Bài tập Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Ta có: SC ∩ (ABC) = C.

Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A.

Do đó, ta có: $(SC,(ABC))=(SC,AC)=\widehat{SCA}$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có: SB ∩ (ABC) = B

Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A.

Do đó, ta có: $(SB,(ABC))=(SB,AB)=\widehat{SBA}$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có:

BC ⊥ AB (tam giác ABC vuông tại B)

BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABC))

Suy ra: BC ⊥ (SAB).

Khi đó hình chiếu vuông góc của C lên (SAB) là B.

SC ∩ (SAB) = S

Vậy $(SC,(SAB))=(SC,SB)=\widehat{BSC}$ .

Đáp án đúng là: A

Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD) là A

A'C ∩ (ABCD) = C

Suy ra: $(A'C,(ABCD))=(A'C,AC)=\widehat{A'CA}$ .

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của C' lên (ABC) là C

AC' ∩ (ABC) = A

Suy ra: $(AC',(ABC))=(AC',AC)=\widehat{C'AC}$ .

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều nên AC = AB = $\sqrt{3}$ , CC' = AA' = 1.

Xét tam giác ACC' vuông tại C có:

$\tan \widehat{C'AC}=\frac{CC'}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{C'AC}=30^{\circ}$.

Đáp án đúng là: D

Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD) là A

A'C ∩ (ABCD) = C

Suy ra: $(A'C,(ABCD))=(A'C,AC)=\widehat{A'CA}$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = 2$^{2}$ + 2$^{2}$ = 8$\Rightarrow AC=2\sqrt{2}$

Xét tam giác vuông ACA' có:

$\tan \widehat{ACA'}=\frac{AA'}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{ACA'}=45^{\circ}$

Đáp án đúng là: B

Ta có:

BC ⊥ AB (do ABCD là hình vuông)

BC ⊥ AA' (do AA' ⊥ (ABCD))

Suy ra: BC ⊥ (ABB'A').

Hình chiếu vuông góc của C lên (ABB'A') là B

Mà A'C ∩ (ABB'A') = A'.

Do đó, ta có: $(A'C,(ABB'A'))=(A'C,A'B)=\widehat{BA'C}$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABA' ta có:

A'B$^{2}$ = AB$^{2}$ + AA'$^{2}$ = 1$^{2}$ + 1$^{2}$ = 2

$\Rightarrow A'B=\sqrt{2}$

Tương tự, ta tính được AC = $\sqrt{2}$ .

Từ đó suy ra A'C = $\sqrt{3}$ (định lí Pythagore trong tam giác vuông A'AC).

Xét tam giác A'BC vuông tại B có:

$\cos \widehat{BA'C}=\frac{A'B}{A'C}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Vậy côsin góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABB'A') bằng $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có: SO ⊥ (ABCD).

Chọn cạnh bên SA.

SA ∩ (ABCD) = A và O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) nên:

$(SA,(ABCD))=(SA,OA)=\widehat{SAO}$

Ta có: $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \cos \widehat{SAO}=\frac{OA}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{SAO}=60^{\circ}$.

Đáp án đúng là: B

Giả sử cạnh của hình lập phương là 1.

Hình chiếu vuông góc của BD' lên đáy (ABCD) là BD nên: $(BD',(ABCD))=(BD',BD)=\widehat{DBD'}$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BCD ta có:

BD$^{2}$ = BC$^{2}$ + CD$^{2}$ = 1$^{2}$ + 1$^{2}$ = 2 $\Rightarrow BD=\sqrt{2}$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BDD' ta có:

BD'$^{2}$ = BD$^{2}$ + D'D$^{2}$ = ${(\sqrt{2})}^{2}$ + 1$^{2}$ = 3 $\Rightarrow BD'=\sqrt{3}$

Trong tam giác vuông BDD' có:

$\cos \widehat{DBD'}=\frac{BD}{BD'}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm của đáy ABCD.

Vì MO // SA (sử dụng tính chất đường trung bình)

Mà SA ⊥ (ABCD) nên MO ⊥ (ABCD)

Hình chiếu vuông góc của M lên (ABCD) là O

BM ∩ (ABCD) = B

Do đó: $(BM,(ABCD))=(BM,BO)=\widehat{MBO}$ .

MO là đường trung bình của tam giác SAC nên: $MO=\frac{1}{2}SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Ta có:$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Trong tam giác vuông BMO có:

$\tan \widehat{MBO}=\frac{MO}{BO}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{BMO}=60^{\circ}$.

Vậy góc giữa đường thẳng BM và (ABCD) bằng 60°.

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên AB = BC = a$\sqrt 2$

Xét △ABC vuông cân tại B:

AC = $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}$ = $\sqrt {2{a^2} + 2{a^2}}$ = 2a (định lý Pytago)

Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AC

⇒ Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là $\widehat {SCA}$

Mà SA ⊥ AC, SA = AC = 2a ⇒ △SAC vuông cân tại A ⇒ $\widehat {SCA}$ = 45°

Đáp án đúng là: A

Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SA

Mà ABCD là hình chữ nhật ⇒ BC ⊥ AB

Vì AB và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAB) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Do đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SB

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc $\widehat {CSB}$

Xét tam giác SBC, ta có BC ⊥ SB nên tam giác SBC vuông tại B

Mặt khác, SB = $\sqrt {S{A^2} + A{B^2}}$ = $\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}$ = $a\sqrt 3$ (định lý Pytago) và BC = AD = a

⇒ tan$\widehat {CSB}$ = $\frac{{BC}}{{SB}}$ = $\frac{a}{{a\sqrt 3 }}$ = $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ ⇒ $\widehat {CSB}$ = 30°.

Đáp án đúng là B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)

⇒ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AO

⇒ Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là $\widehat {SAO}$

Xét tam giác SAO vuông tại O: AO = $\frac{{AC}}{2}$ = $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ = $\frac{a}{{\sqrt 2 }}$

Mặt khác: SO = $\sqrt {S{A^2} - A{O^2}}$ = $\sqrt {{{(2a)}^2} - {{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}$ = $\sqrt {4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}$ = $\frac{{a\sqrt {14} }}{2}$

⇒ tan$\widehat {SAO}$ = $\frac{{SO}}{{AO}}$ = $\frac{{a\sqrt {14} }}{2}$ : $\frac{a}{{\sqrt 2 }}$ = $\sqrt 7$.

Đáp án đúng là: B

Do △ABC vuông cân tại B và M là trung điểm của AC

⇒ BM ⊥ AC và BM = $\frac{1}{2}$AC = a

Mặt khác, SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BM

Từ BM ⊥ AC và BM ⊥ SA ⇒ BM ⊥ (SAC)

Do đó, M là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SAC)

Vì S ∈ (SAC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SM

⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là góc $\widehat {BSM}$

Xét △ABC vuông cân tại B với AC = 2a, ta có: AB = $\frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2$

Xét △SAB vuông tại A (do SA ⊥ AB), ta có:

SB = $\sqrt {S{A^2} + A{B^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}$ = 2a (định lý Pytago)

Xét △SBM vuông tại M (do BM ⊥ (SAC) ⇒ BM ⊥ SM), ta có:

sin$\widehat {BSM}$ = $\frac{{BM}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$ ⇒ $\widehat {BSM}$ = 30°.

Đáp án đúng là: C

Ta có: BC ⊥ AB (do △ABC vuông tại B)

Mặt khác, SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Từ BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) tại B

Do đó, điểm B là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB)

Vì S ∈ (SAB) và B là hình chiếu vuông góc của C trên (SAB), nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SB

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc α = $\widehat {CSB}$

Xét △SAB vuông tại A (do SA ⊥ AB), ta có:

SB = $\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$ (định lý Pytago)

Xét △SBC vuông tại B (do BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB), ta có:

⇒ tan α = tan$\widehat {CSB}$ = $\frac{{BC}}{{SB}}$ = $\frac{a}{{a\sqrt 2 }}$ = $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Vậy tan α = $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AB

⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là $\widehat {SBA}$.

b) Đúng. Theo câu a), (SB, (ABC)) = $\widehat {SBA}$

Xét tam giác vuông SAB tại A: SA = AB = a

⇒ tan$\widehat {SBA}$ = $\frac{{SA}}{{AB}}$ = $\frac{a}{a}$ = 1.

c) Sai. Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AC

Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là $\widehat {SCA}$.

d) Sai. Theo câu c), (SC, (ABC)) = $\widehat {SCA}$

Xét tam giác ABC vuông tại B:

AC = $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}}$ = $\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}$ = 2a (định lý Pytago)

Xét tam giác SAC vuông tại A: tan$\widehat {SCA}$ = $\frac{{SA}}{{AC}}$ = $\frac{a}{{2a}}$ = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\widehat {SCA}$ ≈ 26,6° ≠ 30°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB

Mà ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AD ⊥ AB

Vì AD và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAD) ⇒ AB ⊥ (SAD)

Mà CD ∥ AB, nên CD ⊥ (SAD)

⇒ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAD) là đường thẳng SD

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc $\widehat {CSD}$

Xét △SAD vuông tại A có: SD = $\sqrt {S{A^2} + A{D^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}$ = $a\sqrt 3$ (định lý Pytago)

Xét △SAC vuông tại A: SC = $\sqrt {S{A^2} + A{C^2}}$ = $\sqrt {2{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}$ = 2a (định lý Pytago)

Mà SD$^{2}$ + CD$^{2}$ = ${\left( {a\sqrt 3 } \right)^2}$ + a$^{2}$ = 3a$^{2}$ + a$^{2}$ = 4a$^{2}$ = SC$^{2}$

⇒ △SCD vuông tại D (áp dụng định lý Pytago đảo)

⇒ tan$\widehat {CSD}$ = $\frac{{CD}}{{SD}}$ = $\frac{a}{{a\sqrt 3 }}$ = $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ ⇒ $\widehat {CSD}$ = 30°.

b) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AB

⇒ Góc giữa SB và (ABCD) là $\widehat {SBA}$

Xét tam giác vuông SAB tại A, ta có: tan$\widehat {SBA}$ = $\frac{{SA}}{{AB}}$ = $\frac{{a\sqrt 2 }}{a}$ = $\sqrt 2$

⇒ $\widehat {SBA}$ ≈ 54,75°.

c) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

⇒ Góc giữa SC và (ABCD) là $\widehat {SCA}$

Xét △SAC: AC = SA = $a\sqrt 2$, SA ⊥ AC

⇒ △SAC vuông cân tại A ⇒ $\widehat {SCA}$ = 45°.

d) Sai. Ta có: BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông), BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

Vì AB và SA cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (SAB) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Do đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SB

⇒ Góc giữa SC và (SAB) là $\widehat {CSB}$

Xét tam giác vuông SBC tại B:

SB = $\sqrt {S{A^2} + A{B^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}$ = $a\sqrt 3$ (định lý Pytago trong △SAB vuông tại A)

BC = a

⇒ tan$\widehat {CSB}$ = $\frac{{BC}}{{SB}}$ = $\frac{a}{{a\sqrt 3 }}$ = $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ ⇒ $\widehat {CSB}$ = 30° ≠ 60°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì SO ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng OB

Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là $\widehat {SBO}$

Tam giác ABC đều cạnh $a\sqrt 3$ nên: OB = $\frac{2}{3} \cdot \frac{{\left( {a\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 }}{2}$ = a

Xét tam giác SOB vuông tại O, ta có:

SO = $\sqrt {S{B^2} - O{B^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}$ = a$\sqrt 3$

⇒ tan$\widehat {SBO}$ = $\frac{{SO}}{{OB}}$ = $\frac{{a\sqrt 3 }}{a}$ = $\sqrt 3$.

b) Đúng. Vì SO ⊥ (ABC) (do O là tâm của tam giác ABC)

⇒ Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AO

⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AO) = $\widehat {SAO}$.

c) Đúng. Theo câu b), (SA, (ABC)) = (SA, AO) = $\widehat {SAO}$

Tam giác ABC đều cạnh $a\sqrt 3$ nên: AO = $\frac{2}{3}$AM = $\frac{2}{3} \cdot \frac{{\left( {a\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 }}{2}$ = a

Xét tam giác SAO vuông tại O: SA = 2a, AO = a

⇒ cos$\widehat {SAO}$ = $\frac{{AO}}{{SA}}$ = $\frac{a}{{2a}}$ = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\widehat {SAO}$ = 60°.

d) Sai. Vì SO ⊥ (ABC) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SM trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng OM

⇒ (SM, (ABC)) = (SM, OM) = $\widehat {SMO}$

Trong tam giác đều ABC: OM = $\frac{1}{3}$AM = $\frac{1}{3} \cdot \frac{{\left( {a\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 }}{2}$ = $\frac{a}{2}$

Ta có: SO = $a\sqrt 3$

⇒ tan$\widehat {SMO}$ = $\frac{{SO}}{{OM}}$ = $\frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{a}{2}}}$ = 2$\sqrt 3$ ⇒ $\widehat {SMO}$ ≈ 73,9°.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông) và BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AE (vì AE ⊂ (SAB))

Lại có: vì E là hình chiếu của A trên SB nên AE ⊥ SB

Do đó AE ⊥ (SBC). Suy ra (AE, (SBC)) = 90°.

b) Sai. Vì F là hình chiếu của A trên SD nên AF ⊥ SD

Do CD ⊥ AD (ABCD là hình vuông), CD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) ⇒ CD ⊥ (SAD)

Vì AF ⊂ (SAD) nên AF ⊥ CD

Do SD và CD cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (SCD) ⇒ AF ⊥ (SCD)

⇒ (AF, (SCD)) = 90° ≠ 60°.

c) Đúng. Ta có: BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông), BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

Vì AB và SA cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (SAB) ⇒ BC ⊥ (SAB)

Mà AE ⊂ (SAB) ⇒ BC ⊥ AE

Vì AE vuông góc với hai đường thẳng BC và SB cắt nhau tại B và cùng thuộc mặt phẳng (SBC) ⇒ AE ⊥ (SBC)

Do đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (SBC) là đường thẳng SE

Mà SE ⊂ SB ⊂ (SBC)

⇒ (SA, (SBC)) = $\widehat {ASB}$

Xét △SAB vuông A có: SA = AB = a ⇒ △SAB vuông cân A

⇒ $\widehat {ASB}$ = 45°

d) Sai. Theo câu a, AE ⊥ (SBC)

Vì SC ⊂ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC (1)

Theo câu b), AF ⊥ (SCD)

Vì SC ⊂ (SCD) ⇒ AF ⊥ SC (2)

Từ (1), (2) ⇒ SC ⊥ (AEF) ⇒ (SC, (AEF)) = 90°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Do SA ⊥ (ABC) tại A nên A là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC)

Điểm B ∈ (ABC) nên hình chiếu của B lên (ABC) là chính nó

Do đó, AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC)

⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc $\widehat {SBA}$.

b) Đúng. △SAB vuông tại A (do SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AB)

Mặt khác, SA = a và AB = a nên △SAB vuông cân tại A

Do đó, $\widehat {SBA}$ = 45°

Vậy số đo góc giữa SB và (ABC) bằng 45°.

c) Sai. Vì A là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

⇒ AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC)

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) phải là góc $\widehat {SCA}$.

d) Đúng. Theo câu c), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc $\widehat {SCA}$

Xét △ABC vuông cân tại B có AB = BC = a: AC = $\sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$

Xét △SAC vuông tại A: tan$\widehat {SCA}$ = $\frac{{SA}}{{AC}}$ = $\frac{a}{{a\sqrt 2 }}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Đáp án: 60

Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $\widehat {SCA}$

Xét tam giác ABC vuông tại B:

AC = $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}}$ = $\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}$ = $a\sqrt 5$ (định lý Pytago)

Vì SA ⊥ (ABCD), AC ⊂ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC ⇒ Tam giác SAC vuông tại A

Xét tam giác SAC vuông tại A: tan$\widehat {SCA}$ = $\frac{{SA}}{{AC}}$ = $\frac{{a\sqrt {15} }}{{a\sqrt 5 }}$ = $\sqrt 3$ ⇒ $\widehat {SCA}$ = 60°.

Đáp án: 30

Do ABCD là hình vuông nên AD ⊥ AB

Mặt khác, SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD

Từ AD ⊥ AB và AD ⊥ SA ⇒ AD ⊥ (SAB) tại A

Do đó, A là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SAB)

Vì S ∈ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (SAB) là đoạn thẳng SA

⇒ Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) là góc $\widehat {DSA}$

Xét △SAD vuông tại A (do SA ⊥ AD), ta có:

tan$\widehat {DSA}$ = $\frac{{AD}}{{SA}}$ = $\frac{a}{{a\sqrt 3 }}$ = $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ ⇒ $\widehat {DSA}$ = 30°.

Đáp án: 45

Vì hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và các cạnh đều bằng a, nên S cách đều bốn đỉnh A, B, C, D. Do đó S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) đi qua tâm O của hình vuông ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Mà AC, BD ⊂ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

Lại có SO ⊂ (SBD), nên SO là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (SBD)

Do đó, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) là $\widehat {ASO}$

Xét tam giác SAC, ta có: SA$^{2}$ + SC$^{2}$ = a$^{2}$+ a$^{2}$ = 2a$^{2}$ = ${\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}$ = AC$^{2}$ và SA = SC

⇒ Tam giác SAC vuông cân tại S (áp dụng định lý Pytago đảo)

Do O là trung điểm của AC, nên trong tam giác vuông SAC, O là trung điểm của cạnh huyền AC ⇒ SO = AO = $\frac{{AC}}{2}$ ⇒ tam giác SAO vuông cân tại O ⇒ $\widehat {ASO}$ = 45°.

Đáp án: 38

Gọi S là đỉnh của kim tự tháp, ABCD là đáy hình vuông, O là tâm của hình vuông đáy

Theo giả thiết, SO ⊥ (ABCD), SO = 100 m

Vì O là tâm hình vuông cạnh 180 m: OA = $\frac{{AC}}{2}$ = $\frac{{180\sqrt 2 }}{2}$ == $90\sqrt 2$ (m)

Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AO

⇒ Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) là $\widehat {SAO}$

Vì SO ⊥ (ABCD), AO ⊂ AC ⊂ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AO ⇒ △SAO vuông tại O

Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có: tan$\widehat {SAO}$ = $\frac{{SO}}{{OA}}$ = $\frac{{100}}{{90\sqrt 2 }}$ = $\frac{{5\sqrt 2 }}{9}$ ⇒ $\widehat {SAO}$ ≈ 38°.

Vậy góc giữa cạnh bên và mặt đáy của kim tự tháp đó bằng xấp xỉ 38°.

Đáp án: 45

Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

⇒ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $\widehat {SCA}$

Xét tam giác ACD vuông tại C: AC = $\sqrt {A{D^2} - C{D^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}$ = $a\sqrt 3$

Vì SA ⊥ (ABCD), AC ⊂ (ABCD), SA = AC = $a\sqrt 3$ ⇒ tam giác SAC vuông cân tại A

⇒ $\widehat {SCA}$ = 45°

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.