Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: D

Các câu “Năm 2024 là năm nhuận.”; “Số 2 022 là số lẻ.”; “Số 25 là số chính phương.” là các khẳng định có tính đúng hoặc sai, do đó đây là các mệnh đề.

Câu “Hà có học giỏi môn Toán không?” là câu nghi vấn, không khẳng định tính đúng sai nên đây không phải mệnh đề.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $H = \left\{ {{x^2}|x \in \mathbb{N},x \le 4} \right\}$.

Vì $x \in \mathbb{N},x \le 4$ nên $x$ là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 4, chính là các số: 0, 1, 2, 3, 4.

Với $x = 0$ thì ${x^2} = {0^2} = 0$;

Với $x = 1$ thì ${x^2} = {1^2} = 1$;

Với $x = 2$ thì ${x^2} = {2^2} = 4$;

Với $x = 3$ thì ${x^2} = {3^2} = 9$;

Với $x = 4$ thì ${x^2} = {4^2} = 16$.

Khi đó, ta viết được tập hợp $H$ bằng cách liệt kê các phần tử là $H = \left\{ {0;\,\,1;\,\,4;\,\,9;\,\,16} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $A \cap B = \left( { - 2;\,\,9} \right) \cap \left[ { - 3;\,\,5} \right] = \left( { - 2;\,5} \right]$.

Đáp án đúng là: C

Gọi dạng phương trình đường thẳng $\Delta$ là $y = ax + b$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $\left( {\frac{3}{2};\,0} \right)$ và $\left( {0;\,3} \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 = \frac{3}{2}a + b\\3 = 0 \cdot a + b\end{array} \right..$ Giải hệ này ta được $a = - 2,\,\,b = 3$.

Khi đó đường thẳng $\Delta :y = - 2x + 3$ hay $\Delta :2x + y = 3$.

Xét điểm gốc tọa độ $O\left( {0;\,\,0} \right)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$ và điểm này thuộc phần không tô đậm trong hình vẽ đã cho. Ta có: $2 \cdot 0 + 0 = 0 < 3$.

Vậy phần không tô đậm trong hình vẽ (kể cả đường thẳng $\Delta$) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 3$.

Đáp án đúng là: D

Vì cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn mía và không quá 9 tấn củ cải đường nên $0 \le x \le 10$ và $0 \le y \le 9$.

Theo bài ra ta có, $x$ tấn mía và $y$ tấn củ cải đường có thể chiết xuất được $20x + 10y$ kg đường kính và $0{,}6x + 1{,}5y$ kg đường cát.

Vì cần chiết xuất ít nhất 140 kg đường kính và 9 kg đường cát nên $20x + 10y \ge 140$ và $0{,}6x + 1{,}5y \ge 9$.

Vậy một hệ điều kiện giữa $x$ và $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\20x + 10y \ge 140\\0{,}6x + 1{,}5y \ge 9\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cos 150^\circ = - \cos 30^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$, đây là một số thực âm (không phải số hữu tỉ do $\sqrt 3$ là số vô tỉ).

Đáp án đúng là: B

Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\sin \alpha > 0,\,\cos \alpha > 0,\tan \alpha > 0,\,\cot \alpha > 0$.

Do đó:

+ ${\rm{sin}}\alpha$ và $\cot \alpha$ cùng dấu;

+ Tích ${\rm{sin}}\alpha \cdot {\rm{cot}}\alpha$ mang dấu dương;

+ Tích ${\rm{sin}}\alpha \cdot {\rm{cos}}\alpha$ mang dấu dương;

+ ${\rm{sin}}\alpha$ và $\tan \alpha$ cùng dấu.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $A = {\sin ^2}52^\circ + {\sin ^2}47^\circ + {\sin ^2}38^\circ + {\sin ^2}43^\circ$

$= {\left( {\sin 52^\circ } \right)^2} + {\left( {\sin 47^\circ } \right)^2} + {\sin ^2}38^\circ + {\sin ^2}43^\circ$

$= {\left( {\cos 38^\circ } \right)^2} + {\left( {\cos 43^\circ } \right)^2} + {\sin ^2}38^\circ + {\sin ^2}43^\circ$

$= \left( {{{\cos }^2}38 + {{\sin }^2}38^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}43 + {{\sin }^2}43^\circ } \right)$$= 1 + 1 = 2$.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{3^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 3 \cdot 5}} = - \frac{1}{2}$.

Do đó, $\widehat A = 120^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là

$\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {BD} ,\,\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {CB} ,\,\overrightarrow {CD} ,\,\overrightarrow {DA} ,\,\overrightarrow {DB} ,\,\overrightarrow {DC}$.

Vậy có tất cả 12 vectơ thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Từ hình vẽ ta thấy hai vectơ $\overrightarrow {HI}$ và $\overrightarrow {IK}$ cùng phương và cùng chiều đi từ trái qua phải nên hai vectơ này cùng hướng.

Đáp án đúng là: D

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$, $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}$ nên đáp án A, B đúng.

Theo tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA}$ nên đáp án C đúng.

Ta có: $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {BA}$ (do ba điểm phân biệt$A,B,C$) nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AO} - \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$ (do $ABCD$ là hình bình hành).

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AB}$.

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow {MA}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng hướng và $MA = AB$.

Do đó, $A$ là trung điểm của $MB$.

Đáp án đúng là: C

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

Với mọi điểm $M$ bất kỳ, theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)$

$= 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG}$.

Đáp án đúng là: C

Theo quy tắc hiệu, ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = - 4\overrightarrow a - 3\overrightarrow a = - 7\overrightarrow a$.

Đáp án đúng là: A

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $C$ là trung điểm của $MI$. Ta có:

$\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AI} + 2\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + 2\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {MP}$ ngược hướng nhau và $MN = 3MP$.

Vậy điểm $M$ nằm giữa hai điểm $N$ và $P$ thỏa mãn $MN = 3MP$.

Khi đó điểm $P$ được xác định đúng ở hình 3.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j$, khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( {2 - \left( { - 5} \right);\, - 3 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 - \left( { - 3} \right) = - 6\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3 \cdot 1 - 1 - 5 = - 3\end{array} \right.$. Vậy $C\left( { - 6;\, - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Vì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ ngược hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow 0$ nên $\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ$.

Do đó, $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 180^\circ = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|$.

Đáp án đúng là: C

Vì điểm $M$ nằm trên tia $Ox$ nên gọi tọa độ điểm $M$ là $M\left( {x;\,\,0} \right)$.

Khi đó, $\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,2} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( {5 - x;\, - 2} \right)$.

Ta có: $\widehat {AMB} = 90^\circ$ $\Leftrightarrow MA \bot MB \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {5 - x} \right) + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 1\end{array} \right.$.

Vậy $M\left( {1;\,\,0} \right)$ hoặc $M\left( {6;\,\,0} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Cách 1: $\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)$$= {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left( {\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} + 2\left( {1 \cdot 2 + \left( { - 3} \right) \cdot 5} \right) = - 16$.

Cách 2: $2\overrightarrow b = \left( {2 \cdot 2;\,2 \cdot 5} \right) = \left( {4;\,10} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {1 + 4;\, - 3 + 10} \right) = \left( {5;\,7} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = 1 \cdot 5 + \left( { - 3} \right) \cdot 7 = 5 - 21 = - 16$.

Đáp án đúng là: D

+ Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {ABC} = 50^\circ$nên $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ACB} = 40^\circ$.

Khi đó ta có, $\left( {\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = 50^\circ$ và $\left( {\overrightarrow {CA} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB} = 40^\circ$, nên đáp án A, B đúng.

+ Để xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CB}$, ta dựng hình bình hành $ABDC$:

Ta có: $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB}$, do đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {DCB}$.

Vì $AB\,{\rm{//}}\,{\rm{CD}}$ nên $\widehat {DCB} = \widehat {ABC} = 50^\circ$ (hai góc so le trong).

Vậy $\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {DCB} = 50^\circ$, nên đáp án C đúng.

+ Để xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {CB}$, ta dựng vectơ $\overrightarrow {CE}$ sao cho $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CE}$.

Khi đó, $\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$, vậy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overline a = 13{,}738 \pm 0{,}02$.

Vì hàng lớn nhất của độ chính xác $d = 0{,}02$ là hàng phần trăm, do đó ta làm tròn 13,738 đến hàng phần mười theo quy tắc làm tròn. Vậy số quy tròn của số gần đúng $a$ là 13,7.

Đáp án đúng là: A

Làm tròn số 152,559 đến hàng phần trăm ta được 152,56.

Sai số tuyệt đối là: $\Delta = \left| {152{,}559 - 152{,}56} \right| = 0{,}001$.

Đáp án đúng là: D

Số trung bình là số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

Đáp án đúng là: B

Từ bảng thống kê ta thấy giá trị 5 có tần số lớn nhất (40) nên mốt của mẫu số liệu là 5.

Đáp án đúng là: B

Thu nhập trung bình của 9 nhân viên là:

$\overline X = \frac{{10 + 12 + 9 + 11 + 15 + 18 + 16 + 9 + 8}}{9} = 12$.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:

8; 9; 9; 10; 11; 12; 15; 16; 18.

Vì mẫu số liệu có 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí thứ 5 và là 11.

Đáp án đúng là: D

Để đánh giá mức độ phân tán của mẫu số liệu thống kê, ta dùng độ lệch chuẩn.

Đáp án đúng là: A

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 18, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 12.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 18 - 12 = 6$.

Đáp án đúng là: C

Số trung bình của mẫu số liệu là

$\overline X = \frac{{15 + 12 + 17 + 14 + 17 + 12 + 15 + 17 + 15 + 18}}{{10}} = 15{,}2$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

${s^2} = \frac{{{{\left( {15 - 15{,}2} \right)}^2} + {{\left( {12 - 15{,}2} \right)}^2} + ... + {{\left( {15 - 15{,}2} \right)}^2} + {{\left( {18 - 15{,}2} \right)}^2}}}{{10}} = 3{,}96$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {3{,}96} = \frac{{3\sqrt {11} }}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

12; 12; 14; 15; 15; 15; 17; 17; 17; 18.

Vì mẫu số liệu của 10 số liệu nên trung vị là trung bình cộng của số thứ 5 và số thứ 6.

Do đó, ${M_e} = {Q_2} = \frac{{15 + 15}}{2} = 15$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy 12; 12; 14; 15; 15. Do đó, ${Q_1} = 14$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy 15; 17; 17; 17; 18. Do đó, ${Q_3} = 17$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 17 - 14 = 3$.

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}$

$\Leftrightarrow 144 = A{B^2} + 64 - 16 \cdot AB \cdot \cos 65^\circ$

$$\Leftrightarrow A{B^2} - 16 \cdot AB \cdot \cos 65^\circ - 80 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}AB \approx 13\\AB \approx - 6{,}18\,\,(L)\end{array} \right.$$

Do đó: $AB = 13$km.

Ta có:$AC + BC - AB = 12 + 8 - 13 = 7$ (km).

Vậy số tiền phải tốn thêm là $7 \cdot 150\,\,000 = 1\,\,050\,\,000$ (đồng).

Ta có: $\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {4 + 2x + 1; - 6 + 2} \right) = \left( {2x + 5; - 4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16}$

$\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {25 + 64} = \sqrt {89} ;\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right| \Leftrightarrow \sqrt {89} = 2\sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16}$

$\Leftrightarrow 89 = 4{\left( {2x + 5} \right)^2} + 64 \Leftrightarrow {\left( {2x + 5} \right)^2} = \frac{{25}}{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = \frac{5}{2}\\2x + 5 = - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5}}{4}\\x = \frac{{ - 15}}{4}\end{array} \right.$

Khi $x = \frac{{ - 5}}{4} \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {\frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( { - 5;8} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow v$ (tm)

Khi $x = \frac{{ - 15}}{4} \Rightarrow \overrightarrow v = \left( {\frac{{ - 5}}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( {5;8} \right)$ (ktm)

Vậy $x = \frac{{ - 5}}{4}$.

Nhận thấy giá trị 0,312 nhỏ hơn rất nhiều so với các giá trị khác trong mẫu số liệu đã cho, do đó để kiểm tra nghi ngờ của Nam, ta cần xác định xem 0,312 có phải giá trị bất thường của mẫu số liệu hay không.

Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:

0,312; 0,895; 0,898; 0,898; 0,899; 0,899; 0,901; 0,902; 0,905; 0,910.

Vì mẫu số liệu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ năm và thứ sáu, do đó ${Q_2} = \frac{{0{,}899 + 0{,}899}}{2} = 0{,}899$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 0,213; 0,895; 0,898; 0,898; 0,899.

Do đó, ${Q_1} = 0{,}898$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 0,899; 0,901; 0,902; 0,905; 0,910.

Do đó, ${Q_3} = 0{,}902$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0{,}902 - 0{,}898 = 0{,}004$.

Ta có: ${Q_1} - 1{,}5{\Delta _Q} = 0{,}898 - 1{,}5 \cdot 0{,}004 = 0{,}892$.

Vì 0,312 < 0,892 nên 0,312 là giá trị bất thường của mẫu số liệu. Do đó, giá trị ở lần đó thứ 8 trong thí nghiệm trên không chính xác hay nghi ngờ của Nam là đúng.