Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 9

Đáp án đúng là: C

Phủ định của “$\exists$” là “$\forall$”, phủ định của “=” là “$\ne$”.

Vậy phủ định của mệnh đề “$\exists x \in \mathbb{N},{x^2} + x = 1$” là mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{N},{x^2} + x \ne 1$”.

Đáp án đúng là: D

Trong 4 tập hợp $M,\,N,\,P,\,Q$ chỉ có tập hợp $Q$ là tập con của tập $A$ do mọi phần tử của tập $Q$ đều là phần tử của tập $A$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $A\backslash B = \left[ { - 1;\,\,4} \right]\backslash \left[ {0;\,\,6} \right) = \left[ { - 1;\,\,0} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có 2 triệu đồng chính là 2 000 nghìn đồng.

Tổng số tiền bạn Hồng lấy ra để trao tặng là $50x + 100y$ (nghìn đồng)

Vậy một bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc đối với $x$ và $y$ là $50x + 100y \le 2\,\,000$ tương đương với $x + 2y \le 40$.

Đáp án đúng là: A

Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 5\\2x - 5y < 9\end{array} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: A

Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đi lên từ trái sang phải trên khoảng $\left( {0;\,\,1} \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới nên $a < 0$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = {x^2} + 2mx + 5$ có $a = 1 > 0$ nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{2m}}{{2.1}} = - m$.

Theo bài ra ta có: $y\left( { - m} \right) = 1 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} + 2m.\left( { - m} \right) + 5 = 1 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $f\left( x \right) = 3 - 4x - {x^2}$ là một tam thức bậc hai.

$f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + \frac{1}{x} + 6$ không là tam thức bậc hai vì chứa ẩn ở mẫu.

$f\left( x \right) = {\left( {{x^2}} \right)^2} - 2{x^2} + 2$ không là tam thức bậc hai vì có bậc là 4.

$f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 1$ không là tam thức bậc hai vì có bậc là 3.

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1$ có $\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 3.1 = - 2 < 0$ và $a = 3 > 0$.

Do đó $f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức $f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15$ có hai nghiệm là ${x_1} = \frac{{3 - \sqrt {129} }}{4}$, ${x_2} = \frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}$.

Mặt khác có hệ số $a = 2 > 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15 \le 0$$\Leftrightarrow x \in \left[ {\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4};\,\,\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}} \right]$.

Do đó, bất phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên là – 2; – 1; 0; 1; 2; 3.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {11{x^2} - 64x + 97} = 3x - 11$ ta được:

$11{x^2} - 64x + 97 = 9{x^2} - 66x + 121$.

Thu gọn phương trình trên ta được: ${x^2} + x - 12 = 0$. Từ đó suy ra $x = - 4$ hoặc $x = 3$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 12x - 14} = \sqrt {5{x^2} - 26x - 6}$ ta được:

$2{x^2} - 12x - 14 = 5{x^2} - 26x - 6$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $3{x^2} - 14x + 8 = 0$. Từ đó suy ra $x = \frac{2}{3}$ hoặc $x = 4$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC}} = \frac{{{5^2} + {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {5\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 5\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra $\widehat A = 135^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Nửa chu vi của tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{4 + 6 + 7}}{2} = 8{,}5$ (cm).

Áp dụng công thức Hê-rông tính diện tích ta có:

${S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}$

$= \sqrt {8{,}5 \cdot \left( {8{,}5 - 4} \right) \cdot \left( {8{,}5 - 6} \right) \cdot \left( {8{,}5 - 7} \right)} \approx 11{,}98\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Có các vectơ: $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {BA}$, $\overrightarrow {AC}$, $\overrightarrow {CA}$, $\overrightarrow {BC}$, $\overrightarrow {CB}$.

Vậy có 6 vectơ.

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án, ta có:

+) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc hình bình hành) , do đó đáp án A đúng, loại A.

+) $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA}$ (quy tắc hình bình hành) , do đó đáp án B đúng, loại B.

+) $\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$, do đó đáp án C đúng, loại C.

+) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA}$ (vô lí do $A,\,\,B,\,\,C$ phân biệt), do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $BI = CI$ và $\overrightarrow {BI}$ cùng hướng với $\overrightarrow {IC}$ do đó hai vectơ $\overrightarrow {BI}$và $\overrightarrow {IC}$ bằng nhau hay $\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC}$.

Đáp án đúng là: A

Cách 1: Ta có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$.

Cách 2: Ta có $MB = 2MC \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} = - 2\overrightarrow {MC}$ (vì $\overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {MC}$ ngược hướng)

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = - 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = 6 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 18$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} \cdot \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB}$

$= AC \cdot AD \cdot \cos \widehat {CAD} - AC \cdot AB \cdot \cos \widehat {BAC}$

$= AC \cdot AD \cdot \frac{{AD}}{{AC}} - AC \cdot AB \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = A{D^2} - A{B^2} = {1^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = - 1$.

Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3$.

Ta lại có: $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BD} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) \Leftrightarrow - 1 = \sqrt 3 \cdot \sqrt 3 \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right)$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) = - \frac{1}{3} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BD} } \right) \approx 109^\circ 28'$.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ trùng với trung điểm của $AB$, tia $AB$ là chiều dương của trục $Ox$, gọi các điểm như hình vẽ trên.

Gọi parabol của dạng cổng là $y = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Do đỉnh parabol nằm trên trục $Oy$ nên ta có: $\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0$ và đỉnh có tọa độ là: $\left( {0;c} \right)$.

Ta có: $OB = 150:2 = 75$ (m), $OH = 150:2 - 15 = 60$ (m).

Do đó, có các tọa độ $B\left( {75;0} \right)$, $I\left( { - 60;42} \right)$, parabol đi qua hai điểm đó nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{75^2} \cdot a + c = 0\\{\left( { - 60} \right)^2} \cdot a + c = 42\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{14}}{{675}}\\c = \frac{{350}}{3}\end{array} \right.$.

Như vậy chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng) là tung độ của đỉnh của parabol nên $h = c = \frac{{350}}{3}$.

Vậy cổng parabol cao $\frac{{350}}{3}$ m.

Ta xem vị trí ga $A$, ga $B$ và tháp $C$ như các điểm, nối với nhau tạo thành $\Delta ABC$.

Theo bài ra ta có $AB = 8$ km, $\widehat {CAB} = 60^\circ ,\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ$.

Ta có: $\widehat {ACB} + \widehat {CAB} + \widehat {ABC} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {60^\circ + 45^\circ } \right) = 75^\circ$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có: $\frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}}$.

Suy ra $AC = \frac{{AB\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{8 \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 5{,}86$ (km).

Vậy khoảng cách từ ga $A$ đến tháp $C$ xấp xỉ bằng 5,86 km.

Vì $E$ là một điểm thuộc cạnh $CD$ nên tồn tại $k \in \left( {0;\,\,1} \right)$ sao cho $k\overrightarrow {EC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0$.

Khi đó, $k\overrightarrow {BC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BE}$ và $k\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE}$.

Lại có $AD$ và $BC$ cùng vuông góc với $AB$ nên $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0$, $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$ và $AD\,{\rm{//}}\,BC$ nên $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = AD \cdot BC = ab$ (hai vectơ cùng hướng).

Từ đó, suy ra

$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AE}={k}^{2}\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AC}+k(1-k)\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}+k(1-k)\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}+{(1-k)}^{2}\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AD}$

$$= {k^2}\overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + k\left( {1 - k} \right)ab + k\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + {\left( {1 - k} \right)^2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\overrightarrow {AD}$$

$$= {k^2}{b^2} + k\left( {1 - k} \right)ab + k\left( {1 - k} \right)\left( { - {8^2} + ab} \right) + {\left( {1 - k} \right)^2}{a^2}$$

$$= {\left( {kb + \left( {1 - k} \right)a} \right)^2} - 64k\left( {1 - k} \right)$$

Do $\widehat {AEB} = 90^\circ$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {AE} = 0 \Leftrightarrow kb + \left( {1 - k} \right)a = 8\sqrt {k\left( {1 - k} \right)} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{k}{{1 - k}}b} + \sqrt {\frac{{1 - k}}{k}a} = 8$.

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có $8 = \sqrt {\frac{k}{{1 - k}}b} + \sqrt {\frac{{1 - k}}{k}a} \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow ab \le 16$.

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi $a = b = 4$ và $k = 0{,}5$.

Vậy $\max T = 16$.