Bài tập Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ khi Δ < 0.

Đáp án đúng là: C

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai.

– Phương án A sai. Vì nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ và x$_{2}$ (x$_{1}$ < x$_{2}$). Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (–∞; x$_{1}$) ∪ (x$_{2}$; +∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ (x$_{1}$; x$_{2}$).

– Phương án B sai. Vì nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ .

– Phương án C đúng.

– Phương án D sai. Vì nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ .

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..$

Đáp án đúng là: C

Ta có f(x) có Δ’ = (–4)$^{2}$ – 1.16 = 0.

Mà a = 1 > 0 và f(x) = 0 ⇔ x = 4

Suy ra f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ\{4}

Do đó f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Đáp án đúng là: A

Xét f(x) = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0):

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (0; 1) nên f(0) = 1.

Khi đó a.0$^{2}$ + b.0 + c = 1, suy ra c = 1.

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (1; –2) nên f(1) = –2.

Khi đó a.1$^{2}$ + b.1 + c = –2, suy ra a + b + c = –2 (1)

Thế c = 1 vào (1) ta được a + b + 1 = –2. Do đó a + b = –3 (2)

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (3; 0) nên f(3) = 0.

Khi đó a.3$^{2}$ + b.3 + c = 0, suy ra 9a + 3b + c = 0 (3)

Thế c = 1 vào (3) ta được 9a + 3b = –1 (4)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình

$$\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 3\\9a + 3b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + 3b = - 9\\9a + 3b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = - 3\\6a = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3 - a\\a = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - \frac{{13}}{3}\\a = \frac{4}{3}\end{array} \right.$$

Vậy ta có tam thức bậc hai $f\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^2} - \frac{{13}}{3}x + 1.$

Ta có $\Delta = {\left( { - \frac{{13}}{3}} \right)^2} - 4.\frac{4}{3}.1 = \frac{{121}}{9} > 0$ và $a = \frac{4}{3} > 0$

Suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{\frac{{13}}{3} + \sqrt {\frac{{121}}{9}} }}{{2.\frac{4}{3}}} = 3;\,\,{x_2} = \frac{{\frac{{13}}{3} - \sqrt {\frac{{121}}{9}} }}{{2.\frac{4}{3}}} = \frac{1}{4}$$

Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:

Vậy f(x) âm trong khoảng $\left( {\frac{1}{4};3} \right)$ và f(x) dương trong hai khoảng $\left( { - \infty ;\frac{1}{4}} \right)$ và (3; +∞).

Ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có f(x) = –2(x$^{2}$ – 4x + 4) = –2(x – 2)$^{2}$ ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy: f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Đáp án đúng là: C

Để f(x) không dương thì x$^{2}$ – 6x + 8 ≤ 0

Xét f(x) = x$^{2}$ – 6x + 8 có ∆ = 4 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt là x = 2; x = 4.

Hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu f(x) ta thấy để f(x) ≤ 0 thì x ∈ [2; 4].

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị, ta thấy:

⦁ Đồ thị y = f(x) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x$_{1}$ = 1; x$_{2}$ = 4.

Suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 1; x$_{2}$ = 4. Do đó ∆ > 0.

⦁ Trên khoảng (–∞; 1) và (4; +∞), ta có f(x) > 0. Suy ra a > 0.

Vậy ta có a > 0, ∆ > 0.

Ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Tam thức f(x) luôn dương với mọi giá trị của x khi và chỉ khi a > 0 và ∆ < 0.

⦁ f(x) = x$^{2}$ – 10x + 2 có a = 1 > 0 và ∆ = (–10)$^{2}$ – 4.1.2 = 92 > 0 (loại).

⦁ f(x) = x$^{2}$ – 2x + 1 có a = 1 > 0 và ∆ = (–2)$^{2}$ – 4.1.1 = 0 (loại).

⦁ f(x) = x$^{2}$ – 2x + 10 có a = 1 > 0 và ∆ = (–2)$^{2}$ – 4.1.10 = –36 < 0 (thỏa mãn).

⦁ f(x) = –x$^{2}$ + 2x + 10 có a = –1 < 0 (loại).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Ta có f(x) = 0 ⇔ x = –1 hoặc $x = \frac{9}{2}.$

Hệ số a = 2 > 0.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu f(x) < 0 ⇔$- 1 < x < \frac{9}{2}.$

Mà x nguyên nên x ∈ {0; 1; 2; 3; 4}.

Vậy có 5 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.