Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: A

+ Câu “Bạn ăn tối chưa?” không phải là mệnh đề vì đây là câu nghi vấn, không xác định được tính đúng sai.

+ Các câu còn lại là mệnh đề vì các câu này là những khẳng định có tính đúng hoặc sai.

Đáp án đúng là: B

Kí hiệu “$\subset$” dùng để chỉ mối quan hệ giữa các tập hợp với nhau, kí hiệu “$\in$” dùng để chỉ mối quan hệ giữa phần tử với tập hợp.

Ta có: $\left[ {a;\,b} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a \le x \le b} \right\}$, $\left( {a;\,b} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R}|a < x \le b} \right\}$, $\left\{ a \right\}$ là tập hợp gồm 1 phần tử là $a$.

Từ đó suy ra:

+ Cách viết $a \subset \left[ {a;\,b} \right]$ là sai, do $a$ là một phần tử;

+ Cách viết $\left\{ a \right\} \subset \left[ {a;\,b} \right]$ là đúng, vì mọi phần tử của tập hợp $\left\{ a \right\}$ đều là phần tử của tập hợp $\left[ {a;\,b} \right]$ nên tập $\left\{ a \right\}$ là tập con của tập $\left[ {a;\,b} \right]$.

+ Cách viết $\left\{ a \right\} \in \left[ {a;\,b} \right]$ là sai, do $\left\{ a \right\}$ và $\left[ {a;\,b} \right]$ là hai tập hợp.

+ Cách viết $a \in \left( {a;\,b} \right]$ là sai do tập hợp $\left( {a;\,b} \right]$ không chứa phần tử $a$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $A\cap B=\{x|x\in A\text{và}x\in B\}=\{1;\ 3;\ 4\}\ne B$ nên đáp án A sai.

$A\cup B=\{x|x\in A\text{hoac}x\in B\}=\{0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;6;\ 8\}\ne A$ nên đáp án B sai.

$A\backslash B = \left\{ {x|x \in A\,{\rm{v\`a }}\,x \notin B} \right\}$$= \left\{ {0;\,2} \right\}$ nên đáp án C đúng.

$B\backslash A = \left\{ {x|x \in B\,{\rm{v\`a }}\,x \notin A} \right\} = \left\{ {6;\,8} \right\}$ nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: D

Từ các đáp án đã cho, ta giả sử đường thẳng $d$ có dạng $ax + by = 3$.

Quan sát hình vẽ ta thấy đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $\left( {\frac{3}{2};\,0} \right)$ và $\left( {0;\, - 3} \right)$.

Do đó, ta có hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}a \cdot \frac{3}{2} + b \cdot 0 = 3\\a \cdot 0 + b \cdot \left( { - 3} \right) = 3\end{array} \right.$.

Từ đó suy ra $a = 2,\,b = - 1$ nên đường thẳng $d$ có dạng $2x - y = 3$.

Nhận thấy điểm $O\left( {0;\,0} \right)$ không thuộc đường thẳng $d$ và phần không tô đậm trong hình vẽ chứa điểm $O$. Lại có: $2 \cdot 0 - 0 = 0 < 3$.

Vậy phần không tô đậm trong hình vẽ biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình $2x - y < 3$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $x\left( {x \ge 0} \right)$ là số kg sản phẩm loại một cần sản xuất, $y\left( {y \ge 0} \right)$ là số kg sản phẩm loại hai cần sản xuất.

Xưởng có 200 kg nguyên liệu và mỗi kg sản phẩm loại một cần 2 kg nguyên liệu, mỗi kg sản phẩm loại hai cần 4 kg nguyên liệu nên ta có bất phương trình $2x + 4y \le 200$, bất phương trình này tương đương với $x + 2y - 100 \le 0$.

Xưởng có 1 200 giờ làm việc và mỗi kg sản phẩm loại một cần 30 giờ để sản xuất, mỗi kg sản phẩm loại hai cần 15 giờ để sản xuất nên ta có bất phương trình $30x + 15y \le 1\,\,200,$ bất phương trình này tương đương với $2x + y - 80 \le 0$.

Vậy ta có một hệ bất phương trình điều kiện giữa $x$ và $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 2y - 100 \le 0}\\{2x + y - 80 \le 0}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Theo bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có: $\cos 60^\circ + \sin 30^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Đáp án đúng là: B

Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0,\,\tan \alpha < 0,\,\cot \alpha < 0$. Do đó:

+ ${\rm{sin}}\alpha$ và $\cot \alpha$ khác dấu;

+ Tích ${\rm{sin}}\alpha \cdot {\rm{cot}}\alpha$ mang dấu âm;

+ Tích ${\rm{sin}}\alpha \cdot {\rm{cos}}\alpha$ mang dấu âm;

+ ${\rm{sin}}\alpha$ và $\tan \alpha$ khác dấu.

Vậy khẳng định ở đáp án B là khẳng định đúng.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng mối quan hệ giữa hai góc bù nhau ta có:

$\cos 180^\circ = \cos \left( {180^\circ + 0^\circ } \right) = - \cos 0^\circ$;

$\cos 170^\circ = \cos \left( {170^\circ + 10^\circ } \right) = - \cos 10^\circ$;

...

$\cos 100^\circ = \cos \left( {100^\circ + 80^\circ } \right) = - \cos 80^\circ$.

Ta có: $H = \cos 0^\circ + \cos 10^\circ + \cos 20^\circ + ... + \cos 180^\circ$

$= \left( {\cos 0^\circ + \cos 180^\circ } \right) + \left( {\cos 10^\circ + \cos 170^\circ } \right) + ... + \left( {\cos 80^\circ + \cos 100^\circ } \right) + \cos 90^\circ$

$= \left( {\cos 0^\circ - \cos 0^\circ } \right) + \left( {\cos 10^\circ - \cos 10^\circ } \right) + ... + \left( {\cos 80^\circ - \cos 80^\circ } \right) + \cos 90^\circ$

$= \cos 90^\circ = 0$.

Vậy $H = 0$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos \widehat B$$= {9^2} + {8^2} - 2.9.8.\cos 60^\circ = 73$.

Suy ra $AC = \sqrt {73}$.

Đáp án đúng là: D

Vectơ có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $E$ được kí hiệu là $\overrightarrow {AE}$.

Đáp án đúng là: B

+ Hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng nên đáp án A sai.

+ Hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau, ngược lại hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau thì cùng phương, do đó đáp án B đúng và đáp án C sai.

+ Nếu vectơ thứ ba là vectơ $\overrightarrow 0$, thì hai vectơ bất kì luôn cùng hướng với vectơ $\overrightarrow 0$ nên chúng có thể không cùng hướng với nhau, do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng quy tắc hình bình hành trong hình bình hành $ABCD$, ta có: $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA}$.

Đáp án đúng là: B

Theo quy tắc hiệu, ta có: $\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB}$.

Do $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA}$.

Vậy $\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {DB}$

$= \overrightarrow {AD} + \left( { - \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {CB} + \left( { - \overrightarrow {DB} } \right)$

$= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD}$

$= \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} } \right)$

$= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD}$.

Vậy $\overrightarrow u = \overrightarrow {AD}$.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào định nghĩa và tính chất tích của một vectơ với một số ta thấy đáp án C sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow a = k\overrightarrow b$, mà $\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b$ ngược hướng nên $k = - \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{3}{9} = - \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AN}$.

Do $N$ là trung điểm của $AE$ nên $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE}$.

Lại có $E$ là trung điểm của $BC$ nên với điểm $A$ ta có: $\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$.

Do đó, $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}$.

Lại có: $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$ (do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}$).

Khi đó ta có: $\overrightarrow {DN} = - \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AC}$.

Vậy $p = \frac{5}{4};\,q = - \frac{3}{4}$.

Đáp án đúng là: D

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

Vì $G'$ là trọng tâm của tam giác $A'B'C'$ nên ta có $\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0$.

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} } \right) + \left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} } \right) + \left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} } \right)$

$= 3\overrightarrow {GG'} + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} } \right)$

$= 3\overrightarrow {GG'} - \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} } \right)$

$= 3\overrightarrow {GG'} - \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {GG'}$.

Vậy $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow v = 5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j = 5\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j$.

Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow v$ là $\overrightarrow v = \left( {5;\, - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_N}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {13}$.

Đáp án đúng là: D

$G\left( {x;\,y + 6} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 + 3 + x - 1}}{3} = x\\\frac{{9 + 7 + y}}{3} = y + 6\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình trên ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Vì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow 0$ nên $\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ$.

Do đó, $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 0^\circ = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|$.

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ vuông góc với nhau khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

Xét từng cặp vectơ ở mỗi đáp án, ta có:

+ Đáp án A: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 2 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 4 = - 10 \ne 0$.

+ Đáp án B: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 2 \cdot 5 + 5 \cdot 2 = 20 \ne 0$.

+ Đáp án C: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 2 \cdot \left( { - 6} \right) + 3 \cdot 4 = 0$.

+ Đáp án D: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 6 \cdot 3 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 36 \ne 0$.

Vậy cặp vectơ ở đáp án C vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: C

Do $ABCD$ là hình vuông nên đường chéo $AC$ là phân giác của $\widehat {BAD}$.

Suy ra $\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = AB \cdot AC.\cos \widehat {BAC} = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = {a^2}$.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = {1^2} + {2^2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 3$.

Suy ra $AC = \sqrt 3$.

Theo hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2} - {1^2}}}{{2 \cdot \sqrt 3 \cdot 2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có: $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \left( {\left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos \widehat {ACB}} \right) = - \left( {2 \cdot \sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3$.

Đáp án đúng là: B

Vì hàng lớn nhất của độ chính xác $d = 0{,}08$ là hàng phần trăm nên ta làm tròn $a$ đến hàng phần mười theo quy tắc làm tròn.

Làm tròn số 278,82 đến hàng phần mười ta được 278,8.

Vậy số quy tròn của $a$ là 278,8.

Đáp án đúng là: B

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được $\frac{{23}}{7} = 3,\left( {285714} \right)$.

Sai số tuyệt đối của số gần đúng 3,28 là ${\Delta _a} = \left| {3{,}28 - 3,\left( {285714} \right)} \right| = \frac{1}{{175}} = \frac{{0{,}04}}{7}$.

Đáp án đúng là: D

Phương sai, độ lệch chuẩn và khoảng tứ phân vị là các số đặc trưng đo độ phân tán của mẫu số liệu.

Số trung vị là số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

Đáp án đúng là: A

Từ bảng thống kê, ta thấy cỡ áo 39 là giá trị có tần số lớn nhất (25) trong mẫu số liệu.

Vậy mốt của mẫu số liệu đã cho là 39.

Đáp án đúng là: C

Điểm trung bình môn Toán cuối học kì 1 của cả nhóm là:

$\overline X = \frac{{5 + 6 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 9 + 7}}{9} = 7,\left( 2 \right)$.

Do đó, điểm trung bình của cả nhóm gần nhất với số 7,3.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 9.

Vì mẫu số liệu gồm 9 số liệu nên trung vị là số ở vị trí thứ 5 và là số 7.

Vậy trung vị của mẫu số liệu đã cho là 7.

Đáp án đúng là: D

Số trung bình, số trung vị, mốt dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

Phương sai dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu.

Đáp án đúng là: B

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu bằng căn bậc hai của phương sai mẫu số liệu.

Vậy độ lệch chuẩn cần tìm là $\sqrt 9 = 3$.

Đáp án đúng là: D

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 187, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 162.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 187-162 = 25.

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

162; 164; 165; 170; 175; 175; 176; 183; 187.

Mẫu số liệu gồm 9 số liệu nên trung vị là số ở vị trí thứ 5 và là số 175 hay ${Q_2} = 175$.

Nửa số liệu bên trái ${Q_2}$ là: 162; 164; 165; 170. Do đó, ${Q_1} = \frac{{164 + 165}}{2} = 164{,}5$.

Nửa số liệu bên phải ${Q_2}$là: 175; 176; 183; 187. Do đó, ${Q_3} = \frac{{183 + 176}}{2} = 179{,}5$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 179{,}5 - 164{,}5 = 15$.

Theo tính chất góc ngoài của tam giác $ABT$ tại đỉnh $B$ ta có: $\widehat {TBN} = \widehat {ATB} + \widehat {TAB}$.

Suy ra $\widehat {ATB} = \widehat {TBN} - \widehat {TAB} = 39{,}6^\circ - 27{,}4^\circ = 12{,}2^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $TAB$ ta có: $\frac{{TB}}{{\sin \widehat {TAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ATB}}} \Rightarrow TB = \frac{{AB \cdot \sin \widehat {TAB}}}{{\sin \widehat {ATB}}}$.

Xét tam giác vuông $TBN$ ta có:

$TN = TB \cdot \sin \widehat {TBN} = \frac{{AB \cdot \sin \widehat {TAB} \cdot \sin \widehat {TBN}}}{{\sin \widehat {ATB}}} = \frac{{1\,\,536 \cdot \sin 27{,}4^\circ \cdot \sin 39{,}6^\circ }}{{\sin 12{,}2^\circ }} \approx 2\,\,132{,}14$.

Vậy chiều cao của ngọn núi xấp xỉ 2 132,14 m.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {9;\, - 3} \right)$ nên $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1 \cdot 9 + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 0$.

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ vuông góc với nhau hay $AB \bot AC$.

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

b) Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( { - 1;\, - 3} \right),\,\overrightarrow {BC} = \left( {8;\, - 6} \right)$. Do đó, $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( { - 1} \right) \cdot 8 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 10$.

$BA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} ,\,BC = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 10$.

Mà $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {BC} } \right) = BA \cdot BC \cdot \cos B$.

Do đó, $\cos B = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{BA \cdot BC}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} \cdot 10}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}$.

Suy ra $\sin B = \sqrt {1 - {{\cos }^2}B} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt {10} }}} \right)}^2}} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$ (do $\widehat B$ nhọn).

Vì $\widehat B$ và $\widehat C$ là hai góc phụ nhau (do tam giác $ABC$ vuông tại $A$).

Do đó, $\cos C = \sin B = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

10 15 20 60 76 80 87 88 90 90

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là ${Q_2} = \frac{{76 + 80}}{2} = 78$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 10 15 20 60 76.

Do đó, ${Q_1} = 20$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 80 87 88 90 90.

Do đó, ${Q_3} = 88$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 88 - 20 = 68$.

Ta có: ${Q_1} - 1{,}5{\Delta _Q} = 20 - 1{,}5 \cdot 68 = - 82$; ${Q_3} + 1{,}5{\Delta _Q} = 88 + 1{,}5 \cdot 68 = 190$.

Trong mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào nhỏ hơn – 82 và lớn hơn 190.

Vậy mẫu số liệu đã cho không có giá trị bất thường.