Bài tập Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có: AC // A'C' (do ABCD.A'B'C'D') là hình hộp.

Do đó, (AC, A'D) = (A'C', A'D) = $\widehat{DA'C'}$ (do giả thiết tam giác DA'C' nhọn).

Đáp án đúng là: D

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Do đó, AH vuông góc với (BCD).

ABCD là tứ diện đều tất cả các cạnh bằng nhau nên tam giác BCD đều.

Gọi E là trung điểm của CD ⇒ BE vuông góc với CD.

Do AH vuông góc với (BCD) nên AH vuông góc với CD.

Ta có: $\{\begin{matrix}CD\perp BE \\ CD\perp AH\end{matrix}\Rightarrow CD\perp (ABE)\Rightarrow CD\perp AB\Rightarrow (AB,CD)=90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: A

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên AH vuông góc với (BCD).

Gọi E là trung điểm AC, ta có:

ME // AB ⇒ (AB, DM) = (ME, MD)

Ta có: cos(AB, DM) = cos(ME, MD) $=|\cos (\overrightarrow{ME},\overrightarrow{MD})|=|\mathrm{co}\widehat{sEMD}|$

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của tam giác MED: ME = $\frac{a}{2}$ ; ED = MD =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác MED, ta có:

$\cos \widehat{EMD}=\frac{M{E}^{2}+M{D}^{2}-E{D}^{2}}{2ME.MD}=\frac{{(\frac{a}{2})}^{2}+{(\frac{a\sqrt{3}}{2})}^{2}-{(\frac{a\sqrt{3}}{2})}^{2}}{2.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Từ đó $\cos (AB,DM)=|\frac{\sqrt{3}}{6}|=\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, do đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1)

Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).

Từ (1) và (2) ta có: SO vuông góc với (ABCD).

Từ giả thiết ta có: MN song song với SA (do MN là đường trung bình của tam giác SAD)

⇒ (MN, SC) = (SA, SC)

Xét tam giác SAC có:

SA$^{2}$ + SC$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + DC$^{2}$ = 2a$^{2}$

Suy ra SA$^{2}$ + SC$^{2}$ = AC$^{2}$.

Do đó, tam giác SAC vuông tại S nên SA vuông góc với SC.

Vậy (MN, SC) = (SA, SC) = 90°.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Do đó, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1)

Ta có: SA = SB = SC = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SO vuông góc với (ABCD)

Ta lại có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của tam giác SAB)

⇒ (IJ, CD) = (SB, AB)

Mặt khác, ta lại có tam giác SAB đều, do đó $\widehat{SBA}=60^{\circ}$ ⇒ (IJ, CD) = (SB, AB) = $60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: D

Do I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Do đó IJ là đường trung bình của tam giác ABC, EF là đường trung bình của tam giác ABD, JE là đường trung bình của tam giác BCD, IF là đường trung bình của tam giác ACD.

Từ đó, ta có:

IJ // EF // AB

JE // IF // CD

Do đó, tứ giác IJEF là hình bình hành

Mặt khác: AB = CD ⇒ IJ = $\frac{1}{2}$ AB = $JE=\frac{1}{2}CD$

Do đó, ABCD là hình thoi.

Do đó, IE vuông góc với JF (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

⇒ $(IE,JF)=90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: D

Ta có:

AE // DH (do ABCD.EFGH là hình lập phương)

AE cắt AB tại A

⇒ (AB, DH) = (AE, AB)

Mà AE vuông góc với AB nên (AB, DH) = (AE, AB) = $90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD và ABC'D' là hình vuông nên AD // BC'; AD = BC'

⇒ ADBC' là hình bình hành

Mà O, O' là tâm của 2 hình vuông nên O, O' là trung điểm của BD và AC'

Do đó, OO' là đường trung bình của ADBC'.

Do đó, OO' song song với AD.

Mặt khác, AD vuông góc với AB nên OO' vuông góc với AD nên (OO', AB) = $90^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: B

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Ta có: $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM})=\frac{|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{DM}|}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Mặt khác:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD})=\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=AB.AM.\cos 30^{\circ}-AB.AD.\cos 60^{\circ}$.

$a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-a.a.\frac{1}{2}=\frac{3{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}=\frac{{a}^{2}}{4}$

$\Rightarrow \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM})=\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \cos (AB,DM)=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD

Ta có: OJ // CD

Nên (IJ, CD) = (IJ, OJ)

Nên góc giữa IOJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ

Xét tam giác IOJ có: $IJ=\frac{1}{2}SB=\frac{a}{2};OJ=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2};IO=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}$

Nên tam giác IOJ đều

Vậy (IJ, CD) = (IJ, OJ) = $\widehat{IJO}$ = $60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là đường phân giác của góc $\widehat {BAD}$

⇒ $\widehat {BAC}$ = 45°

Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB và AC là (AB, AC) = $\widehat {BAC}$ = 45°.

Đáp án đúng là: D

Ta có: ABCD là hình vuông:

AB ∥ CD nên (AB, CD) = 0°

AD ∥ BC nên (AD, BC) = 0°

Đường chéo AC là đường phân giác của $\widehat {DAB}$ nên $\widehat {BAC}$ = 45°

⇒ (AB, AC) = $\widehat {BAC}$ = 45°

Đường chéo AC là đường phân giác của $\widehat {BCD}$ nên $\widehat {ACD}$= 45°. Do CD cắt AC tại C nên góc giữa CD và AC bằng $\widehat {ACD}$ = 45° ≠ 60°.

Vậy khẳng định D là sai.

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình vuông nên AB ∥ CD

Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng góc giữa hai đường thẳng CD và SC

Vì CD cắt SC tại C ⇒ (AB, SC) = (CD, SC) = $\widehat {SCD}$ (do △SCD có các cạnh bằng nhau nên $\widehat {SCD}$ < 90°)

Xét △SCD có SC = SD = CD = a nên △SCD là tam giác đều ⇒ $\widehat {SCD}$ = 60°

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 60°.

Đáp án đúng là: B.

Gọi P là trung điểm của AC. Suy ra $PM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB = PN$. Do đó, tam giác PMN cân tại P.

Lại có góc giữa AB và MN bằng 30° nên góc giữa MN và PN bằng 30°.

Vậy tam giác PMN là tam giác cân tại P có góc ở đỉnh bằng 120°.

Ta có $PN.\sqrt 3 = MN$nên MN = $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB ⇒ MN ∥ AB

Do MN ∥ AB nên góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BD

Vì ABCD là hình vuông nên đường chéo BD là đường phân giác của góc $\widehat {ABC}$

⇒ $\widehat {ABD}$ = 45°

Do đó, (MN, BD) = (AB, BD) = $\widehat {ABD}$ = 45°.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. MN, PN lần lượt là đường trung bình △SBC và △SAB

⇒MN = $\frac{1}{2}$SC, PN = $\frac{1}{2}$AB.

Lại có AB = SC suy ra MN = PN = $\frac{a}{2}$.

b) Sai. △SAC và △SAB là các tam giác đều cạnh a (vì SA = AC = SC = a và SA = AB = SB = a)

Do P là trung điểm của SA nên CP và BP lần lượt là đường cao của △SAC và △SAB ⇒ PC = PB = $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ ⇒ △PBC cân tại P

Mà M là trung điểm BC ⇒ PM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

⇒ PM ⊥ BC ⇒ △PMC vuông tại M

Vì M là trung điểm của BC ⇒ CM = BM = $\frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét △PMC vuông tại M, ta có:

PM = $\sqrt {P{C^2} - C{M^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}$ = $\frac{a}{2}$ (định lý Pytago)

Vậy PM = $\frac{a}{2}$.

c) Sai. Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB, SA nên MN // SC, PN // AB. Suy ra góc giữa AB và SC là góc giữa MN và PN.

d) Đúng. Có $PM = PN = MN = \frac{a}{2}$nên tam giác MNP là tam giác đều. Suy ra $\widehat {MNP} = 60^\circ$. Lại có $\left( {AB,SC} \right) = \left( {PN,MN} \right) = \widehat {MNP}$ suy ra góc giữa AB và SC là 60°.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Điểm O có thể lấy bất kỳ trong không gian. Để thuận tiện thì ta chọn điểm O nằm ngay trên một trong hai đường thẳng.

b) Sai. Theo quy ước, góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau bằng 0°.

c) Đúng. Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc không tù, tức là từ 0° đến 90°.

d) Đúng. Hai đường thẳng cắt nhau luôn tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh. Theo định nghĩa, góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc không tù, nên nó luôn là góc có số đo nhỏ nhất hoặc bằng tất cả các góc còn lại trong các góc được tạo thành.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Ta có SA // MN nên $\left( {SA,MN} \right) = 0^\circ$.

b) Đúng. Ta có SA = SC = a, AC là đường chéo hình vuông ABCD nên AC = $a\sqrt 2$.

Xét tam giác SAC có $A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}$(vì ${\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = {a^2} + {a^2}$) nên tam giác SAC vuông tại S, do đó: $SA \bot SC$.

c) Đúng. Ta có SA // MN nên $\left( {SA,SC} \right) = \left( {MN,SC} \right) = \widehat {SAC} = {90^ \circ }$.

d) Sai. Vì SA // MN nên $\left( {SB,MN} \right) = \left( {SB,SA} \right) = \widehat {ASB} = {60^ \circ }$.

Vậy góc giữa đường thẳng SB và MN bằng 60°.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vì ABCD là hình vuông nên AB ∥ CD. Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 0°.

b) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên CD ∥ AB

Do đó (CD, SA) = (AB, SA) = $\widehat {SAB}$

Xét △SAB có SA = SB = AB = $a\sqrt 3$ nên △SAB là tam giác đều

⇒ $\widehat {SAB}$ = 60°. Vậy (CD, SA) = 60°.

c) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên AB ∥ CD

Do đó (AB, SC) = (CD, SC) = $\widehat {SCD}$

Xét △SCD có SC = SD = CD = $a\sqrt 3$ nên △SCD là tam giác đều.

⇒ $\widehat {SCD}$ = 60°. Vậy (AB, SC) = 60°.

d) Đúng. Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau: AC ⊥ BD

Vậy hai đường thẳng AC và BD vuông góc với nhau.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. BC = CD = DB ⇒ BCD là tam giác đều ⇒ $\widehat {BDC} = {60^ \circ }$.

MP // CD ⇒ $\left( {MP,BD} \right) = \left( {CD,BD} \right) = \widehat {BDC} = {60^ \circ }$.

b) Đúng. Ta có: $NP = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2},MP = \frac{{CD}}{2} = \frac{a}{2}$

⇒ MNP là tam giác cân tại P

⇒ $\widehat {PMN} = \widehat {PNM} < {90^ \circ }$

Lại có NP // AB nên $\left( {AB,MN} \right) = \left( {NP,MN} \right) = \widehat {PNM}$và MP // CD nên $\left( {CD,MN} \right) = \left( {MP,MN} \right) = \widehat {PMN}$ ⇒ $\left( {MN,AB} \right) = \left( {CD,MN} \right)$.

c) Đúng. Tam giác ABC và DBC là hai tam giác đều bằng nhau nên hai trung tuyến AN và DN bằng nhau. Do đó, tam giác NAD cân tại N. Vậy $MN \bot AD$.

d) Đúng. Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB,MN} \right) = \widehat {MNP}\\\left( {AB,MN} \right) = 30^\circ \\\cos \widehat {MNP} = \frac{{M{N^2} + N{P^2} - M{P^2}}}{{2 \cdot MN \cdot NP}} = \frac{{M{N^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot MN \cdot \frac{a}{2}}} = \frac{{MN}}{a}\end{array} \right.$

⇒ $\frac{{MN}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Đáp án: 60

Đặt OA = a suy ra OB = OC = a và AB = BC = AC = $a\sqrt 2$.

Gọi N là trung điểm AC, ta có MN // AB và MN = $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

⇒ $\left( {OM,AB} \right) = \left( {OM,MN} \right)$.

Trong tam giác OMN có ON = OM = MN = $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ nên OMN là tam giác đều.

⇒ $\widehat {OMN} = 60^\circ$. Vậy $\left( {OM,AB} \right) = \left( {OM,MN} \right) = 60^\circ$.

Đáp án: 0,29.

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a. Gọi N là trung điểm của AC.

Khi đó: $\left( {AB,DM} \right) = (MN,DM)$

Ta có: $MN = \frac{a}{2},DM = DN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\cos \widehat {NMD} = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2 \cdot MN \cdot MD}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Vậy $\cos \left( {AB,DM} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \approx 0{,}29$.

Đáp án: 60.

Gọi P là trung điểm của cạnh AC

Trong △ABC, ta có M là trung điểm AB và P là trung điểm AC:

⇒ MP là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}MP\parallel BC\\MP = \frac{1}{2}BC = \frac{{2a}}{2}\end{array} \right.$

Trong △ACD, ta có N là trung điểm CD và P là trung điểm AC:

⇒ PN là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}PN\parallel AD\\PN = \frac{1}{2}AD = \frac{{2a}}{2}\end{array} \right.$

Do MP ∥ BC và PN ∥ AD, góc giữa hai đường thẳng AD và BC chính là góc giữa hai đường thẳng MP và PN

Xét △MPN, áp dụng định lý cosin tại đỉnh P:

cos$\widehat {MPN}$ = $\frac{{M{P^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2 \cdot MP \cdot PN}}$ = $\frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}}$ = $\frac{{2{a^2} - 3{a^2}}}{{2a}} = - \frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}} = - \frac{1}{2}$

⇒ $\widehat {MPN}$ = 120°

Vì góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90° nên:

(AD, BC) = 180° – $\widehat {MPN}$ = 180° – 120° = 60°.

Đáp án: 2,8

Gọi P là trung điểm của cạnh AC

Trong tam giác ABC, M là trung điểm BC và P là trung điểm AC:

⇒ MP là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}MP\parallel AB\\MP = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\end{array} \right.$

Trong tam giác ACD, N là trung điểm AD và P là trung điểm AC:

⇒ PN là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}PN\parallel CD\\PN = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}\end{array} \right.$

Do MP ∥ AB và PN ∥ CD, góc giữa hai đường thẳng AB và CD chính bằng góc giữa hai đường thẳng MP và PN: (AB, CD) = (MP, PN)

Áp dụng Định lý Cosin tại đỉnh P trong △MPN:

cos$\widehat {MPN}$ = $\frac{{M{P^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2 \cdot MP \cdot PN}}$ = $\frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}}$ = $- \frac{1}{3}$

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Vì góc giữa hai đường thẳng nằm trong khoảng [0°; 90°]:

cos α = $\left| {\cos \widehat {MPN}} \right| = \left| { - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{3}$

Áp dụng công thức lượng giác cơ bản: 1 + tan$^{2}$ α = $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$:

tan$^{2}$ α = $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ – 1 = $\frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}}$ – 1 = 9 – 1 = 8

⇒ tan α = $\sqrt 8$ ≈ 2,8.

Đáp án: 90

Tam giác ABC có MN là đường trung bình ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Tam giác ACD có NP là đường trung bình ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}NP\parallel CD\\NP = \frac{1}{2}CD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$

Tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến $AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Tam giác AMP vuông tại A có:$MP = \sqrt {A{M^2} + A{P^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}MN//AB\\NP//CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AB,CD} \right) = \left( {MN,NP} \right)$.

Tam giác MNP có: $M{N^2} + N{P^2} = M{P^2}$hay tam giác MNP vuông tại N.

Vậy $\left( {AB,CD} \right) = \left( {MN,NP} \right) = 90^\circ$.