Bài tập Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì có 1 điểm chung duy nhất.

Đáp án đúng là: D

Hai đường tròn không cắt nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là 0.

Đáp án đúng là: C

Hai đường tròn (O; R) và (O*'*; r) có (R > r) cắt nhau.

Khi đó (O) và (O*'*) có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn AB.

Hệ thức liên hệ R – r < d < R + r.

>

Đáp án đúng là: D

Vì OA là tiếp tuyến của (O*') nên ∆OAO'* vuông tại A.

Vì (O) và (O*') cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO'* là đường trung trực của đoạn AB.

Gọi giao điểm của AB và OO*'* là I thì AB ⊥ OO*'* tại I là trung điểm của AB.

Xét ∆IAO và ∆AO*'*O có: $\widehat {OIA} = \widehat {OAO'} = 90^\circ$, $\widehat {AOI} = \widehat {O'OA}$

Suy ra ∆IAO ∽ ∆AO*'*O (g.g) suy ra $\frac{{IA}}{{AO'}} = \frac{{AO}}{{OO'}}$

hay IA = $\frac{{AO'.AO}}{{OO'}} = \frac{{8.6}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{48}}{{10}}$ = 4,8 cm.

Do đó, AB = 2AI = 9,6 cm.

Đáp án đúng là: B

Vì OA là tiếp tuyến của (O*') nên ∆OAO'* vuông tại A.

Vì (O) và (O*') cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO'* là đường trung trực của đoạn AB.

Gọi giao điểm của AB và OO*'* là I thì AB ⊥ OO*'* tại I là trung điểm của AB.

Xét ∆IAO và ∆AO*'*O có: $\widehat {OIA} = \widehat {OAO'} = 90^\circ$, $\widehat {AOI} = \widehat {O'OA}$

Suy ra ∆IAO ∽ ∆AO*'*O (g.g) suy ra $\frac{{IA}}{{AO'}} = \frac{{AO}}{{OO'}}$

hay IA = $\frac{{AO'.AO}}{{OO'}} = \frac{{2.6}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2}} }} = \frac{{12}}{{2\sqrt {10} }} = \frac{{6\sqrt {10} }}{{10}}$ cm.

Do đó, AB = 2AI = $\frac{{6\sqrt {10} }}{5}$ cm.

Đáp án đúng là: D

Vì hai đường tròn có một điểm chung là A và OO*'* = AO – $\frac{{AO}}{2}$ = R – r nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

Đáp án đúng là: B

Xét đường tròn (O*') có OA là đường kính và C ∈ (O'*) nên ∆ACo vuông tại C suy ra OC vuông góc với AD.

Xét đường tròn (O) có OA = OD suy ra ∆OAD cân tại O có OC là đường cao cùng là đường trung tuyến nên CD = AC.

Do đó chọn B.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9

Cho (O$_{1}$; 3 cm) tiếp xúc với (O$_{2}$; 1 cm) tại A. Vẽ bán kính O$_{1}$B và O$_{2}$C song song với nhau cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ O$_{1}$O$_{2}$. Gọi D là giao điểm của BC và O$_{1}$O$_{2}$.

Đáp án đúng là: A

Xét (O$_{1}$) có O$_{1}$B = O$_{1}$A nên ∆O$_{1}$AB cân tại O$_{1}$, suy ra $\widehat {{O_1}BA} = \widehat {{O_1}AB}$.

Xét (O$_{2}$) có O$_{2}$C = O$_{2}$A nên ∆O$_{2}$AC cân tại O$_{1}$, suy ra $\widehat {{O_2}CA} = \widehat {{O_2}AC}$.

Lại có O$_{1}$B ∕∕ O$_{2}$C nên $\widehat {{O_1}BC} + \widehat {{O_2}CB}$ = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra $\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 360^\circ - \widehat {{O_2}CB} - \widehat {{O_1}BC} = 180^\circ$.

2($\widehat {{O_2}AC} + \widehat {{O_1}AB}$) = 180°.

Suy ra $\widehat {{O_2}AC} + \widehat {{O_1}AB}$ = 90° suy ra $\widehat {CAB} = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Vì ∆O$_{1}$BD có O$_{1}$B ∕∕ O$_{2}$C nên theo hệ quả định lí Thelès ta có:

$\frac{{{O_2}D}}{{{O_1}D}} = \frac{{{O_2}C}}{{{O_1}B}} = \frac{1}{3}$ suy ra $\frac{{{O_2}{O_1}}}{{{O_1}D}} = \frac{2}{3}$.

Mà O$_{1}$O$_{2}$ = O$_{1}$A + O$_{2}$A = 3 + 1 = 4 suy ra O$_{1}$D = $\frac{3}{2}{O_2}{O_1}$ = 6 cm.

Đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Ta có: AO = $\frac{{AB}}{2}$ = 12 cm.

Theo định lí Pythagore, ta có: OI$^{2}$ = OA$^{2}$ – AI$^{2}$ = 256 suy ra IO = 16 cm.

$O'I = \sqrt {O'{A^2} - I{A^2}} = 9$ cm.

Do đó, OO*'* = OI – O*'*I = 16 – 9 = 7 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau thì có 2 điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (O; R$_{2}$) đựng đường tròn (O; R$_{1}$) khi R$_{1}$ < R$_{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Để hai đường tròn (O; 2 cm) và (O$_{1}$; 1 cm) tiếp xúc ngoài nhau thì OO$_{1}$ = 2 + 1 = 3 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Để hai đường tròn (O; 4 cm) và (O$_{1}$; 2 cm) cắt nhau thì 4 – 2 < OO$_{1}$ < 4 + 2, suy ra 2 < OO$_{1}$ < 6. Do đó, độ dài đoạn thẳng OO$_{1}$ không thể bằng 6 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Để hai đường tròn (O; 5 cm) và (I; x cm) tiếp xúc trong thì nên |5 – x| = 2, suy ra 5 – x = 2 hoặc 5 – x = –2. Vậy chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Vì 5 – 3 = 2 nên với x = 2 thì hai đường tròn (O; 5 cm) và (I; 3 cm) tiếp xúc trong.

b) Đúng.

Để hai đường tròn (O; 5 cm) và (I; 3 cm) cắt nhau thì 5 – 3 < OI < 5 + 3;

suy ra 2 < x < 8.

Vậy để hai đường tròn (O; 5 cm) và (I; 3 cm) cắt nhau thì 2 < x < 8.

c) Đúng.

Vì 1 < 5 – 3.

Vậy với x = 1 cm thì đường tròn (O; 5 cm) đựng đường tròn (I; 3 cm).

d) Đúng.

Vì 3 cm < 5 cm nên không có giá trị nào của x để đường tròn (I; 3 cm) đựng đường tròn (O; 5 cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = 25 (Định lý Pythagore)

nên BC = 5 cm.

Vậy BC = 5 cm.

b) Sai.

Vì tam giác ABC vuông tại A có AD là đường trung tuyến nên ta có:

AD = DC = DB = $\frac{1}{2}$BC = 2,5 cm.

Vậy AD = 2,5 cm.

c) Đúng.

Vì AD = DC = DB = $\frac{1}{2}$BC = 2,5 cm nên ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (D; 2,5 cm).

Vậy ba điểm A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

d) Sai.

Đường tròn đường kính BC có bán kính là DC = 2,5 cm.

Vì 3 – 2,5 < AD < 3 + 2,5 nên hai đường tròn (A; AC) và đường tròn đường kính BC cắt nhau.

Vậy hai đường tròn (A; AC) và đường tròn đường kính BC cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: R + R$_{1}$ = 8 cm = OO$_{1}$.

Vậy hai đường tròn (O; R) và (O$_{1}$; R$_{1}$) tiếp xúc ngoài nhau.

b) Đúng.

Vì R + R$_{1}$ < 8 cm nên R + R$_{1}$ < OO$_{1}$.

Vậy hai đường tròn (O; R) và (O$_{1}$; R$_{1}$) không có điểm chung.

c) Đúng.

Vì R – R$_{1}$ = 9 cm nên R – R$_{1}$ > OO$_{1}$.

Vậy hai đường tròn (O; R) và (O$_{1}$; R$_{1}$) không giao nhau.

d) Sai.

Để (O; R) và (O$_{1}$; R$_{1}$) tiếp xúc trong thì |R – R$_{1}$| = OO$_{1}$ hay |R – R$_{1}$| = 8 cm.

Vậy nếu |R – R$_{1}$| = 8 cm thì (O; R) và (O$_{1}$; R$_{1}$) tiếp xúc trong.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Thay R = 2r vào R + r = 6 ta có 2r + r = 6, suy ra r = 2 cm. Vậy R = 4 cm.

b) Sai.

Vì r = 2 cm, R = 4 cm nên R – r = 2 cm. Vậy R – r = 2 cm.

c) Đúng.

Vì R – r < OI < R + r (do 2 cm < 5 cm < 6 cm) nên hai đường tròn (O; R) và đường tròn (I; r) cắt nhau.

Vậy nếu điểm I cách điểm O bằng 5 cm thì hai đường tròn (O; R) và đường tròn (I; r) cắt nhau.

d) Sai.

Vì IO < 2cm nên IO < R – r. Vậy nếu khoảng cách từ I đến O nhỏ hơn 2 cm thì đường tròn (O; R) đựng đường tròn (I; r).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai.

Vì DAOI vuông tại A nên OI$^{2}$ = AI$^{2}$ + AO$^{2}$ = 5 (định lý Pythagore). Vậy OI = $\sqrt 5$ cm.

b) Đúng.

Vì AI = IC nên I thuộc đường trung trực của AC.

Vì OA = OC nên O thuộc đường trung trực của AC.

Do đó, OI là đường trung trực của AC, suy ra AC ^ OI tại D.

Vậy AD ^ OI.

c) Sai.

DAID và DOIA có: $\widehat {{\rm{ADI}}} = \widehat {{\rm{OAI}}} = 90^\circ ,\widehat {{\rm{AIO}}}$ chung nên .

Suy ra $\frac{{{\rm{DI}}}}{{{\rm{AI}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{OI}}}}$ suy ra ${\rm{DI}} = \frac{{{\rm{A}}{{\rm{I}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{OI}}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy DI < 1 cm.

d) Sai.

Ta có: AD.OI = OA.AI (= 2.${{\rm{S}}_{{\rm{\Delta AOI}}}}$) nên ${\rm{AD}} = \frac{{{\rm{OA}}.{\rm{AI}}}}{{{\rm{OI}}}} = \frac{{2 \cdot 1}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\;\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vì AD – DI $< {\rm{AI}}$ < AD + DI nên đường tròn (A; AD) và đường tròn (I; DI) cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì 8 – 3 < OI < 8 + 3 nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (I; 8 cm) cắt nhau.

Vì 8 – 4 < OI < 8 + 4 nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (I; 8 cm) cắt nhau.

Vì 8 – 5 < OI < 8 + 5 nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (I; 8 cm) cắt nhau.

Vì 8 – 1 > OI nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (I; 8 cm) không cắt nhau.

Vậy trong các đường tròn trên có 3 đường tròn cắt đường tròn (I; 8 cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 9

Vì hai đường tròn (O; 6 cm), (I; 5 cm) có hai điểm chung nên 6 – 5 < OI < 6 + 5, suy ra 1 < a < 11. Mà a là số nguyên nên a Î{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Vậy có tất cả 9 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Vì hai đường tròn (O; 3 cm) và đường tròn (O$_{1}$; 5 cm) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm C nên OO$_{1}$ = OC + CO$_{1}$ = 3 + 5 = 8 (cm).

Vì A là trung điểm của OC nên OA = AC = 1,5 cm.

Vì B là trung điểm của OO$_{1}$ nên BO$_{1}$ = 4 cm.

Ta có: AB = OO$_{1}$ – OA – BO$_{1}$ = 8 – 1,5 – 4 = 2,5 (cm).

Lại có: BO$_{1}$ – 1 = 3 cm > AB = 2,5 cm. Vậy hai đường tròn (B; O$_{1}$B) và đường tròn (A; 1 cm) không có điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Vì đường tròn (O; 4 cm) và đường tròn (I; 2 cm) tiếp xúc trong với nhau tại điểm A nên OI = 4 – 2 = 2 (cm).

Vì C là trung điểm của OI nên CI = OC = 1 cm.

Ta có: CA = OA – OC = 3 cm.

Vì CA – 2 = 1 (cm) = OC nên hai đường tròn (C; CA) và đường tròn (O; 2 cm) có 1 điểm chung.

Đáp án: 2

Vì đường tròn (O; R) có chu vi bằng 24p (cm) nên 2pR = 24p nên R = 12 (cm).

Vì hình tròn (I; r) có diện tích bằng 25p (cm$^{2}$) nên pr$^{2}$ = 25p nên r = 5 (cm).

Ta có: R – r < OI < R + r (do 12 – 5 < 8 < 12 + 5).

Vậy hai đường tròn đã cho có 2 điểm chung.