Bài tập Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) với đồ thị hàm số bậc nhất y = bx + c lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) thì phương trình ax$^{2}$ = bx + c hay ax$^{2}$ – bx – c = 0 có nghiệm kép.

Đáp án đúng là: C

Nếu phương trình ax$^{2}$ – bx – c = 0 có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P).

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = x + 3 và parabol (P): y = 3x$^{2}$, khi đó ta có:

y = 3x$^{2}$ và y = x + 3.

Suy ra 3x$^{2}$ = x + 3 hay 3x$^{2}$ – x – 3 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = (–1)$^{2}$ – 4.3.(–3) = 37 > 0.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy, đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, tức hai đồ thị hàm số này có hai điểm chung.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = x – 2 và parabol (P): y = –x$^{2}$, khi đó ta có:

y = –x$^{2}$ (1) và y = x – 2.

Suy ra –x$^{2}$ = x – 2 hay x$^{2}$ + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1$^{2}$ – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.$

Với x$_{1}$ = –2, thay vào (1), ta được: y = –(–2)$^{2}$ = –4.

Với x$_{2}$ = 1, thay vào (2), ta được: y = –1$^{2}$ = –1.

Như vậy, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (–2; –4) và (1; –1).

Ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = 2x + 1 và parabol (P): y = x$^{2}$, khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = 2x + 1.

Suy ra x$^{2}$ = 2x + 1 hay x$^{2}$ – 2x – 1 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = (–1)$^{2}$ – 1.(–1) = 2 > 0.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Do đó phương án A không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Tương tự như trên, ta có các đường thẳng y = 2x và y = 2x + 3 cũng cắt parabol (P): y = x$^{2}$ tại hai điểm phân biệt.

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = 2x – 3 và parabol (P): y = x$^{2}$, khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = 2x – 3.

Suy ra x$^{2}$ = 2x – 3 hay x$^{2}$ – 2x + 3 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = (–1)$^{2}$ – 1.3 = –2 < 0.

Do đó phương trình (*) vô nghiệm nên đường thẳng (d) không cắt parabol (P): y = x$^{2}$, tức là hai đồ thị hàm số này không có điểm chung.

Vậy ta chọn phương án C.

>

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = k và parabol (P): $y = - \frac{1}{4}{x^2},$ khi đó ta có:

$y = - \frac{1}{4}{x^2}$ và y = k.

Suy ra $- \frac{1}{4}{x^2} = k$ hay x$^{2}$ = –4k (*).

Với k < 0 ta có –4k > 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.</>

Như vậy, đường thẳng (d): y = k cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

Ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

***Cách 1. ⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = –x + 2 và parabol (P): y = x$^{2}$, khi đó ta có:* **

y = x$^{2}$ và y = –x + 2.

Suy ra x$^{2}$ = –x + 2 hay x$^{2}$ + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1$^{2}$ – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.$

Như vậy, đường thẳng y = –x + 2 cắt parabol (P): y = x$^{2}$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –2 và 1. Do đó phương án A không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Giải tương tự, ta có hai đường thẳng y = –x – 2 và y = x – 2 đều không cắt parabol (P): y = x$^{2}$ nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = x + 2 và parabol (P): y = x$^{2}$, khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = x + 2.

Suy ra x$^{2}$ = x + 2 hay x$^{2}$ – x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = (–1)$^{2}$ – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + 3}}{{2 \cdot 1}} = 2.$

Như vậy, đường thẳng y = x + 2 cắt parabol (P): y = x$^{2}$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –1 và 2. Do đó phương án B thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy ta chọn phương án B.

Cách 2. Thay x = –1 vào hàm số y = x$^{2}$, ta được: y = (–1)$^{2}$ = 1.

Thay x = 2 vào hàm số y = x$^{2}$, ta được: y = 2$^{2}$ = 4.

Do đó, đường thẳng (d) cần tìm cắt parabol (P): y = x$^{2}$ tại hai điểm phân biệt (–1; 1) và (2; 4).

Giả sử đường thẳng (d) cần tìm là đồ thị của hàm số y = ax + b.

Thay x = –1 và y = 1 vào hàm số trên, ta được: 1 = a.(–1) + b hay –a + b = 1.

Thay x = 2 và y = 4 vào hàm số trên, ta được: 4 = a.2 + b hay 2a + b = 4.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 1\\2a + b = 4\end{array} \right..$

Giải hệ phương trình trên bằng máy tính cầm tay ta được nghiệm là (a; b) = (1; 2).

Vậy đường thẳng (d) cần tìm có hàm số là: y = x + 2. Ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x$_{A}$; y$_{A}$) và B(x$_{B}$; y$_{B}$). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x$_{A}$ – x$_{H}$| = |x$_{A}$ – x$_{B}$|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y$_{A}$ – y$_{H}$| = |y$_{A}$ – y$_{B}$|.

⦁ $AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}}$ (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng y = 6x + 9 và parabol (P): y = –x$^{2}$, khi đó ta có:

y = –x$^{2}$ (1) và y = 6x + 9.

Suy ra –x$^{2}$ = 6x + 9 hay x$^{2}$ + 6x + 9 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = 3$^{2}$ – 1.9 = 0.

Do đó phương trình (*) có nghiệm kép là: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3.$

Thay x = –3 vào hàm số y = –x$^{2}$, ta được: y = –(–3)$^{2}$ = –9.

Như vậy, đường thẳng y = 6x + 9 tiếp xúc với (P): y = –x$^{2}$ tại điểm M(–3; –9).

Vậy độ dài đoạn thẳng OM là:

$OM = \sqrt {{{\left( { - 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 9 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {90} = 3\sqrt {10} .$

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x$_{A}$; y$_{A}$) và B(x$_{B}$; y$_{B}$). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x$_{A}$ – x$_{H}$| = |x$_{A}$ – x$_{B}$|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y$_{A}$ – y$_{H}$| = |y$_{A}$ – y$_{B}$|.

⦁ $AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}}$ (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = x – 2 và parabol (P): y = –x$^{2}$, khi đó ta có:

y = –x$^{2}$ (1) và y = x – 2.

Suy ra –x$^{2}$ = x – 2 hay x$^{2}$ + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1$^{2}$ – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.$

Với x$_{1}$ = –2, thay vào (1), ta được: y = –(–2)$^{2}$ = –4.

Với x$_{2}$ = 1, thay vào (2), ta được: y = –1$^{2}$ = –1.

Như vậy, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (–2; –4) và (1; –1).

Vậy độ dài đoạn thẳng AB là:

$$AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left[ { - 4 - \left( { - 1} \right)} \right]}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 .$$

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x$_{A}$; y$_{A}$) và B(x$_{B}$; y$_{B}$). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x$_{A}$ – x$_{H}$| = |x$_{A}$ – x$_{B}$|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y$_{A}$ – y$_{H}$| = |y$_{A}$ – y$_{B}$|.

⦁ $AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}}$ (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm 4 là đồ thị của hàm số y = 4.

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = 4 và parabol (P): y = 2x$^{2}$, khi đó ta có:

y = 2x$^{2}$ (1) và y = 4.

Suy ra 2x$^{2}$ = 4 hay x$^{2}$ = 2, do đó $x = \sqrt 2$ hoặc $x = - \sqrt 2 .$

Như vậy, đường thẳng (d): y = 4 cắt parabol (P): y = 2x$^{2}$ tại hai điểm phân biệt có tọa độ là $\left( {\sqrt 2 ;\,\,4} \right);\,\,\left( { - \sqrt 2 ;\,\,4} \right).$

Độ dài đoạn thẳng AB là: $AB = \sqrt {{{\left( { - \sqrt 2 - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 .$

Gọi H là giao điểm của đường thẳng (d): y = 4 với trục Oy tại điểm 4, khi đó H(0; 4).

Suy ra OH = |4| = 4.

Vậy diện tích tam giác OAB là:

${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt 2 = 4\sqrt 2$ (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).

Vì $\Delta$ = 5 > 0 nên phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có 2 điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).

Vì đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung nên phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) không có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).

Phương trình (1) có $\Delta$’ = (–2)$^{2}$ – 1.4 = 0 nên phương trình (1) có một nghiệm kép.

Vậy số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x$^{2}$ = 3, suy ra x$^{2}$ – 3 = 0 (1).

Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).

Phương trình (1) có $\Delta$’ = 0$^{2}$ – 1.(–3) = 3 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x$^{2}$ = 2x – 1, suy ra x$^{2}$ – 2x + 1 = 0 (1).

Số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).

Vì $\Delta$’ = (–1)$^{2}$ – 1.1 = 0 nên phương trình (1) có nghiệm kép là${\rm{x}} = \frac{{ - \left( { - 1} \right)}}{1} = 1.$

Vậy giao điểm của thẳng (d): y = 2x – 1 và parabol (P): y = x$^{2}$ có hoành độ bằng 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x$^{2}$ = 6x – 9, suy ra x$^{2}$ – 6x + 9 = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x$^{2}$ – 6x + 9 = 0.

b) Đúng.

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P).

Phương trình (1) có: $\Delta$’ = (–3)$^{2}$ – 1.9 = 0 nên phương trình (1) có một nghiệm kép.

Vậy đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P).

c) Đúng.

Phương trình (1) có nghiệm là ${\rm{x}} = \frac{{ - \left( { - 3} \right)}}{1} = 3.$

Vậy hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) bằng 3.

d) Sai.

Thay x = 3 vào y = x$^{2}$ ta có: y = 3$^{2}$ = 9.

Vậy tổng tung độ và hoành độ của giao điểm giữa (d) và (P) bằng 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x$^{2}$ = –x + 1, suy ra 2x$^{2}$ + x – 1 = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là 2x$^{2}$ + x – 1 = 0.

b) Sai.

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).

Phương trình (1) có $\Delta$ = 1$^{2}$ – 4.2.(–1) = 9 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

c) Sai.

Phương trình (1) có hai nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{1}{2};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = - 1.$

Vậy giao điểm của (d) và (P) có hoành độ không là số nguyên dương.

d) Sai.

Thay x = –1 vào y = 2x$^{2}$ ta có: y = 2(–1)$^{2}$ = 2 < 5.

Thay ${\rm{x}} = \frac{1}{2}$ vào y = 2x$^{2}$ ta có: ${\rm{y}} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} < 5.$

Vậy giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) có tung độ nhỏ hơn 5

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x$^{2}$ = –3x – 2 nên x$^{2}$ + 3x + 2 = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x$^{2}$ + 3x + 2 = 0.

b) Đúng.

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Phương trình (1) có: $\Delta$ = 3$^{2}$ – 2.1.4 = 1 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

c) Sai.

Phương trình (1) có hai nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 1}} = - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 3 - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 2}} = - 2.$

Vậy hoành độ giao điểm của hai đường thẳng (d) và parabol (P) đều nhỏ hơn 1.

d) Đúng.

Thay x = –1 vào y = x$^{2}$ ta có y = (–1)$^{2}$ = 1 nên điểm A(–1; 1).

Thay x = –2 vào y = x$^{2}$ ta có y = (–2)$^{2}$ = 4 nên điểm B(–2; 4).

Vậy A(–1; 1) và điểm B(–2; 4) là các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b.

Vì đường thẳng (d) đi qua A(0; 3) nên 3 = 0.a + b, suy ra b = 3. Do đó, (d): y = ax + 3.

Vì (d): y = ax + 3 đi qua điểm B(1; 2) nên 2 = a.1 + 3, suy ra a = –1.

Vậy (d): y = –x + 3.

b) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x$^{2}$ = –x + 3, suy ra 2x$^{2}$ + x – 3 = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 2x$^{2}$ + x – 3 = 0.

c) Đúng.

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Vì $\Delta$ = 1$^{2}$ – 4.2.(–3) = 25 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

d) Sai.

Phương trình (1) có hai nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 2}} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {25} }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{ - 3}}{2}.$

Thay x = 1 vào y = 2x$^{2}$ ta có y = 2.1$^{2}$ = 2 < 5.

Thay ${\rm{x}} = \frac{{ - 3}}{2}$ vào y = x$^{2}$ ta có ${\rm{y}} = 2 \cdot {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2} = \frac{9}{2} < 5.$

Vậy tung độ giao điểm của (d) và (P) là số nhỏ hơn 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì parabol (P) đi qua điểm A(1; 1) nên 1 = a.1$^{2}$ nên a = 1. Vậy (P): y = x$^{2}$.

b) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x$^{2}$ = 2x hay x$^{2}$ – 2x = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Ta có: $\Delta$’ = (–1)$^{2}$ – 1.0 = 1 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.

c) Sai.

Phương trình (1) có hai nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt 1 }}{1} = 2;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt 1 }}{1} = 0.$

Vậy hoành độ các giao điểm của (P) và (d) là 0 và 2.

d) Đúng.

Thay x = 0 vào y = x$^{2}$ ta có y = 0$^{2}$ = 0.

Thay x = 2 vào y = x$^{2}$ ta có y = 2$^{2}$ = 4.

Vậy tổng các tung độ giao điểm của (d) và (P) bằng 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = x – 5 ta có:

x$^{2}$ = x – 5 hay x$^{2}$ – x + 5 = 0 (1).

Phương trình (1) có $\Delta$ = (–1)$^{2}$ – 4.1.5 = –19 < 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.

Suy ra, đường thẳng y = x – 5 không cắt parabol (P).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = 2x – 1 ta có:

x$^{2}$ = 2x – 1 hay x$^{2}$ – 2x + 1 = 0 (2).

Phương trình (2) có $\Delta$’ = (–1)$^{2}$ – 1.1 = 0 nên phương trình (2) có nghiệm kép.

Suy ra, đường thẳng y = 2x + 1 tiếp xúc parabol (P).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = x – 1 ta có:

x$^{2}$ = x – 1 hay x$^{2}$ – x + 1 = 0 (3).

Phương trình (3) có $\Delta$ = (–1)$^{2}$ – 4.1.1 = –3 < 0 nên phương trình (3) vô nghiệm.

Suy ra, đường thẳng y = x – 1 không cắt parabol (P).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = 18x – 64 ta có:

x$^{2}$ = 18x – 64 hay x$^{2}$ – 18x + 64 = 0 (4).

Phương trình (4) có $\Delta$’ = (–9)$^{2}$ – 1.64 = 17 > 0 nên phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra, đường thẳng y = 18x – 64 cắt parabol (P).

Vậy trong các đường thẳng trên, có 1 đường thẳng tiếp xúc (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 3x$^{2}$ = x + 4 hay 3x$^{2}$ – x – 4 = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Ta có: $\Delta$ = (–1)$^{2}$ – 4.3.(–4) = 49 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là

${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {49} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{4}{3};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {49} }}{{2 \cdot 3}} = - 1$ (do x$_{1}$ > x$_{2}$).

Thay ${\rm{x}} = \frac{4}{3}$ vào y = 3x$^{2}$ ta có ${\rm{y}} = 3 \cdot {\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{3}$ nên ${\rm{A}}\left( {\frac{4}{3};\;\,\frac{{16}}{3}} \right).$

Thay x = –1 vào y = 3x$^{2}$ ta có y = 3(–1)$^{2}$ = 3 nên B(–1; 3)

Do đó, $3{{\rm{y}}_1} - 2{{\rm{y}}_2} = 3 \cdot \frac{{16}}{3} - 2 \cdot 3 = 10.$

Vậy 3y$_{1}$ – 2y$_{2}$ = 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x$^{2}$ = 4x + 5 hay x$^{2}$ – 4x – 5 = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Ta có: $\Delta$’ = (–2)$^{2}$ – 1.(–5) = 9 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là

${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 2} \right) + \sqrt 9 }}{1} = 5;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 2} \right) - \sqrt 9 }}{1} = - 1$ (do x$_{1}$ > 0).

Thay x = –1 vào y = x$^{2}$ ta có y = (–1)$^{2}$ = 1 nên B(–1; 1).

Do đó, 2x$_{1}$ + 3y$_{2}$ = 2.5 + 3.1 = 13.

Vậy 2x$_{1}$ + 3y$_{2}$= 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b.

Vì đường thẳng (d) đi qua A(0; –16) nên –16 = 0.a + b, suy ra b = –16.

Do đó, (d): y = ax – 16.

Vì (d): y = ax – 16 đi qua điểm B(2; 0) nên 0 = a.2 – 16, suy ra a = 8.

Suy ra (d): y = 8x – 16.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x$^{2}$ = 8x – 16, suy ra x$^{2}$ – 8x + 16 = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).

Vì $\Delta$ = (–8)$^{2}$ – 4.1.16 = 0 nên phương trình (1) có 1 nghiệm kép.

Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có một điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Vì parabol (P) đi qua điểm A(2; 4) nên 4 = a.2$^{2}$ nên a = 1 (thỏa mãn). Suy ra (P): y = x$^{2}$.

Vì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên 3 = 0.a + b, suy ra b = 3. Do đó, (d): y = ax + 3.

Vì (d): y = ax + 3 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 6 nên 0 = a.6 + 3, suy ra ${\rm{a}} = \frac{{ - 1}}{2}.$ Suy ra (d): ${\rm{y}} = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{x}} + 3.$

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): ${{\rm{x}}^2} = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{x}} + 3$, suy ra 2x$^{2}$ + x – 6 = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).

Vì $\Delta$ = 1$^{2}$ – 4.2.(–6) = 49 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung.