Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8

Đáp án đúng là: B

Phát biểu “Bất phương trình $3x + 2 < 0$ có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?” không phải là mệnh đề vì đây là câu hỏi, không khẳng định tính đúng sai.

Đáp án đúng là: B

Vì $n \in \mathbb{N}$ nên ta xét lần lượt các số tự nhiên $n$ như sau:

+ Với $n = 0$, ta có $x = 7 - 0 = 7$.

+ Với $n = 1$, ta có $x = 7 - 1 = 6$.

+ Với $n = 2$, ta có $x = 7 - 2 = 5$.

+ Với $n = 3$, ta có $x = 7 - 3 = 4$.

+ Với $n = 4$, ta có $x = 7 - 4 = 3$.

+ Với $n = 5$, ta có $x = 7 - 5 = 2$.

+ Với $n = 6$, ta có $x = 7 - 6 = 1$.

+ Với $n = 7$, ta có $x = 7 - 7 = 0$.

+ Với $n = 8$, ta có $x = 7 - 8 = - 1$.

Tiếp tục như trên, ta nhận được các giá trị của $x$ tiếp theo là số nguyên âm, mà$x \in \mathbb{N}$, do đó các giá trị $x$ thỏa mãn tập hợp $E$ là 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0.

Vậy $E = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $A \cap B = \left[ { - 4;\,1} \right) \cup \left[ { - 2;\,\,3} \right] = \left[ { - 4;\,\,3} \right]$.

Suy ra ${C_\mathbb{R}}\left( {A \cup B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {A \cup B} \right) = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đổi 4,5 lít = 4 500 ml.

Pha $x$ lít nước cam loại 1 cần $900x$ ml nước cốt cam, pha $y$ lít nước cam loại 2 cần $850y$ ml nước cốt cam. Do đó, pha $x$ lít nước cam loại 1 và $y$ lít nước cam loại 2 cần $900x + 850y$ ml nước cốt cam, mà Hồng có 4,5 lít nước cam nên $900x + 850y \le 4\,\,500$ hay $18x + 17y \le 90$.

Vậy bất phương trình mô tả số lít nước cam loại 1 và loại 2 mà bạn Hồng có thể pha chế được là $18x + 17y \le 90$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $- 2 + 2 \cdot \left( { - 5} \right) = - 12 < 5$ nên cặp số $\left( { - 2;\,\, - 5} \right)$ không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất trong hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 5\\2x - 5y < 9\end{array} \right.$. Do đó, cặp số này không là nghiệm của hệ trên.

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $\widehat A = 30^\circ$, suy ra $\widehat C = 90^\circ - \widehat A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Khi đó $\sin C = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 77^\circ$.

Áp dụng định lí sin trong $\Delta ABC$ ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{9 \cdot \sin 77^\circ }}{{\sin 48^\circ }} \approx 11{,}8$.

Đáp án đúng là: C

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$, do đó vectơ $\overrightarrow {AB}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {CD}$.

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta có:

+) $\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC}$ , do đó đáp án A sai.

+) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC}$ (với điểm $D$ thỏa mãn $ABDC$ là hình bình hành), do đó đáp án B sai.

+) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB}$, do đó đáp án C đúng.

+) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA}$ (vô lí do $A,\,\,B,\,\,C$ phân biệt), do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Xét chữ nhật$ABCD$ có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành).

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC$.

Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông $ABC$, suy ra

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {13}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $2\overrightarrow {a\,} - \overrightarrow b = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \left( { - 1} \right)\overrightarrow x = - \overrightarrow x$, do đó vectơ $2\overrightarrow {a\,} - \overrightarrow b$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow {x\,}$. Đáp án A sai.

Lại có: $- \,\overrightarrow {a\,} + \frac{1}{2}\overrightarrow b = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2\,\overrightarrow {a\,} + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow x$, do đó vectơ $- \,\overrightarrow {\,a\,\,} + \frac{1}{2}\overrightarrow {\,b\,}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {x\,}$. Đáp án B đúng.

Đáp án C và D sai vì ta không thể biểu diễn được các vectơ $4\,\overrightarrow {a\,} + 2\overrightarrow {b\,}$ và $- \,\overrightarrow {a\,} + \overrightarrow b$ dưới dạng $k\overrightarrow x$.

Đáp án đúng là: D

Do $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$ và $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC$.

Hơn nữa, $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}$.

Do đó, $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {5 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {61}$.

Đáp án đúng là: B

$P$ là trung điểm của $MN$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5 + x}}{2} = x - 4\\\frac{{3 + y}}{2} = y + 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 2x - 8\\3 + y = 2y + 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 1\end{array} \right.$.

Vậy $x = 13;\,\,y = 1$.

Đáp án đúng là: A

Vì hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng nên $\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ$.

Do đó, $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 2 \cdot 8 \cdot \cos 180^\circ = - 16$.

Đáp án đúng là: C

Vì hình vuông $ABCD$ có tâm $O$ nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.

Phương án A: $\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB}$ suy ra $\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 0$ nên đáp án A đúng, loại A.

Phương án B: $\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = - OA \cdot OC = - O{A^2}$

và $\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AC = - \frac{1}{2}OA \cdot 2OA = - O{A^2}$.

Suy ra $\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = - O{A^2}$ nên đáp án B đúng, loại B.

Phương án C và D: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = AB \cdot AB\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}$.

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = - AB \cdot DC = - A{B^2}$, $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = AC \cdot AD \cdot \cos 45^\circ = AB\sqrt 2 \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD}$, $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD}$ nên chọn C và loại D.

Đáp án đúng là: A

Vì hàng lớn nhất của độ chính xác $d = 400$ là hàng trăm, nên ta quy tròn $a$ đến hàng nghìn.

Vậy số quy tròn của số $a$ là 20 007 000.

Đáp án đúng là: A

Mẫu số liệu gồm 9 số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Do đó, trung vị của mẫu số liệu là số ở vị trí thứ 5 nên ${M_e} = 47$.

Đáp án đúng là: C

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 100, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 75.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 100 - 75 = 25$.

Đáp án đúng là: D

Số trung bình của mẫu số liệu đã cho ở Câu 19 là

$\overline X = \frac{{80 + 90 + 95 + 100 + 90 + 80 + 75 + 90 + 80 + 85}}{{10}} = 86{,}5$.

Phương sai của mẫu số liệu đã cho ở Câu 19 là

${s^2} = \frac{{{{\left( {80 - 86{,}5} \right)}^2} + {{\left( {90 - 86{,}5} \right)}^2} + ... + {{\left( {80 - 86{,}5} \right)}^2} + {{\left( {85 - 86{,}5} \right)}^2}}}{{10}} = 55{,}25$.

Gọi $A,\,B,\,C,M,\,H$ lần lượt là đỉnh tháp viễn thông, điểm trên sườn dốc cách chân tháp 35 m, chân tháp viễn thông, chân sườn dốc, hình chiếu của điểm A lên phương ngang như hình vẽ sau

Khi đó ta có: $AC = 48\,$m, $BC = 35$m, $\widehat {CMH} = 25^\circ$, $\widehat {CHM} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat {MCH} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$.

Ta có: $\widehat {ACB} = \widehat {MCH} = 65^\circ$ (2 góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ ta có

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB}$$= {48^2} + {35^2} - 2 \cdot 48 \cdot 35 \cdot \cos 65^\circ \approx 2\,\,109$

Suy ra $AB \approx 46$ (m).

Vậy chiều dài của sợi dây cáp đó khoảng 46 m.

+ Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3} \right)$

$$\overrightarrow {AC} = \left( {3;2} \right) \Rightarrow - 4\overrightarrow {AC} = \left( { - 12; - 8} \right)$$

$$\overrightarrow {CE} = 3\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {AC} = \left( { - 15; - 11} \right)$$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - {x_C} = - 15\\{y_E} - {y_C} = - 11\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - 4 = - 15\\{y_E} - 5 = - 11\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 11\\{y_E} = - 6\end{array} \right..$ Vậy $E\left( { - 11; - 6} \right)$.

+ Ta có: $\overrightarrow {AF} = \left( {{x_F} - 1;{y_F} - 3} \right)$

$\overrightarrow {BF} = \left( {{x_F} - 0;{y_F} - 2} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {BF} = \left( {2{x_F};2{y_F} - 4} \right)$

$\overrightarrow {CF} = \left( {{x_F} - 4;{y_F} - 5} \right) \Rightarrow - 4\overrightarrow {CF} = \left( { - 4{x_F} + 16; - 4{y_F} + 20} \right)$

Vì $\overrightarrow {AF} + 2\overrightarrow {BF} - 4\overrightarrow {CF} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_F} - 1} \right) + 2{x_F} + \left( { - 4{x_F} + 16} \right) = 0\\\left( {{y_F} - 3} \right) + \left( {2{y_F} - 4} \right) + \left( { - 4{y_F} + 20} \right) = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_F} + 15 = 0\\ - {y_F} + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_F} = 15\\{y_F} = 13\end{array} \right.$. Vậy $F\left( {15;13} \right)$.

a) Ta có: $AC \bot DB \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0$

$$\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$$

$$= \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - A{B^2} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB}$$

Ta lại có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0$

Và $A{B^2} = {h^2},\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} = BC \cdot AD = ab$ .

Do đó, $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0 - {h^2} + ab - 0 = ab - {h^2}$.

Vậy $\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow ab - {h^2} = 0$.

b) Vì $I$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$ và $\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right)$.

Khi đó ta có: $\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BI} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right) = 0$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} = 0$$

Mà $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2} = 0 + B{C^2} = {b^2}$; $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = ab - {h^2}$;

$\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = AD \cdot BC = ab$; $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BA} + {\overrightarrow {AD} ^2} = 0 + A{D^2} = {a^2}$.

Do đó, ta có: $\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {h^2} + 2ab = 0 \Leftrightarrow a + b = h.$

a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

21 24 25 26 26 26 27 27 31 33.

+ Chiều dài trung bình của cá voi xanh trưởng thành là

$\overline X = \frac{{21 + 24 + 25 + 26 \cdot 3 + 27 \cdot 2 + 31 + 33}}{{10}} = 26{,}6$.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 33 - 21 = 12$.

+ Vì mẫu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ 5 và 6. Do đó, ${Q_2} = \frac{{26 + 26}}{2} = 26$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 21 24 25 26 26. Do đó, ${Q_1} = 25$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 26 27 27 31 33. Do đó, ${Q_3} = 27$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 27 - 25 = 2$.

+ Phương sai mẫu số liệu là

${s^2} = \frac{{{{\left( {21 - 26{,}6} \right)}^2} + {{\left( {24 - 26{,}6} \right)}^2} + ... + {{\left( {31 - 26{,}6} \right)}^2}}}{{10}} = 10{,}24$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {10{,}24} = 3{,}2$.

b) Ta có: ${Q_1} - 1{,}5{\Delta _Q} = 25 - 1{,}5 \cdot 2 = 22$, ${Q_3} + 1{,}5{\Delta _Q} = 27 + 1{,}5 \cdot 2 = 30$.

Mẫu số liệu đã cho có các số liệu 21 < 22, 31 > 30, 33 > 30.

Vậy mẫu số liệu có các giá trị bất thường là 21, 31, 33.