}$ và $t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3},k \ge 0,k \in \mathbb{Z}$ thì vận tốc con lắc bằng $1{,}5\;\left( {{\rm{cm/s}}} \right)$.

$\Leftrightarrow \sin \left( {1{,}5t + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}$