Bài tập Xác định vị trí mà tại đó điện trường bằng không do nhiều điện tích gây ra lớp 11 (có lời giải)

Do hai điện tích tại M và N trái dấu nên điểm ${\rm{P}}$ nằm ngoài đoạn ${\rm{MN}}$ và gần ${\rm{M}}$ hơn (do độ lớn điện tích tại M nhỏ hơn độ lớn điện tích tại N).

Ta có: $\left| {{E_1}} \right| = \left| {{E_2}} \right| \Rightarrow \frac{{k\left| {{q_1}} \right|}}{{{\rm{M}}{{\rm{P}}^2}}} = \frac{{k\left| {{q_2}} \right|}}{{{{({\rm{MP}} + 0{,}2)}^2}}} \Rightarrow \frac{3}{{{\rm{M}}{{\rm{P}}^2}}} = \frac{5}{{{{({\rm{MP}} + 0{,}2)}^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\rm{MP}} \approx 0{,}69{\rm{\;m}}}\\{{\rm{NP}} \approx 0{,}89{\rm{\;m}}}\end{array}} \right.$

Gọi $\overrightarrow {E_1^\prime } {\rm{\, và\, }}\overrightarrow {E_2^\prime }$ là cường độ điện trường do ${{\rm{q}}_1}{\rm{ \,và\,}}{{\rm{q}}_2}$ gây ra tại M thì cường độ điện trường tổng hợp do ${{\rm{q}}_1}{\rm{\, và\, }}{{\rm{q}}_2}$ gây ra tại M là: $\overrightarrow {\rm{E}} = \overrightarrow {{\rm{E}}_1^\prime } + \overrightarrow {E_2^\prime}$

Ta có: $\overrightarrow {\rm{E}} = \overrightarrow {{\rm{E}}_1^\prime } + \overrightarrow {{\rm{E}}_2^\prime } = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {{{\rm{E}}_1}} {\rm{ \,và\, }}\overrightarrow {{{\rm{E}}_2}}$ phải cùng phương, ngược chiều và bằng nhau về độ lớn. Để thỏa mãn các điều kiện đó thì M phải nằm trên đường thẳng nối A, B, nằm ngoài đoạn thẳng AB và gần q$_{2}$ hơn.

Với $E_1^\prime = E_2^\prime {\rm{\, thì\, }}{9.10^9}\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{{\rm{A}}{{\rm{M}}^2}}} = {9.10^9}\frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{{{(AM - AB)}^2}}}$

$\Rightarrow \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AM}} - {\rm{AB}}}} = \sqrt {\frac{{\left| {{{\rm{q}}_1}} \right|}}{{\left| {{{\rm{q}}_2}} \right|}}} = 2 \Rightarrow {\rm{AM}} = 2{\rm{AB}} = 30\;{\rm{cm}}$

Vậy M nằm cách A là 30 cm và cách B là 15 cm.

Các điện tích đặt tại các đỉnh của hình vuông gây ra tại giao điểm O của hai đường chéo hình vuông các vectơ cường độ điện trường $\overrightarrow {{E_A}} ;{\vec E_B};{\vec E_C};{\vec E_D}$ có phương chiều như hình vẽ, có độ lớn:

Ta có: ${E_A} = {E_B} = {E_C} = {E_D} = \frac{{2kq}}{{\varepsilon {a^2}}}$

Cường độ điện tường tổng hợp tại O là: $\overrightarrow {\rm{E}} = \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{A}}}} + \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{B}}}} + \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{C}}}} + \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{D}}}} = \vec 0$ vì $\overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{A}}}} + \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{C}}}} = \vec 0{\rm{ \,và\, }}\overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{B}}}} + \overrightarrow {{{\rm{E}}_{\rm{D}}}} = \vec 0$

Điện trường hướng ra khỏi điện tích dương, hướng vào điện tích âm và có độ lớn: $E = k\frac{{\left| Q \right|}}{{{r^2}}}.$

Điện trường tổng hợp: $\overrightarrow E = {\overrightarrow E _1} + {\overrightarrow E _2} = \overrightarrow 0$ khi hai vectơ thành phần cùng phương ngược chiều cùng độ lớn.

Vì $\left| {{q_1}} \right| < \left| {{q_2}} \right| \Rightarrow \overrightarrow E = {\overrightarrow E _1} + {\overrightarrow E _2} = \overrightarrow 0$ chỉ có thể xảy ra với điểm M.

$k\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{M^2}}} = k\frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{B{M^2}}} \Leftrightarrow \frac{3}{{A{M^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {AM + 10} \right)}^2}}} \Rightarrow AM = 64{,}64\left( {cm} \right)$

Theo giả thuyết thì ${\vec E_M} = {\vec E_1} + {\vec E_2}$ = 0 => ${\vec E_1} = - {\vec E_2}$

=> ${\vec E_1}$ ngược hướng với ${\vec E_2}$ và có cùng độ lớn

=> $\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{M^2}}} = \frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{M{B^2}}}$

Vì M gần A hơn nên AM < MB => |q$_{1}$| < |q$_{2}$|

Mà ${\vec E_1}$ ngược hướng với ${\vec E_2}$ nên điện tích tại A và B đồng thời dương hoặc đồng thời âm (cùng dấu)

Theo giả thuyết thì ${\vec E_M} = {\vec E_1} + {\vec E_2}$ = 0

=> ${\vec E_1} = - {\vec E_2}$ => M phải nằm trên đường nối kéo dài của AB (như hình)

Lập luận ta được M nằm ngoài phía B (do |q$_{2}$| < |q$_{1}$| nên r$_{2}$ < r$_{1}$)

Để E$_{1}$ = E$_{2}$ thì $\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{M^2}}} = \frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{B{M^2}}}$ hay $\frac{9}{{{{\left( {20 + r} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{r^2}}}$ (*) => r = BM = 40 cm.

Theo giả thuyết thì ${\vec E_M} = {\vec E_1} + {\vec E_2}$ = 0

=> ${\vec E_1} = - {\vec E_2}$ => M phải nằm trên đường nối kéo dài của AB và ngoài phía B (như hình)

Để E$_{1}$ = E$_{2}$ thì $\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{A{M^2}}} = \frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{B{M^2}}}$ hay $\frac{4}{{{{\left( {8 + r} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{r^2}}}$ (*) => r = BM = 8 cm.

Để ${\vec E_C}$ = 0 thì ${\vec E_1}$ ngược hướng ${\vec E_2}$ => C phải nằm trên đoạn AC

Về độ lớn thỏa E$_{1}$ = E$_{2}$

=> $\frac{{{q_1}}}{{A{C^2}}} = \frac{{{q_2}}}{{{{\left( {AB - AC} \right)}^2}}}$ => $\frac{{36}}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {100 - AC} \right)}^2}}}$ => AC = 75 cm.

Từ giả thuyết ta vẽ được hình bên (trường hợp khác cũng tương tự)

Để ${\vec E_D}$ = 0 => ${\vec E_{CD}}$ = ${\vec E_{AB}}$ (hình vẽ)

Áp dụng tính chất hình học ta có: sin45$^{0}$ = $\frac{{{E_A}}}{{{E_B}}}$ = $\frac{{\frac{{{q_1}}}{{A{D^2}}}}}{{\frac{{{q_2}}}{{B{D^2}}}}}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$

=> $\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\frac{{A{D^2}}}{{B{D^2}}}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{4}$ => q$_{2}$ = 2$\sqrt 2$q$_{1}$ và mang điện trái dấu (*)

Mặt khác tan45$^{0}$ = $\frac{{{E_A}}}{{{E_{AB}}}}$ = 1 => E$_{A}$ = E$_{AB}$ => q$_{1}$ = q$_{3}$; kết hợp với (*).

tanα = $\frac{{{E_A}}}{{{E_C}}} = \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{3}{4}$ => 4E$_{A}$ = 3E$_{C}$ => 4.$\frac{{{q_1}}}{{A{D^2}}}$ = 3.$\frac{{{q_3}}}{{C{D^2}}}$ => q$_{3}$ = 6,4.10$^{-8}$ C.

Để ${\vec E_D}$ = 0 thì ${\vec E_B}$= -${\vec E_{AC}}$ (ngược hướng, cùng độ lớn) được biểu diễn như hình vẽ.

=> q$_{1}$ và q$_{2}$ có giá trị dương

Từ hình ta có sinα = $\frac{{{E_A}}}{{{E_B}}} = \frac{{BC}}{{DD}} = \frac{3}{5}$ => 5E$_{A}$ = 3E$_{B}$ => 5.$\frac{{{q_1}}}{{A{D^2}}}$ = 3.$\frac{{{q_2}}}{{B{D^2}}}$

=> q$_{1}$ = 2,7.10$^{-8}$ C

Đáp án: a) đúng; b) đúng; c) đúng; d) đúng.

Giải thích:

Hai điện tích cùng dấu nên điểm triệt tiêu nằm giữa A và B.

Gọi $M$ là vị trí cần tìm, đặt $AM = x$, $BM = 50 - x$.

Điều kiện ${\vec E_1} + {\vec E_2} = \vec 0$ cho: ${E_1} = {E_2}$.

Suy ra $\frac{4}{{{x^2}}} = \frac{9}{{{{(50 - x)}^2}}}$.

Lấy căn hai vế: $\frac{2}{x} = \frac{3}{{50 - x}}$.

Suy ra $2(50 - x) = 3x$, do đó $x = 20cm$.

Vậy M cách A 20 cm và cách B 30 cm.

Đáp án: a) đúng; b) sai; c) đúng; d) đúng.

Giải thích:

Hai điện tích cùng dấu nên điểm triệt tiêu nằm giữa hai điện tích.

Điểm triệt tiêu nằm gần điện tích có độ lớn nhỏ hơn, tức gần ${q_1}$.

Ta có: $\frac{2}{{{x^2}}} = \frac{8}{{{{(30 - x)}^2}}}$.

Suy ra $\frac{1}{x} = \frac{2}{{30 - x}}$.

Do đó $30 - x = 2x$, suy ra $x = 10cm$.

Đáp án: a) đúng; b) đúng; c) sai; d) sai.

Giải thích:

Vì hai điện tích cùng dấu nên M nằm giữa A và B.

Điểm M gần điện tích nhỏ hơn ${q_2}$.

Đặt $AM = x$, $BM = 40 - x$:

$\frac{9}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{{(40 - x)}^2}}}$.

Suy ra $\frac{3}{x} = \frac{1}{{40 - x}}$.

$3(40 - x) = x$ nên $x = 30cm$.

Vậy M cách A 30 cm và cách B 10 cm.

Do hai điện tích dương, hai vectơ điện trường tại M hướng ngược chiều nhau → d) sai.

Đáp án: a) đúng; b) đúng; c) đúng; d) sai.

Giải thích:

Đặt $AM = x$, $BM = 60 - x$.

Điều kiện: $\frac{3}{{{x^2}}} = \frac{{12}}{{{{(60 - x)}^2}}}$.

Suy ra: $\frac{1}{x} = \frac{2}{{60 - x}}$.

Do đó $60 - x = 2x$, suy ra $x = 20cm$.

Vậy $BM = 40cm$.

Tại điểm triệt tiêu, hai điện trường phải có cùng độ lớn và ngược chiều.

Đáp án: a) đúng; b) đúng; c) đúng; d) đúng.

Giải thích:

Hai điện tích trái dấu. Trên đoạn AB, điện trường do hai điện tích trái dấu gây ra cùng chiều nên không thể triệt tiêu.

Điểm triệt tiêu phải nằm ngoài đoạn AB và nằm về phía điện tích có độ lớn nhỏ hơn, tức phía A.

Vì vậy c) đúng

Đáp án: a) đúng; b) đúng; c) sai; d) đúng.

Giải thích:

Điểm triệt tiêu nằm phía ngoài điện tích nhỏ hơn ${q_1}$.

Đặt $MA = x$, khi M nằm ngoài A thì $MB = x + 50$.

Điều kiện: $\frac{4}{{{x^2}}} = \frac{9}{{{{(x + 50)}^2}}}$.

Suy ra:

$\frac{2}{x} = \frac{3}{{x + 50}}$.

$2(x + 50) = 3x$.

Do đó $x = 100cm$.

Vậy điểm triệt tiêu cách A 100 cm, không phải 50 cm.

Đáp án: a) đúng; b) đúng; c) sai; d) sai.

Giải thích:

Đặt $AM = x$, $BM = 60 - x$.

$\frac{{16}}{{{x^2}}} = \frac{4}{{{{(60 - x)}^2}}}$.

Suy ra:

$\frac{4}{x} = \frac{1}{{60 - x}}$.

$4(60 - x) = x$.

Suy ra $x = 48cm$.

Vậy M cách A 48 cm và cách B 12 cm.

Đáp án: a) đúng; b) đúng; c) sai; d) sai.

Giải thích:

Đặt $AM = x$, $BM = 90 - x$.

$\frac{{25}}{{{x^2}}} = \frac{4}{{{{(90 - x)}^2}}}$.

Suy ra:

$\frac{5}{x} = \frac{2}{{90 - x}}$.

$5(90 - x) = 2x$.

Suy ra $x = 50cm$.

Vậy M cách A 50 cm và B 40 cm.

Do đó c) và d) sai.

Đáp án: a) đúng; b) đúng; c) đúng; d) sai.

Giải thích:

Vì hai điện tích trái dấu và $|{q_1}| < |{q_2}|$, điểm triệt tiêu nằm phía ngoài ${q_1}$.

Đặt $MA = x$, khi đó $MB = x + 30$.

Điều kiện: $\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{4}{{{{(x + 30)}^2}}}$.

Suy ra:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{{x + 30}}$.

$x + 30 = 2x$ nên $x = 30cm$.

Vậy d) sai.

Đáp án: a) đúng; b) đúng; c) sai; d) đúng.

Giải thích:

Do ba điện tích giống nhau và bố trí đối xứng, ba điện trường tại tâm có cùng độ lớn và lệch nhau ${120^\circ }$.

Tổng ba vectơ bằng không.

Các vectơ không đôi một vuông góc → c) sai.

Đáp án: 30

Giải:

Vì hai điện tích cùng dấu nên M nằm giữa A và B.

Đặt $AM = x$, $BM = 40 - x$.

Điều kiện ${E_1} = {E_2}$:

$\frac{9}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{{(40 - x)}^2}}}$.

Suy ra:

$\frac{3}{x} = \frac{1}{{40 - x}}$.

$3(40 - x) = x$.

Suy ra $x = 30cm$.

Đáp án: 20

Giải:

Đặt $AM = x$, $BM = 60 - x$.

$\frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{16}}{{{{(60 - x)}^2}}}$.

Suy ra:

$\frac{2}{x} = \frac{4}{{60 - x}}$.

$2(60 - x) = 4x$.

$120 = 6x$.

$x = 20cm$.

Đáp án: 64,3

Giải:

Gọi $AM = x$, $BM = 90 - x$.

$\frac{{25}}{{{x^2}}} = \frac{4}{{{{(90 - x)}^2}}}$.

$\frac{5}{x} = \frac{2}{{90 - x}}$.

$450 - 5x = 2x$.

Suy ra $x = \frac{{450}}{7} \approx 64{,}3cm$.

Đáp án: 20

Giải:

Hai điện tích trái dấu nên điểm triệt tiêu nằm ngoài đoạn AB về phía điện tích nhỏ hơn ${q_1}$.

Đặt $AM = x$, khi đó $BM = x + 40$.

Điều kiện: $\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{9}{{{{(x + 40)}^2}}}$.

Suy ra:

$\frac{1}{x} = \frac{3}{{x + 40}}$.

$x + 40 = 3x$.

Suy ra $x = 20cm$.

Đáp án: 60

Giải:

Điểm triệt tiêu nằm ngoài đoạn AB về phía ${q_1}$.

Gọi $AM = x$, khi đó $BM = x + 60$.

$\frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{16}}{{{{(x + 60)}^2}}}$.

$\frac{2}{x} = \frac{4}{{x + 60}}$.

$2x + 120 = 4x$.

$x = 60cm$.

Đáp án: 60

Giải:

Đặt $AM = x$.

Khi đó $BM = 80 - x$.

$\frac{{36}}{{{x^2}}} = \frac{4}{{{{(80 - x)}^2}}}$.

$\frac{6}{x} = \frac{2}{{80 - x}}$.

$6(80 - x) = 2x$.

$480 = 8x$.

$x = 60cm$.

Đáp án: 100

Giải:

Điểm triệt tiêu nằm ngoài đoạn AB về phía điện tích có độ lớn nhỏ hơn là ${q_2}$.

Gọi $BM = x$, khi đó $AM = x + 50$.

Điều kiện:

$\frac{4}{{{x^2}}} = \frac{9}{{{{(x + 50)}^2}}}$.

$\frac{2}{x} = \frac{3}{{x + 50}}$.

$2x + 100 = 3x$.

Suy ra $x = 100cm$.

Đáp án: 120

Giải:

Gọi $MB = x$. Khi đó $MA = x + 60$.

Điều kiện: $\frac{{16}}{{{{(x + 60)}^2}}} = \frac{4}{{{x^2}}}$.

Lấy căn:

$\frac{4}{{x + 60}} = \frac{2}{x}$.

$4x = 2x + 120$.

$x = 60cm$.

Do đó:

$MA = 60 + 60 = 120cm$.

Đáp án: 0

Giải:

Do ba điện tích giống nhau và được bố trí hoàn toàn đối xứng quanh tâm O, ba vectơ cường độ điện trường tại O có cùng độ lớn và lệch nhau ${120^\circ }$.

Vì vậy: ${E_O} = 0V/m$.

Đáp án: 75

Giải:

Đặt $AM = x$, $BM = 100 - x$.

Điều kiện điện trường bằng không: $\frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{36}}{{{{(100 - x)}^2}}}$.

Lấy căn 2 vế được

$\frac{2}{x} = \frac{6}{{100 - x}}$.

$2(100 - x) = 6x$.

$200 = 8x$.

$x = 25cm$.

Do đó: $MB = 100 - 25 = 75cm$.