Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu hình thang $ABCD$ có $AC = BD$ thì hình thang $ABCD$ cân” là mệnh đề “Nếu hình thang $ABCD$ cân thì hình thang $ABCD$ có $AC = BD$”.

Đáp án đúng là: B

Vì $n \in \mathbb{N}$ nên ta xét lần lượt các số tự nhiên $n$ như sau:

+ Với $n = 0$, ta có $x = 10 - {0^2} = 10$.

+ Với $n = 1$, ta có $x = 10 - {1^2} = 9$.

+ Với $n = 2$, ta có $x = 10 - {2^2} = 6$.

+ Với $n = 3$, ta có $x = 10 - {3^2} = 1$.

+ Với $n = 4$, ta có $x = 10 - {4^2} = - 6$.

Tiếp tục như trên, ta nhận được các giá trị của $x$ tiếp theo là số nguyên âm, mà$x \in \mathbb{N}$, do đó các giá trị $x$ thỏa mãn tập hợp $E$ là 10, 9, 6, 1.

Vậy tập hợp $E$ có 4 phần tử.

Đáp án đúng là: C

Ta có $A \cap B = \left[ { - 4;\,1} \right) \cap \left[ { - 2;\,\,3} \right] = \left[ { - 2;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Gọi đường thẳng $d$ có dạng: $y = ax + b$.

Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng $d$ đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {8;\,\,0} \right)$ và $\left( {0;\,4} \right)$.

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 = 8a + b\\4 = 0 \cdot a + b\end{array} \right.$. Giải hệ ta được $a = - \frac{1}{2},\,\,b = 4$.

Do đó, đường thẳng $d$: $y = - \frac{1}{2}x + 4$ hay $d:x + 2y = 8$.

Ta có điểm $O\left( {0;\,0} \right)$ thuộc nửa mặt phẳng không bị gạch và $0 + 2 \cdot 0 = 0 < 8$.

Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng $d$) ở hình trên là miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 8$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) = 8 > 2$ nên cặp số $\left( {1;\,\, - 2} \right)$ không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất trong hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y \le 2\\ - x + y \ge - 1\end{array} \right.$. Do đó, cặp số này không là nghiệm của hệ trên.

Đáp án đúng là: D

Các công thức ở các đáp án A, B, C, với mỗi giá trị của $x$, ta tìm được một giá trị của $y$ tương ứng. Do đó, các công thức này biểu diễn $y$ là hàm số của $x$.

Công thức ở đáp án D không biểu diễn $y$ là hàm số của $x$ vì nếu $x = 1$, suy ra ${y^2} = 9$ hay $y = 3$ hoặc $y = - 3$, vậy với mỗi giá trị của $x$, ta tìm được hai giá trị của $y$ tương ứng, không thỏa mãn định nghĩa hàm số.

Đáp án đúng là: C

Hàm số: $y = 3{x^2} - 2x + 1$ có: $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2.3}} = \frac{1}{3}$.

Vậy trục đối xứng của đồ thị hàm số là $x = \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $y = 2{x^2} + x - 3$ có hệ số $a = 2 > 0$, do đó đồ thị hàm số này có bề lõm hướng lên trên, điểm thấp nhất của đồ thị là đỉnh. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

Tung độ của đỉnh là $y = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{1^2} - 4.2.\left( { - 3} \right)}}{{4.2}} = - \frac{{25}}{8}$.

Vậy hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất là $\frac{{ - 25}}{8}$.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, $\left( {a \ne 0} \right)$, nếu $\Delta = {b^2} - 4ac < 0$ thì $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng xét dấu, ta có:

$f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( { - \infty \,;\,1} \right) \cup \,\,\left( {5\,;\, + \infty } \right)$;

$f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {1;\,\,5} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2$ có hai nghiệm là ${x_1} = - 2$, ${x_2} = \frac{1}{2}$.

Mặt khác có hệ số $a = - 2 < 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2 > 0$$\Leftrightarrow x \in \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {x - 1 + 2{x^2}} = 2x - 1$ ta được:

$x - 1 + 2{x^2} = 4{x^2} - 4x + 1$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $2{x^2} - 5x + 2 = 0$. Từ đó suy ra $x = 2$ hoặc $x = \frac{1}{2}$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{1}{2};\,2} \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 3x + 2} = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1}$ ta được:

$2{x^2} - 3x + 2 = 3{x^2} - 5x - 1$.

Thu gọn phương trình trên ta được: ${x^2} - 2x - 3 = 0$. Từ đó suy ra $x = - 1$ hoặc $x = 3$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong $\Delta ABC$ ta có:

$\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{9^2} + {4^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 9 \cdot 4}} = \frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Giả sử ta có $AB = AC = a$, do tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là $S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Lại có $S = pr$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Suy ra $r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}}} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}$. Vậy $\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}}} = 1 + \sqrt 2$.

Đáp án đúng là: B

Vectơ có điểm cuối là $M$, điểm đầu là $N$ được kí hiệu là $\overrightarrow {NM}$.

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta có:

+) $\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC}$ , do đó đáp án A sai.

+) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC}$ (với điểm $D$ thỏa mãn $ABDC$ là hình bình hành), do đó đáp án B sai.

+) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB}$, do đó đáp án C đúng.

+) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA}$ (vô lí do $A,\,\,B,\,\,C$ phân biệt), do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: C

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $GA = 2GI$, $IG = \frac{1}{3}IA$.

Mặt khác hai vectơ $\overrightarrow {GA}$ và $\overrightarrow {GI}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GI}$, do đó đáp án A sai.

Lại có hai vectơ $\overrightarrow {IG}$ và $\overrightarrow {IA}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IA}$, do đó đáp án B sai.

Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ nên $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$.

Ta có: $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IC} } \right) = 2\overrightarrow {GI} + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) = 2\overrightarrow {GI}$, do đó đáp án C đúng.

Ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA}$ (do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$), do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: B

Vì hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng nên $\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ$.

Do đó, $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 5 \cdot 3 \cdot \cos 0^\circ = 15$.

Đáp án đúng là: B

Dựng hình bình hành $AHMC$, suy ra $\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {CM}$, kết hợp với giả thiết ta suy ra $CM \bot BC$, khi đó $\widehat {HCM} = 90^\circ$.

Tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng 5 nên suy ra $AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}$ và $\widehat {ACB} = 60^\circ$.

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AH} ,\,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \left( {\overrightarrow {CM} ,\,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {MCA} = \widehat {MCH} + \widehat {ACB} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.

Khi đó, $\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {CA} = \left| {\overrightarrow {AH} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\,\overrightarrow {CA} } \right) = \frac{{5\sqrt 3 }}{2} \cdot 5 \cdot \cos 150^\circ = - \frac{{75}}{4}$.

Ta có $3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 = 0 \Leftrightarrow x = m + 2$ hoặc $x = \frac{{4 - m}}{3}$.

* Với $m+2>\frac{4-m}{3}\Leftrightarrow 3m+6>4-m\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}$ ta có

Bất phương trình (1)$\Leftrightarrow \frac{{4 - m}}{3} \le x \le m + 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $\left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right]$

Suy ra mọi $x \in \left[ { - 1;1} \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi $\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1 \ge \frac{{4 - m}}{3}}\\{1 \le m + 2}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m \ge 7}\\{m \ge - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 7$.

Kết hợp với điều kiện $m > - \frac{1}{2}$ ta có $m \ge 7$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với $m + 2 < \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}$ ta có

Bất phương trình (1)$\Leftrightarrow m + 2 \le x \le \frac{{4 - m}}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $\left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right]$

Suy ra mọi $x \in \left[ { - 1;1} \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi $\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1 \ge m + 2}\\{1 \le \frac{{4 - m}}{3}}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m \le - 3}\\{m \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le - 3$.

Kết hợp với điều kiện $m < - \frac{1}{2}$ ta có $m \le - 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với $m = - \frac{1}{2}$ ta có bất phương trình (1)$\Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$ nên $m = - \frac{1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $m \in ( - \infty ; - 3] \cup {\rm{[}}7; + \infty )$ là giá trị cần tìm.

Gọi $A,\,B,\,\,C$ lần lượt là vị trí trạm quan sát tại Hà Nội, tại Điện Biên và vị trí vệ tinh khi nằm giữa hai trạm trên. Khi đó ta có $\widehat A = 40^\circ ,\,\widehat B = 85^\circ ,\,AB = 487$ km.

Khoảng cách giữa vệ tinh và trạm quan sát Điện Biên lúc này chính là độ dài $BC$.

Tam giác $ABC$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$, suy ra $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {40^\circ + 85^\circ } \right) = 55^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{487 \cdot \sin 40^\circ }}{{\sin 55^\circ }} \approx 382{,}15$ (km).

Vậy vệ tinh cách trạm quan sát Điện Biên khoảng 382,15 km.

Theo giả thiết: $\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\frac{{BE}}{{EC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {BE} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}$.

Khi đó, $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 2 \right)$

Ta có: $\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{4}{1} \Rightarrow \overrightarrow {BF} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC}$

Khi đó, $\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \,\,\left( 3 \right)$

Mà $A,\,\,K,\,E$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {AK} = m\overrightarrow {AE} \,\,\left( 4 \right)$

$D,\,K,\,F$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{DK}=n\overrightarrow{DF}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AK}=n(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AF})$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = n\overrightarrow {AF} + \left( {1 - n} \right)\overrightarrow {AD} \,\,\,\left( 5 \right)$$

Từ $\left( 2 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra: $\overrightarrow {AK} = \frac{3}{4}m\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}m\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 6 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 3 \right)$ và $\left( 5 \right)$ suy ra: $\overrightarrow {AK} = n\left[ {\frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} } \right] + \left( {1 - n} \right)\frac{3}{5}\overrightarrow {AB}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {\frac{3}{5} - \frac{{2n}}{5}} \right)\overrightarrow {AB} + \frac{{4n}}{5}\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 7 \right)$$

Do hai vectơ $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương nên từ $\left( 6 \right)$,$\left( 7 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3m}}{4} = \frac{3}{5} - \frac{{2n}}{5}\\\frac{m}{4} = \frac{{4n}}{5}\end{array} \right.$

$$\Rightarrow \frac{1}{5} - \frac{{2n}}{{15}} = \frac{{4n}}{5} \Leftrightarrow n = \frac{3}{{14}}$$

Suy ra $\overrightarrow {DK} = \frac{3}{{14}}\overrightarrow {DF} \Rightarrow \frac{{DK}}{{DF}} = \frac{3}{{14}} \Rightarrow \frac{{KD}}{{KF}} = k = \frac{3}{{11}}$.

Vậy $k = \frac{3}{{11}}$.