Bài tập Xét tính tăng giảm của dãy số lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Dãy số (u$_{n}$) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u$_{n + 1}$ > u$_{n}$, ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

Đáp án đúng là: C

+) ${u_{n + 1}}--{\rm{ }}{u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{ - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}}$< 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹ Dãy số có tính giảm ⟹ C đúng, B sai.

+) u$_{1}$ = 1 ⟹ D sai.

+) u$_{7}$ = $\frac{1}{7}$⟹ A sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = (n + 1)! – n! = (n + 1 – 1). n! = n.n! > 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó dãy số có tính tăng.

⟹ D đúng, A sai.

u$_{2}$ = 2! ⟹ B sai.

u$_{10}$ = 10! > 20 ⟹ C sai.

Đáp án đúng là: D

Ta luôn có: u$_{n}$ > 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

• $u_n^2 = {\rm{ }}2n + 5$

• $u_{n + 1}^2 = 2\left( {n + 1} \right) + 5 = 2n + 7 = u_n^2 + 2$

Do đó $u_{n + 1}^2 > {\rm{ }}u_n^2$.

Ta luôn có: u$_{n}$ > 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

Nên u$_{n+1}$ > u$_{n}$ ⟹ Dãy có tính tăng ⟹ D đúng, C sai.

• ${u_3} = \sqrt {2\,.\,3 + 5} = \sqrt {11}$ ⟹ A sai.

• ${u_2} = \sqrt {2\,.\,2 + 5} = 3$ ⟹ B sai.

Đáp án đúng là: A.

• Xét dãy số: u$_{n}$ = 2n + 1

u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = 2(n + 1) + 1 – (2n + 1) = 2 > 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹ Dãy có tính tăng ⟹ A đúng.

• Xét dãy số: u$_{n}$ = 5 – 4n

u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = 5 – 4(n + 1) – (5 – 4n) = – 4 < 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹ Dãy có tính giảm ⟹ B sai.

• Xét dãy số: u$_{n}$ = n$^{2}$ – n

u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = – (n + 1)$^{2}$ + (n + 1) – (– n$^{2}$ + n) = – 2n < 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹ Dãy có tính giảm ⟹ C sai.

• Xét dãy số: u$_{n}$ = (–2)$^{n}$

Có: u$_{1}$ = –2; u$_{2}$ = 4; u$_{3}$ = –8; …

⟹ Dãy không có tính tăng ⟹ D sai.

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy $f\left( n \right) = \frac{1}{{2n + 3}}$ là hàm số nghịch biến trên ℕ$^{*}$.

Suy ra u$_{n+1}$ < u$_{n}$ ∀n ∈ ℕ$^{*}$ ⟹ Dãy số có tính giảm.

⟹ C đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = a(n + 1) + 1 – (an + 1) = a.

Để u$_{n}$ là dãy số giảm thì a < 0.

⟹ A đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{2\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{an + 4}}{{2n + 1}}$

$= \frac{{\left( {an + a + 4} \right)\left( {2n + 1} \right) - \left( {an + 4} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > 0$.

Do (2n + 3)(2n + 1) > 0 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹$(an + a + 4).(2n + 1) - (an + 4).(2n + 3)$ > 0

⟹ a.(2n + 1) – (an + 4).2 > 0

⟹ a – 8 > 0 $\Leftrightarrow$ a > 8.

Suy ra A đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có: u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = (a – 3)(n + 1) + 2 – [(a – 3)n + 2]

= (a – 3)(n + 1) + 2 – (a – 3)n – 2 = a – 3.

Để dãy số là dãy số giảm thì a – 3 < 0 hay a < 3.

Vậy có 2 giá trị thỏa mãn: a = 1 hoặc a = 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = (n + 1)$^{2}$ + 1 – n$^{2}$ – 1= 2n + 1 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

• v$_{n + 1}$ – v$_{n}$ = (n + 1)$^{3}$ – n$^{3}$ = 3n$^{2}$ + 3n + 1 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

• w$_{n + 1}$ – w$_{n}$ = 7(n + 1) – 8 – 7n + 8 = 7 ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

• ${a_{n + 1}}--{a_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}$

$= \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 3} \right) - \left( {n + 2} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$

$= \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}$ ∀n ∈ ℕ$^{*}$.

⟹ Cả 4 dãy số đều là các dãy số tăng.

Đáp án đúng là: C

Xét dãy số u$_{n}$ = 3n + 1.

Có u$_{n + 1}$– u$_{n}$ = 3(n + 1) + 1 – (3n + 1) = 3 > 0.

Do đó dãy u$_{n}$ = 3n + 1 là dãy tăng.

Đáp án đúng là: B

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Do đó (u$_{n}$) là dãy tăng.

Đáp án đúng là: B

Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 1}} \cdot \frac{n}{{{3^n}}} = \frac{{3n}}{{n + 1}}$.

Vì n ∈ ℕ$^{*}$ => n ≥ 1 => 2n ≥ n + 1 => 3n > n + 1 $\Rightarrow \frac{{3n}}{{n + 1}} > 1$.

Do đó (u$_{n}$) là dãy tăng.

Đáp án đúng là: D

Xét hiệu u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ = [(n + 1)$^{2}$ – 6(n +1) + 1] – (n$^{2}$ – 6n + 1) = 2n – 5.

Để dãy số tăng thì u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ > 0 2n – 5 > 0 n > 2,5.

Vì n ∈ ℕ$^{*}$ nên điều kiện này tương đương với n ≥ 3.

Do đó dãy số tăng kể từ số hạng thứ 3 trở đi.

Đáp án đúng là: A

Xét hiệu

${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - m}}{{n + 2}} - \frac{{2n - m}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 2 - m} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - m} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{m + 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

Để dãy là dãy tăng thì u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ > 0, ∀n ∈ ℕ$^{*}$ m + 2 > 0 m > −2.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Dãy số u$_{n}$ = cos(nπ) = (−1)$^{n}$ là dãy đan dấu gồm các số hạng −1; 1; −1; 1; … nên không dãy không tăng, không giảm.

b) Đúng. Có $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2 > 1$, dãy số (u$_{n}$) là dãy tăng.

c) Sai. Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = - \frac{1}{{n + 1}} - \left( { - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{{n(n + 1)}} > 0$nên (u$_{n}$) là dãy tăng.

d) Đúng. Dãy số (u$_{n}$) có tính chất u$_{n + 1}$ – u$_{n}$ > 0 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$ thì đó là dãy số tăng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. ${u_{n + 1}} = \sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} = \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1}$.

b) Đúng. Nhân lượng liên hợp:

$\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) \cdot \frac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$.

c) Sai. Khi $n$ tăng, cả $\sqrt {n + 1}$ và $\sqrt n$ đều tăng => mẫu số phải tăng dần chứ không phải giảm.

d) Đúng. Mẫu số dương và tăng dần thì phân số ${u_n}$ giảm dần. Do đó đây là dãy số giảm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có u$_{2}$ = u$_{1}$ + 31 – 1 = 2 + 3 – 1 = 4.

u$_{3}$ = u$_{2}$ + 32 – 1 = 4 + 6 – 1 = 9.

b) Đúng. Có u$_{n + 1}$– u$_{n}$ = u$_{n}$ + 3n – 1 – u$_{n}$ = 3n – 1.

c) Sai. Với n ∈ ℕ$^{*}$ => n ≥ 1 => 3n – 1 ≥ 2 > 0.

d) Đúng. Do u$_{n + 1}$– u$_{n}$ > 0 nên (u$_{n}$) là dãy số tăng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Lũy thừa số dương và giai thừa luôn dương nên u$_{n}$ > 0.

b) Đúng. $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot \frac{{n!}}{{{2^n}}} = \frac{{2 \cdot {2^n} \cdot n!}}{{\left( {n + 1} \right) \cdot n! \cdot {2^n}}} = \frac{2}{{n + 1}}$.

c) Sai. Hệ thức $\frac{2}{{n + 1}} < 1 \Leftrightarrow n + 1 > 2 \Leftrightarrow n > 1$.

Với n = 1 thì thương bằng 1, nên không đúng với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

d) Đúng. Với mọi $n \ge 2 \Rightarrow n + 1 \ge 3 \Rightarrow \frac{2}{{n + 1}} \le \frac{2}{3} < 1$, do đó dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai trở đi.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. ${u_n} = \frac{{{n^2}}}{n} + \frac{{an}}{n} + \frac{1}{n} = n + a + \frac{1}{n}$.

b) Đúng. Xét hiệu:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1 + a + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + a + \frac{1}{n}} \right) = 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{n(n + 1)}}$.

c) Đúng. Với mọi $n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n\left( {n + 1} \right) \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{n(n + 1)}} \ge \frac{1}{2} > 0$.

Hiệu luôn dương và không phụ thuộc vào tham số a (do a bị triệt tiêu).

d) Sai. Theo ý c, hiệu luôn lớn hơn 0 với mọi n nên dãy số luôn luôn là dãy tăng với mọi giá trị của a.

Đáp án: −1

Có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 2}}{{n + 2}} - \frac{{an + 2}}{{n + 1}}$

$= \frac{{\left( {an + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {an + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$.

Theo giả thiết đề bài, tử số của hiệu bằng −3 nên a – 2 = −3 a = −1.

Đáp án: 3

${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 11\left( {n + 1} \right) + 1}}{2} - \frac{{2{n^2} - 11n + 1}}{2} = \frac{{4n - 9}}{2}$

Dãy số giảm khi ${u_{n + 1}} - {u_n} < 0 \Leftrightarrow \frac{{4n - 9}}{2} < 0 \Leftrightarrow n < 2{,}25 \Rightarrow n \in \left\{ {1;2} \right\}$.

Nghĩa là u$_{1}$ > u$_{2}$ > u$_{3}$.

Dãy số bắt đầu tăng khi ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow n > 2{,}25 \Rightarrow n \ge 3$.

Nghĩa là u$_{3}$ < u$_{4}$ < u$_{5}$ <…

Do đó, dãy số giảm từ u$_{1}$ đến u$_{3}$ và tăng từ u$_{3}$ trở đi. Chỉ số m cần tìm là 3.

Đáp án: 4

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - {m^2} + 5m}}{{n + 3}} - \frac{{n - {m^2} + 5m}}{{n + 2}} = \frac{{2 - \left( { - {m^2} + 5m} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{{{m^2} - 5m + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}$

Để dãy số đã cho là dãy giảm thì ${m^2} - 5m + 2 < 0 \Leftrightarrow \frac{{5 - \sqrt {17} }}{2} < m < \frac{{5 + \sqrt {17} }}{2}$.

Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {1; 2; 3; 4}.

Vậy có 4 giá trị của m.

Đáp án: 3

Xét$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{100 \cdot \left( {n + 1} \right)!}}{{{3^{n + 1}}}} \cdot \frac{{{3^n}}}{{100 \cdot n!}} = \frac{{n + 1}}{3}$.

Để số lượng vi khuẩn tăng liên tục thì $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{3} > 1 \Leftrightarrow n + 1 > 3 \Leftrightarrow n > 2$

Vì n ∈ ℕ$^{*}$ nên n ≥ 3. Nghĩa là từ n = 3 trở đi, thương $\frac{{{u_4}}}{{{u_3}}} > 1 \Rightarrow {u_4} > {u_3}$.

Do đó, kể từ ngày thứ 3 trở đi thì số lượng vi khuẩn bắt đầu tăng liên tục.

Đáp án: 3

${u_{n + 1}} = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \ldots + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

Thực hiện xét hiệu hai số hạng liên tiếp:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ { \ldots + \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}} \right] - \left[ { \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right]$$= \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{{{n^2} + 3n + 2}}$

Suy ra a = 3 và b = 2. Vậy P = 5.