Bài tập Xác định tính chẵn, lẻ; tính tuần hoàn, chu kì của hàm số lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số y = f(x) = cos x.

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(–x) = cos(–x) = cos x = f(x), ∀x ∈ ℝ.

Vậy y = cos x là hàm số chẵn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số y = f(x) = x sin x.

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = (– x) sin (– x) = xsinx = f(x), ∀x ∈ ℝ.

Vậy y = xsinx là hàm số chẵn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

+) Xét đáp án A: đặt y = g(x) = 2x$^{2}$ + x.

Ta có: g(– x) = 2 ∙ (–x)$^{2}$ + (– x) = 2x$^{2}$ – x.

Ta thấy g(– x) ≠ g(x) và g(– x) ≠ – g(x), do vậy y = 2x$^{2}$ + x không chẵn, không lẻ.

+) Hàm số $y=\frac{s\text{inx}}{x}$ và y = xtan2x là hàm số chẵn trên tập xác định D của nó với D ≠ ℝ.

Do đó, loại đáp án B và D.

+) Xét hàm số y = f(x) = sin$^{2}$ x:

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin$^{2}$(– x) = [– sin x]$^{2}$ = sin$^{2}$x = f(x), ∀x ∈ ℝ.

Vậy y = sin$^{2}$x là hàm số chẵn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $y=f(x)=\frac{s{\text{in}}^{5}\text{x}}{x}$:

Tập xác định của hàm số là D = ℝ\{0}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: $f(-x)=\frac{{\sin }^{5}(-x)}{(-x)}=\frac{{\sin }^{5}x}{x}=f(x)$, ∀x ∈ D.

Vậy $y=\frac{s{\text{in}}^{5}\text{x}}{x}$ là hàm số chẵn trên D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

+) Hàm số y = 1 là hàm chẵn trên ℝ.

+) Hàm số y = |x| tan$^{2}$x là hàm chẵn trên $D=ℝ\backslash \{\frac{π}{2}+kπ|k\in ℤ\}$.

+) Các hàm số y = sin2x; y = xcosx là hàm số lẻ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét từng mệnh đề:

i) Trên ℝ, y = sin2x có tập giá trị là [–1; 1]. Vậy i) đúng.

ii) Trên $[0;\frac{π}{2}]$, y = sinx có tập giá trị là [0; 1]. Vậy ii) sai.

iii) Xét hàm số y = f(x) = xsinx.

Tập xác định của hàm số y = xsinx là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(–x) = (–x)sin(–x) = xsinx = f(x), ∀x ∈ D.

Vậy y = xsinx là hàm số chẵn. Do đó iii) đúng.

iv) Xét hàm số y = g(x) = x sin$^{2}$x.

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: g(–) = (– x) sin$^{2}$(– x) = – x sin$^{2}$ x = – g(x), ∀x ∈ D.

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Do đó iv) đúng.

Do đó có 3 mệnh đề đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = sinx có tập xác định là ℝ và với mọi số thực x, ta có:

x – 2π ∈ ℝ, x + 2π ∈ ℝ,

sin(x + 2π) = sin x.

Vậy y = sinx là hàm số tuần hoàn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π.

Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2π}{2}=π$.

Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π.

Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π.

Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2π}{2}=π$.

Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì π.

Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = 1 – 5cos2x tuần hoàn với chu kì $\frac{2π}{2}=π$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì T$_{1}$ = 2π.

Hàm số $y=\tan \frac{x}{3}$ tuần hoàn với chu kì T$_{2}$ = 3π.

Vậy hàm số $y=\sin x+\tan \frac{x}{3}$ tuần hoàn với chu kì T = 6π.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y = 4sinxcosx + 5 = 2sin2x + 5.

Vậy hàm số y = 4sinxcosx + 5 tuần hoàn với chu kì $\frac{2π}{2}=π$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

+ Hai hàm số y = 2cosx và $y=\cot \frac{x}{2}$ có cùng chu kì tuần hoàn là 2π.

+ Hàm số y = –3sinx có chu kì là 2π, hàm số y = tan2x có chu kì là $\frac{π}{2}$.

+ Hai hàm số $y=\sin \frac{x}{2}$ và $y=\cos \frac{x}{2}$ có cùng chu kì là 4π.

+ Hai hàm số y = 2tan(2x – 10) và y = cot (2x – 10) có cùng chu kì là $\frac{π}{2}$.

Đáp án đúng là: D

+) Xét hàm số y = f(x) = sin2x.

Tập xác định: D = ℝ. Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = sin(-2x) = -sin2x = -f(x)

Do đó, f(x) là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = f(x) = xcosx

Tập xác định: D = ℝ. Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = (-x)cos(-x) = -xcosx = -f(x)

Do đó, f(x) là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = f(x) = cosxcotx.

Tập xác định: D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = cos(-x)cot(-x) = -cosxcotx = -f(x)

Do đó, f(x) là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = f(x) = $\frac{{\tan x}}{{\sin x}}$

Tập xác định: D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = $\frac{{\tan \left( { - x} \right)}}{{\sin \left( { - x} \right)}} = \frac{{ - \tan x}}{{ - \sin x}} = \frac{{\tan x}}{{\sin x}}$ = f(x).

Do đó, f(x) là hàm số chẵn.

Đáp án đúng là: B

+) Xét hàm số f(x) = $\frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}}$.

Tập xác định: D = ℝ. Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = $\frac{{\cos \left( { - 2x} \right)}}{{1 + {{\sin }^2}\left( { - 3x} \right)}} = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}}$ = f(x)

Do đó, f(x) là hàm số chẵn.

+) Xét hàm số g(x) = $\frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}$.

Tập xác định: D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: g(-x) = $\frac{{\left| {\sin \left( { - 2x} \right)} \right| - \cos \left( { - 3x} \right)}}{{2 + {{\tan }^2}\left( { - x} \right)}} = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}$ = g(x)

Do đó, g(x) là hàm số chẵn.

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: D = ℝ; x + 2π ∈ D; x - 2π ∈ D; ∀x ∈ D.

Ta có: y = $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3} + 2\pi } \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$. Do đó, T = 2π.

Đáp án đúng là: A

Chu kì tuần hoàn của hàm số y = sin2x là T = $\frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi$.

Đáp án đúng là: B

Hai hàm số y = cosx và y = cot$\frac{x}{2}$ có cùng chu kì là 2π.

Hai hàm số y = sinx có chu kì là 2π và y = tan2x có chu kì là $\frac{\pi }{2}$.

Hai hàm số y = sin$\frac{x}{2}$ và y = cos$\frac{x}{2}$ có cùng chu kì là 4π.

Hai hàm số y = tan2x và y = cot2x có cùng chu kì $\frac{\pi }{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

b) Sai. Ta có f(-π) = sin$^{2}$(-π) + cos(-π) – 1 = -2

-f(π) = -(sin$^{2}$(π) + cosπ - 1) = 2.

Do đó f(-π) ≠ -f(π).

c) Đúng. Với mọi x ∈ D, ta có: -x ∈ D và f(-x) = sin$^{2}$(-x) + cos(-x) – 1 = sin$^{2}$x + cosx – 1 = f(x).

d) Đúng. Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

b) Đúng. Với mọi x ∈ D thì x ± 2π ∈ D và f(x + 2π) = 2cos(x + 2π) + 1 = 2cosx + 1 = f(x). Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

c) Sai. Tập xác định của hàm số f(x) là: D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

d) Sai. Với mọi x ∈ D thì x ± 2π ∈ D và g(x + 2π) = sin(x + 2π) + tan(x + 2π) = sinx + tanx = g(x). Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

b) Sai. Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x) = $\sqrt {5 - 3{{\sin }^2}\left( { - x} \right)} = \sqrt {5 - 3{{\sin }^2}x}$ = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Đúng. Tập xác định của hàm số g(x) là D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

d) Sai. Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D và g(-x) = tan(-x) – (-x)cos(-x) = -tanx + xcosx = -g(x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số f(x) là D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Sai. Với mọi x ∈ D thì x π ∈ D và f(x + π) = tan(x + π) = tanx = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

c) Đúng. Tập xác định của hàm số g(x): D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

d) Đúng. Với mọi x ∈ D thì x π ∈ D và

g(x + π) = ${\cot ^2}\left( {x + \pi } \right) - \frac{{\sin 2\left( {x + \pi } \right)}}{2} = {\cot ^2}x - \frac{{\sin 2x}}{2}$ = g(x). Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số f(x) là: D = ℝ.

b) Đúng. Với mọi x = D thì -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = 2cos(-3x) – 1 = 2cos3x – 1 = f(x).

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Đúng. Tập xác định của hàm số f(x) là: D = ℝ.

d) Sai. Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = |2sin(-x) + 2| + |2sin(-x) – 2| = |-2sinx + 2| + |-2sinx – 2| = |2sinx – 2| + |2sinx + 2| = f(x).

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Đáp án: 2.

Ta có: y = 2025 – sinxcosx = 2025 - $\frac{1}{2}\sin 2x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Do đó, m = n = 1 => m + n = 1 + 1 = 2.

Đáp án: 12,6.

Hàm số y = 3cos(2x + 1) tuần hoàn với chu kì T$_{1}$ = $\frac{{2\pi }}{2} = \pi$.

Hàm số y = -2sin$\left( {\frac{x}{2} - 3} \right)$ tuần hoàn với chu kì T$_{2}$ = $\frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi$.

Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T = 4π ≈ 12,6.

Đáp án: 52.

Hàm số y = $- \frac{1}{2}\sin \left( {100x + 50\pi } \right)$ tuần hoàn với chu kì T = $\frac{{2\pi }}{{100}} = \frac{\pi }{{50}}$.

Do đó, m = 1, n = 50 => 2m + n = 21 + 50 = 52.

Đáp án: 9,4.

Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì T$_{1}$ = π.

Hàm số y = tan$\left( {\frac{x}{3}} \right)$ tuần hoàn với chu kì T$_{2}$ = 3π.

Suy ra hàm số y = sin2x + tan$\left( {\frac{x}{3}} \right)$ tuần hoàn với chu kì 3π ≈ 9,4

Đáp án: 2

Tập xác định: D = ℝ.

Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D. Để hàm số f(x) là hàm số chẵn thì f(-x) = f(x), ∀x ∈ ℝ.

Ta có: f(-x) = cos(-2x) + (m$^{2}$ – 1)sin(-x) = cos2x – (m$^{2}$ – 1)sinx

Do đó: f(-x) = f(x)

⇔ cos2x – (m$^{2}$ – 1)sinx = cos2x + (m$^{2}$ – 1)sinx

⇔ -2(m$^{2}$ – 1)sinx = 0, ∀ x ∈ ℝ.

⇔ (m$^{2}$– 1)sinx = 0.

Do đó m$^{2}$ – 1 = 0 ⇔ m = 1.

Vậy m ∈ {-1; 1}. Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.