Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là: C

Phủ định của mệnh đề “Số 2 022 chia hết cho 4” là mệnh đề: “Số 2 022 không chia hết cho 4”.

Đáp án đúng là: D

Các phần tử của tập hợp $D$ đều là phần tử của tập hợp $A$ nên $D$ là tập con của $A$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $A \cap B = \left[ { - 3;\,\,2} \right) \cap \left( {1;\,\,6} \right) = \left( {1;\,\,2} \right)$

$\Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {A \cap B} \right) = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Trong 1 lạng ức gà ta chứa khoảng 24 g protein nên trong $x$ lạng ức gà ta chứa khoảng $24x$ (g protein).

Trong 1 lạng thịt vịt chứa khoảng 18 g protein nên trong $y$ lạng thịt vịt chứa khoảng $18y$ (g protein).

Tổng số lượng protein mà một người nặng 75 kg nên ăn trong một ngày là: $24x + 18y$ (g protein).

Trung bình mỗi ngày, một người nặng 75 kg cần tối thiểu khoảng $0{,}8 \cdot 75 = 60$ (g protein).

Do đó, bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,\,\,y$ để biểu diễn lượng protein cần thiết cho người đó trong một ngày là: $24x + 18y \ge 60$ hay $4x + 3y \ge 10$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $5 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 19 > - 3$ nên cặp số $\left( {2;\,\,3} \right)$ không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất trong hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y < - 3\\2x - y \ge 5\end{array} \right.$. Do đó, cặp số này không là nghiệm của hệ trên.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, đây là một số hữu tỉ dương.

Đáp án đúng là: B

Tam giác $ABC$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {35^\circ + 80^\circ } \right) = 65^\circ$.

Áp dụng định lí sin trong $\Delta ABC$ ta có: $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$.

Suy ra $AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{5 \cdot \sin 80^\circ }}{{\sin 65^\circ }} \approx 5{,}4$.

Đáp án đúng là: C

Vì $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $MN\,{\rm{//}}\,BC$.

Hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {BC}$ có giá song song với nhau nên chúng cùng phương.

Đáp án đúng là: A

Xét các đáp án, ta có:

+) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA}$ (quy tắc hiệu và tính chất hình bình hành), do đó đáp án A đúng.

+) $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BO} \Leftrightarrow \overrightarrow {AO} - \overrightarrow {BO} = - \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CA}$ (vô lí), do đó đáp án B sai.

+) $\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \ne \overrightarrow {CD}$, do đó đáp án C sai.

+) $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {BC} \ne \overrightarrow {BD}$, do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} } \right| = \left| {2\overrightarrow {CE} } \right| = 2CE$ (với $E$ là trung điểm của $AH$).

Ta lại có: $AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}$ ($\Delta ABC$ đều, $AH$ là đường cao), suy ra $HE = \frac{1}{2}AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{4}$.

$CH = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}$.

Trong tam giác $HEC$ vuông tại $H$, từ định lí Pythagore suy ra

$$EC = \sqrt {C{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{4}$$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {HC} } \right| = 2CE = \frac{{5\sqrt 7 }}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $GA = \frac{2}{3}AM$.

Mặt khác hai vectơ $\overrightarrow {GA}$ và $\overrightarrow {AM}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {GA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}$.

Đáp án đúng là: B

Vì $M$ là trung điểm của $BC$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$ (1).

Vì $N$ là trung điểm của $CD$$\Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AN}$ (2).

Lấy (1) + (2), ta được $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} + 2\overrightarrow {AN}$.

Lại có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

Do đó $3\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} + 2\overrightarrow {AN} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow v = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j$. Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách giữa $A$ và $B$ là $AB = \sqrt {{{\left( { - 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = 5\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: C

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $\widehat B = 35^\circ$, suy ra $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Ta có: $\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \widehat {ABC} = 35^\circ$; $\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB} = 55^\circ$; $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 90^\circ$.

Vập đáp án C sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 7 \cdot 3 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 29$.

Đáp án đúng là: A

Vì hàng lớn nhất của độ chính xác $d = 100$ là hàng trăm, nên ta quy tròn $a$ đến hàng nghìn.

Vậy số quy tròn của số $a$ là 10 000.

Đáp án đúng là: D

Từ bảng số liệu ta thấy giá trị 4 có tần số lớn nhất (9) nên mốt của mẫu số liệu là 4.

Đáp án đúng là: A

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 1 250, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 1 120.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 1\,\,250 - 1\,\,120 = 130$.

Đáp án đúng là: C

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho là $s = \sqrt {1{,}5129} = 1{,}23$.

Gọi $O,\,\,A,\,\,B$ lần lượt là vị trí sân bay và hai máy bay sau 2 tiếng.

Hướng ${\rm{N25^\circ E}}$ là hướng tạo với hướng bắc một góc $25^\circ$ và tạo với hướng đông một góc $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$. Ta mô phỏng bài toán đã cho như sau:

Quãng đường máy bay bay theo hướng đông sau 2 tiếng là

$OA = 540 \cdot 2 = 1\,\,080$ (km).

Quãng đường máy bay bay theo hướng ${\rm{N25^\circ E}}$ sau 2 tiếng là

$OB = 670 \cdot 2 = 1\,\,340$ (km).

Ta có: $\widehat {AOB} = 65^\circ$, $OA = 1\,\,080,\,\,OB = 1\,\,340$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $OAB$, ta có:

$A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \widehat {AOB}$

$= 1\,\,{080^2} + 1\,\,{340^2} - 2 \cdot 1\,\,080 \cdot \,1\,\,340 \cdot \cos 65^\circ \approx 1\,\,738\,\,774$.

Suy ra $AB \approx \sqrt {1\,\,738\,\,774} \approx 1\,\,319$ (km).

Vậy sau 2 tiếng, hai máy bay cách nhau khoảng 1 319 km.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\,3} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;\,\, - 3} \right)$.

Vì $\frac{{ - 2}}{{ - 2}} \ne \frac{3}{{ - 3}}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương.

Do đó, ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$ không thẳng hàng.

Vậy $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi $D\left( {x;\,\,y} \right)$. Khi đó, $\overrightarrow {DC} = \left( {2 - x;\, - 2 - y} \right)$

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 = 2 - x\\3 = - 2 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 5\end{array} \right.$.

Vậy $D\left( {4;\,\, - 5} \right)$.

Gọi $N$ là trung điểm của $BC$.

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn điều kiện: $4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$.

Khi đó, ta có: $4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0$, do đó điểm $I$ thuộc đoạn $AN$ sao cho $IN = 2IA$.

Lại có tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra: $IA = \frac{1}{2}AN = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$; $IN = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ ;

$IB = IC = \sqrt {I{N^2} + B{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}$.

Ta lại có: $4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}$

$$\Leftrightarrow 4{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}$$

$$\Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}$$

$$\Leftrightarrow 6M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + 4I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}$$

$\Leftrightarrow 6M{I^2} + 4 \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}$

$\Leftrightarrow MI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}$.

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R = \frac{a}{{\sqrt 6 }}$.

Sắp xếp khối lượng các quả cam Vinh ở hai lô hàng loại 1 và loại 2 theo thứ tự không giảm ta được:

a) * Đối với lô hàng loại 1:

Khối lượng cao nhất và khối lượng thấp nhất tương ứng là 280 và 230. Do đó, khoảng biến thiên của lô hàng loại 1 là ${R_1} = 280 - 230 = 50$.

Mẫu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai của lô hàng loại 1 là trung bình cộng của số thứ 5 và 6. Do đó, ${Q_{2\left( 1 \right)}} = \frac{{250 + 260}}{2} = 255$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 230 245 250 250 250. Do đó, ${Q_{1\left( 1 \right)}} = 250$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 260 260 260 265 280. Do đó, ${Q_{3\left( 1 \right)}} = 260$.

Khi đó, khoảng tứ phân vị của lô hàng loại 1 là ${\Delta _{Q\left( 1 \right)}} = {Q_{3\left( 1 \right)}} - {Q_{1\left( 1 \right)}} = 260 - 250 = 10$.

Khối lượng trung bình của cân nặng cam Vinh ở lô hàng loại 1 là

$\overline {{X_1}} = \frac{{230 + 245 + 250 \cdot 3 + 260 \cdot 3 + 265 + 280}}{{10}} = 255$.

Phương sai của cân nặng cam Vinh ở lô hàng loại 1 là

$S_1^2 = \frac{{{{\left( {230 - 255} \right)}^2} + {{\left( {245 - 255} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( {250 - 255} \right)}^2} + 3 \cdot {{\left( {260 - 255} \right)}^2} + {{\left( {265 - 255} \right)}^2} + {{\left( {280 - 255} \right)}^2}}}{{10}}$

$= 160$

Độ lệch chuẩn của cân nặng cam Vinh ở lô hàng loại 1 là ${S_1} = \sqrt {S_1^2} = \sqrt {160} \approx 12{,}65$.

* Đối với lô hàng loại 2:

Khối lượng cao nhất và khối lượng thấp nhất tương ứng là 220 và 180. Do đó, khoảng biến thiên của lô hàng loại 2 là ${R_2} = 220 - 180 = 40$.

Mẫu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai của lô hàng loại 2 là trung bình cộng của số thứ 5 và 6. Do đó, ${Q_{2\left( 2 \right)}} = \frac{{195 + 200}}{2} = 197{,}5$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 180 185 190 190 195. Do đó, ${Q_{1\left( 2 \right)}} = 190$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 200 210 210 215 220. Do đó, ${Q_{3\left( 2 \right)}} = 210$.

Khi đó, khoảng tứ phân vị của lô hàng loại 2 là ${\Delta _{Q\left( 2 \right)}} = {Q_{3\left( 2 \right)}} - {Q_{1\left( 2 \right)}} = 210 - 190 = 20$.

Khối lượng trung bình của cân nặng cam Vinh ở lô hàng loại 2 là

$\overline {{X_2}} = \frac{{180 + 185 + 190 \cdot 2 + 195 + 200 + 210 \cdot 2 + 215 + 220}}{{10}} = 199{,}5$.

Phương sai của cân nặng cam Vinh ở lô hàng loại 2 là

$S_2^2 = \frac{{{{\left( {1800 - 199{,}5} \right)}^2} + {{\left( {185 - 199{,}5} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {190 - 199{,}5} \right)}^2} + ... + {{\left( {220 - 199{,}5} \right)}^2}}}{{10}}$$= 167{,}25$

Độ lệch chuẩn của cân nặng cam Vinh ở lô hàng loại 2 là ${S_2} = \sqrt {S_2^2} = \sqrt {167{,}25} \approx 12{,}93$.

b) Từ các kết quả tính được ở câu a, ta nhận thấy mặc dù khoảng biến thiên của khối lượng cam Vinh ở lô hoàng loại 2 nhỏ hơn loại 1 nhưng khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của khối lượng cam Vinh ở lô hàng loại 2 lớn hơn loại 1. Mà khoảng biến thiên thường bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường nên ta sử dụng khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn để so sánh. Như vậy ta thấy khối lượng cam Vinh ở lô hàng loại 1 đều hơn.