Bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Thay x$_{1}$ = 3 vào phương trình x$^{2}$ + (2m + 1)x + 3m = 0, ta được:

3$^{2}$ + (2m + 1).3 + 3m = 0

9 + 6m + 3 + 3m = 0

9m = –12

$m = \frac{{ - 4}}{3}.$

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1}{x_2} = 3m = 3 \cdot \frac{{ - 4}}{3} = - 4.$

Hay 3.x$_{2}$ = –4 nên ${x_2} = - \frac{4}{3}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mx$^{2}$ – 2(m + 1)x + m + 3 = 0 là phương trình bậc hai khi m ≠ 0.

Thay x = –2 vào phương trình, ta được:

m.(–2)$^{2}$ – 2.(m + 1).(–2) + m + 3 = 0

4m + 4m + 4 + m + 3 = 0

9m = –7

$m = - \frac{7}{9}$ (thỏa mãn m ≠ 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Vì x = –2 là nghiệm của phương trình x$^{2}$ – 3mx + m = 0 nên ta có:

(–2)$^{2}$ – 3m.(–2) + m = 0

4 + 6m + m = 0

7m = –4

$m = - \frac{4}{7}.$

Theo định lí Viète, ta có: tích hai nghiệm của phương trình là $- 2 \cdot a = m,$ suy ra $- 2a = - \frac{4}{7},$ nên $a = \frac{2}{7}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Phương trình x$^{2}$ – mx + m – 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = (–m)$^{2}$ – 4.1.(m – 2) = m$^{2}$ – 4m + 8 = (m – 2)$^{2}$ + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right..$

Theo bài, $x_1^2 + x_2^2 = 7$

(x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ – 2x$_{1}$x$_{2}$ = 7

m$^{2}$ – 2.(m – 2) = 7

m$^{2}$ – 2m + 4 = 7

m$^{2}$ – 2m – 3 = 0

m = –1 hoặc m = 3.

Tổng các giá trị của m bằng (–1) + 3 = 2.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x$^{2}$ – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [– (m – 2)]$^{2}$ – 1.(2m – 5) = m$^{2}$ – 4m + 4 – 2m + 5

= m$^{2}$ – 6m + 9 = (m – 3)$^{2}$ ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..$

Theo bài, x$_{1}$(1 – x$_{2}$) + x$_{2}$(1 – x$_{1}$) < 4

x$_{1}$ – x$_{1}$x$_{2}$ + x$_{2}$ – x$_{1}$x$_{2}$ < 4

(x$_{1}$ + x$_{2}$) – 2x$_{1}$x$_{2}$ < 4

2(m – 2) – 2.(2m – 5) < 4

2m – 4 – 4m + 10 < 4

–2m < –2

m > 1.

Vậy ta chọn phương án B.

>>>>>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình x$^{2}$ + 2(m – 1)x – m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x, có:

∆' = (m – 1)$^{2}$ – 1.(–m) = m$^{2}$ – 2m + 1 + m

= m$^{2}$ – m + 1 = ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right..$

Khi đó,

$A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}$

= [–2(m – 1)]$^{2}$ – 3.(–m)

= 4m$^{2}$ – 8m + 4 + 3m

= 4m$^{2}$ – 5m + 4

$$= {\left( {2m} \right)^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{5}{4} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}$$

$$= {\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}$$

Với mọi m ta luôn có ${\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} \ge 0,$ suy ra ${\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}} \ge \frac{{39}}{{16}}.$

Do đó $A \ge \frac{{39}}{{16}}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} = 0,$ hay $2m - \frac{5}{4} = 0,$ nên $m = \frac{5}{8}.$

Vậy $m = \frac{5}{8}$ thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{{39}}{{16}}.$

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình x$^{2}$ – 2(m + 1)x + 4m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [–(m + 1)]$^{2}$ – 1.4m = m$^{2}$ + 2m + 1 – 4m

= m$^{2}$ – 2m + 1 = (m – 1)$^{2}$ ≥ 0 với mọi m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ thì ∆' > 0, tức là (m – 1)$^{2}$ > 0, nên (m – 1)$^{2}$ ≠ 0, suy ra m ≠ 1.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x = \frac{{m + 1 + m - 1}}{1} = 2m;\,\,x = \frac{{m + 1 - \left( {m - 1} \right)}}{1} = 2.$

Trường hợp 1. Xét x$_{1}$ = 2m và x$_{2}$ = 2, thay vào x$_{1}$ = –3x$_{2}$, ta được:

2m = –3.2, suy ra m = –3 (thỏa mãn).

Trường hợp 2. Xét x$_{1}$ = 2 và x$_{2}$ = 2m thay vào x$_{1}$ = –3x$_{2}$, ta được:

2 = –3.2m. suy ra $m = - \frac{1}{3}$ (thỏa mãn).

Do đó $m \in \left\{ { - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.$

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x$^{2}$ – (2m – 1)x + m$^{2}$ – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = [–(2m – 1)]$^{2}$ – 4.1.(m$^{2}$ – 1) = 4m$^{2}$ – 4m + 1 – 4m$^{2}$ + 4 = 5 – 4m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ thì ∆ > 0, tức là 5 – 4m > 0, hay $m < \frac{5}{4}.$

Theo định lí Viète ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..$

Ta có (x$_{1}$ – x$_{2}$)$^{2}$ = (x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ – 4x$_{1}$x$_{2}$

= (2m – 1)$^{2}$ – 4.(m$^{2}$ – 1)

= 4m$^{2}$ – 4m + 1 – 4m$^{2}$ + 4

$^{= 5 – 4m.}$

Theo bài, (x$_{1}$ – x$_{2}$)$^{2}$ = x$_{1}$ – 3x$_{2}$ nên x$_{1}$ – 3x$_{2}$ = 5 – 4m, suy ra x$_{1}$ = 3x$_{2}$ + 5 – 4m.

Thay vào (1), ta được:

3x$_{2}$ + 5 – 4m + x$_{2}$ = 2m – 1 hay 4x$_{2}$ = 6m – 6 nên ${x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}.$

Từ đó ta có ${x_1} = 3 \cdot \frac{{3m - 3}}{2} + 5 - 4m = \frac{{9m - 9}}{2} + \frac{{10 - 8m}}{2} = \frac{{m + 1}}{2}.$

Thay ${x_1} = \frac{{m + 1}}{2}$ và ${x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}$ vào (2) ta được:

$\frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3m - 3}}{2} = {m^2} - 1$

3m$^{2}$ – 3m + 3m – 3 = 4m$^{2}$ – 4

m$^{2}$ = 1

m = 1 hoặc m = –1 (thỏa mãn điều kiện).

Mà m là số nguyên dương, nên ta chọn m = 1.

Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x$^{2}$ – 2x + m – 3 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = (–1)$^{2}$ – 1.(m – 3) = 1 – m + 3 = 4 – m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ thì ∆' > 0, tức là 4 – m > 0, hay m < 4.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..$

Do x$_{1}$ là nghiệm của phương trình nên ta có:

$x_1^2 - 2{x_1} + m - 3 = 0,$ suy ra $x_1^2 = 2{x_1} - m + 3.$

Thay $x_1^2 = 2{x_1} - m + 3$ vào biểu thức $x_1^2 + {x_1}{x_2} = 2{x_2} - 12,$ ta được:

2x$_{1}$ – m + 3 + x$_{1}$x$_{2}$ = 2x$_{2}$ – 12

2(x$_{1}$ – x$_{2}$) = –x$_{1}$x$_{2}$ + m – 15

2(x$_{1}$ – x$_{2}$) = –(m – 3) + m – 15

2(x$_{1}$ – x$_{2}$) = –12

x$_{1}$ – x$_{2}$ = –6

x$_{1}$ = x$_{2}$ – 6.

Thay x$_{1}$ = x$_{2}$ – 6 vào (1), ta được:

x$_{2}$ – 6 + x$_{2}$ = 2, hay 2x$_{2}$ = 8, nên x$_{2}$ = 4.

Suy ra x$_{1}$ = x$_{2}$ – 6 = 4 – 6 = –2.

Thay x$_{1}$ = –2 và x$_{2}$ = 4 vào (2), ta được:

–2.4 = m – 3, hay m – 3 = –8 nên m = –5 (thõa mãn).

Vậy có 1 giá trị của m là m = –5 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

</>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x$^{2}$ – 2mx + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

$\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = {m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi m.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right..$

⦁ Để tồn tại $\sqrt {{x_1}} ,\,\,\sqrt {{x_2}}$ thì ta cần có ${x_1} \ge 0,\,\,{x_2} \ge 0$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} \ge 0\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}2m \ge 0\\m - 1 \ge 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \ge 1\end{array} \right.$ nên m ≥ 1.

⦁ Với m ≥ 1, ta có:

$\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 2$ nên ${\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = 4$ hay ${x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 4$

Suy ra:

$2m + 2\sqrt {m - 1} = 4$

$2\sqrt {m - 1} = 4 - 2m$

$\sqrt {m - 1} = 2 - m\,\,\,\left( * \right)$

Để giải được phương trình trên, ta bình phương hai vế, tuy nhiên cần điều kiện hai vế không âm, tức là 2 – m ≥ 0 hay m ≤ 2.

Kết hợp 2 điều kiện, ta được: 1 ≤ m ≤ 2.

Với 1 ≤ m ≤ 2, bình phương hai vế phương trình (*) ta được:

m – 1 = (2 – m)$^{2}$

m – 1 = 4 – 4m + m$^{2}$

m$^{2}$ – 5m + 5 = 0 (**)

Phương trình (**) có ∆$_{m}$ = (–5)$^{2}$ – 4.1.5 = 25 – 20 = 5 > 0.

Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

$$m = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2};\,\,m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.$$

Kết hợp điều kiện 1 ≤ m ≤ 2, ta có $m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.$

Vậy có 1 giá trị của m là $m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: D

Vì $\frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3 < 0$ nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = –m; x$_{1}$x$_{2}$ = –3.

Vì x$_{1}$ + x$_{2}$ = 3x$_{1}$x$_{2}$nên–m = 3.(–3), suy ra m = 9.

Vậy m = 9 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\Delta$ = (–m)$^{2}$ – 4.1.(–1) = m$^{2}$ + 4 > 0 với mọi giá trị của m.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = m; x$_{1}$x$_{2}$ = –1.

Vì x$_{1}$ + x$_{2}$ + 4x$_{1}$x$_{2}$ = 0 nên m + 4.(–1) = 0, suy ra m = 4.

Vậy m = 4 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\Delta$ = (–3)$^{2}$ – 4.1.1 = 5 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = 3; x$_{1}$x$_{2}$ = 1.

Vì x$_{1}$ + x$_{2}$ – mx$_{1}$x$_{2}$ = m + 1 nên m + 1 = 3 – m.1, suy ra m = 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\Delta$ = (–1)$^{2}$ – 4.2.m = 1 – 8m.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta$ = 1 – 8m > 0, suy ra ${\rm{m}} < \frac{1}{8}.$

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2};\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{m}}}{2}.$

Vì x$_{1}$ + mx$_{1}$x$_{2}$ > –x$_{2}$nên x$_{1}$ + x$_{2}$ + mx$_{1}$x$_{2}$ > 0 (2).

Thay ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2};\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{m}}}{2}$ vào (2) ta có: $\frac{1}{2} + {\rm{m}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{2} > 0$, suy ra m$^{2}$ + 1 > 0 (luôn đúng).

Vậy với ${\rm{m}} < \frac{1}{8}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\Delta$’ = (–m)$^{2}$ – (–m$^{2}$) = 2m$^{2}$.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta$’ = 2m$^{2}$ > 0, suy ra m ≠ 0 (*).

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = 2m, x$_{1}$x$_{2}$ = –m$^{2}$.

Vì x$_{1}$ = 2 – x$_{2}$ nên x$_{1}$+ x$_{2}$ = 2. Suy ra 2m = 2 nên m = 1 (thỏa mãn (*)).

Vậy x$_{1}$x$_{2}$ = –1.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì a – b + c = 1 – (3m$^{2}$ + 1) + 3m$^{2}$ = 0 nên phương trình (1) có nghiệm là x = –1.

Vậy phương trình (1) luôn có một nghiệm là x = –1.

b) Sai.

Nghiệm còn lại của phương trình (1) là ${\rm{x}} = - \frac{{3{{\rm{m}}^2}}}{1} = - 3{{\rm{m}}^2} \le 0$ với mọi m.

Theo a), phương trình (1) luôn có một nghiệm là x = –1.

Vậy phương trình (1) không có hai nghiệm trái dấu.

c) Đúng.

Vì x$_{1}$≠ –1 nên phương trình (1) có x$_{1}$ = –3m$^{2}$ và x$_{2}$ = –1.

d) Đúng.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì –3m$^{2}$≠ –1 nên ${\rm{m}} \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ và ${\rm{m}} \ne \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}$ (*).

Thay x$_{1}$ = –3m$^{2}$ và x$_{2}$ = –1 vào ${\rm{x}}_2^2 - {{\rm{x}}_1} = 5$ ta có:

(–1)$^{2}$ – (–3m$^{2}$) = 5

3m$^{2}$ = 4

${\rm{m}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$ hoặc ${\rm{m}} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}$ (thỏa mãn (*)).

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình (1) có $\Delta$ = (–m)$^{2}$ – 4.1.(m – 1) = m$^{2}$ – 4m + 4 = (m – 2)$^{2}$.

Để phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta$ = (m – 2)$^{2}$ > 0, suy ra m – 2 ≠ 0 nên m ≠ 2.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi m ≠ 2 (*).

b) Đúng.

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = –(–m) = m; x$_{1}$x$_{2}$ = m – 1.

Vậy phương trình (1) có x$_{1}$+ x$_{2}$ = m; x$_{1}$x$_{2}$ = m – 1.

c) Đúng.

2(x$_{1}$ + x$_{1}$x$_{2}$) = 8 – 2x$_{2}$

2x$_{1}$ + 2x$_{2}$ + x$_{1}$x$_{2}$ = 8

2(x$_{1}$ + x$_{2}$) + x$_{1}$x$_{2}$= 8 (3).

Vậy phương trình (2) đưa được về phương trình 2(x$_{1}$ + x$_{2}$) + x$_{1}$x$_{2}$= 8.

d) Sai.

Thay x$_{1}$+ x$_{2}$ = m; x$_{1}$x$_{2}$ = m – 1 vào (3) ta có:

2m + m – 1 = 8

3m = 9

m = 3 (thỏa mãn (*)).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: $\Delta ' = {\left( {{\rm{m}} - 1} \right)^2} - 1\left( {{\rm{m}} - 9} \right) = {{\rm{m}}^2} - 3{\rm{m}} + 10 = {\left( {{\rm{m}} - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0\;\,\forall {\rm{m}}{\rm{.}}$

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Sai.

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = – [–2(m – 1)] = 2m – 2, x$_{1}$x$_{2}$ = m – 9.

Vậy phương trình (1) có x$_{1}$+ x$_{2}$ = 2m – 2, x$_{1}$x$_{2}$ = m – 9.

c) Đúng.

Ta có: M = x$_{1}$ – x$_{1}$x$_{2}$ + x$_{2}$ – x$_{1}$x$_{2}$ = x$_{1}$+ x$_{2}$ – 2x$_{1}$x$_{2}$.

Vậy M = x$_{1}$+ x$_{2}$ – 2x$_{1}$x$_{2}$.

d) Đúng.

Thay x$_{1}$+ x$_{2}$ = 2m – 2, x$_{1}$x$_{2}$ = m – 9 vào M ta có:

M = 2m – 2 – 2(m – 9) = 2m – 2 – 2m + 18 = 16.

Vậy giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào tham số m.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Ta có $\Delta$’ = 1$^{2}$ – 1.1.3m= 1 – 3m.

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$; x$_{2}$ thì 1 – 3m > 0, suy ra ${\rm{m}} < \frac{1}{3}\;\,\left( * \right).$

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ${\rm{m}} < \frac{1}{3}.$

b) Sai.

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = –2, x$_{1}$x$_{2}$ = 3m.

Vậy phương trình (1) có x$_{1}$+ x$_{2}$ = –2, x$_{1}$x$_{2}$ = 3m.

c) Sai.

Theo b) ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = –2 nên x$_{1}$ = –2 – x$_{2}$.

Thay x$_{1}$ = –2 – x$_{2}$ vào 2x$_{1}$ + 3x$_{2}$ = 3 ta có:

2(–2 – x$_{2}$) + 3x$_{2}$ = 3

x$_{2}$ – 4 = 3

x$_{2}$ = 7.

Với x$_{2}$ = 7 thì x$_{1}$ = –2 – 7 = –9.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x$_{1}$ = –9; x$_{2}$ = 7.

d) Đúng.

Theo c) ta có: x$_{1}$ = –9; x$_{2}$ = 7 nên 3m = (–9).7, suy ra m = –21 (thỏa mãn (*)).

Vậy m = –21 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ thỏa mãn $\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = 6$ nên x$_{1}$≥ 0, x$_{2}$ ≥ 0.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.

b) Sai.

Phương trình (1) có $\Delta$’ = [–(m + 1)]$^{2}$ – 4m = m$^{2}$ + 2m + 1 – 4m = (m – 1)$^{2}$.

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt không âm thì $\Delta$’ > 0; x$_{1}$ + x$_{2}$ ≥ 0; x$_{1}$.x$_{2}$ ≥ 0.

+ Với $\Delta$’ > 0 thì (m – 1)$^{2}$ > 0 nên m – 1 ≠ 0, suy ra m ≠ 1 (*).

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = 2m + 2; x$_{1}$x$_{2}$ = 4m.

+ Với x$_{1}$ + x$_{2}$ ≥ 0 thì 2m + 2 ≥ 0 nên m ≥ –1 (**).

+ Với x$_{1}$x$_{2}$ ≥ 0 thì 4m ≥ 0 nên m ≥ 0 (***).

Từ (*), (**) và (***) ta có: m ≥ 0, m ≠ 1 (3).

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt không âm khi m ≥ 0, m ≠ 1.

c) Đúng.

$\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = \sqrt 2$

${\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = 2$

${{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0$.

Vậy phương trình (2) biến đổi được về phương trình ${{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0$.

d) Đúng.

Thay x$_{1}$+ x$_{2}$ = 2m + 2; x$_{1}$x$_{2}$ = 4m vào phương trình ${{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0$ ta có:

$2{\rm{m}} + 2 + 2\sqrt {4{\rm{m}}} - 2 = 0$

${\rm{m}} + 2\sqrt {\rm{m}} = 0$

$\sqrt {\rm{m}} \left( {1 + 2\sqrt {\rm{m}} } \right) = 0$

m = 0 (thỏa mãn (3)) hoặc $1 + 2\sqrt {\rm{m}} = 0$ (vô lí vì m ≥ 0, m ≠ 1).

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 1

Ta có: $\Delta$’ = 1$^{2}$ – 1.8m = 1 – 8m.

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$thì $\Delta$’ = 1 – 8m > 0, suy ra ${\rm{m}} < \frac{1}{8}\;\,\left( * \right).$

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$ + x$_{2}$ = –2; x$_{1}$x$_{2}$ = 8m.

Vì |x$_{1}$| + |x$_{2}$| = 4 nên ${\rm{x}}_1^{\rm{2}} + {\rm{x}}_2^2 + 2\left| {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} \right| = 16$, suy ra (x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ – 2x$_{1}$x$_{2}$ + 2|x$_{1}$x$_{2}$| = 16 (2).

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = –2; x$_{1}$x$_{2}$ = 8m vào (2) ta có

(–2)$^{2}$ – 2.8m + 2|8m| = 16, suy ra 4|m| – 4m – 3 = 0 (3).

Với m < 0 thì |m| = –m nên (3) trở thành: –4m – 4m – 3 = 0 nên ${\rm{m}} = \frac{{ - 3}}{8}$ (thỏa mãn (*)).

Với ${\rm{0}} < {\rm{m}} < \frac{1}{8}$ thì |m| = –m nên (3) trở thành: 4m – 4m – 3 = 0, suy ra 0 = 3 (vô lý).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 2

Ta có: $\Delta$’ = [–(m – 4)]$^{2}$ – 1.(–8m) = m$^{2}$ – 8m + 16 + 8m = m$^{2}$+ 16 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$với mọi m.

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$ + x$_{2}$ = 2(m – 4) = 2m – 8; x$_{1}$x$_{2}$ = –8m.

Ta có: ${\rm{A}} = {\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}.$

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = 2m – 8; x$_{1}$x$_{2}$ = –8m vào A ta có:

A = (2m – 8)$^{2}$ – 2(–8m)

= 4m$^{2}$ – 32m + 64 + 16m

= 4m$^{2}$ – 16m + 64 = (2m – 4)$^{2}$ + 48 ≥ 48 với mọi m.

Dấu “=” xảy ra khi 2m – 4 = 0, suy ra m = 2.

Vậy m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 2

Ta có: $\Delta$’ = [–2(m + 1)]$^{2}$ – 1.(8m + 3) = 4m$^{2}$ + 8m + 4 – 8m – 3 = 4m$^{2}$ + 1 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$với mọi m.

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$ + x$_{2}$ = 4m + 4; x$_{1}$x$_{2}$ = 8m + 3.

Thay x$_{1}$ = 3x$_{2}$ vào x$_{1}$ + x$_{2}$ = 4m + 4 ta có: 4x$_{2}$ = 4m + 4 nên x$_{2}$ = m + 1.

Với x$_{2}$ = m + 1 thì x$_{1}$ = 3m + 3.

Thay x$_{2}$ = m + 1, x$_{1}$ = 3m + 3 vào x$_{1}$x$_{2}$ = 8m + 3 ta có:

(m + 1)(3m + 3) = 8m + 3

3m$^{2}$ + 6m + 3 – 8m – 3 = 0

3m$^{2}$ – 2m = 0.

m(3m – 2) = 0

m = 0 hoặc 3m – 2 = 0

m = 0 hoặc ${\rm{m}} = \frac{2}{3}$.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 2

Ta có: $\Delta$ = [–(m – 4)]$^{2}$ – 4. (–3) = (m – 4)$^{2}$ + 12 > 0 với mọi giá trị của m.

Suy ra, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = m – 4; x$_{1}$x$_{2}$ = –3.

Vì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ là các số nguyên nên x$_{1}$x$_{2}$ là các số nguyên.

Ta có: –3 = (–3).1 = (–1).3.

TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm là x = 1; x = –3 ta có: m – 4 = 1 + (–3) nên m = 2.

TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm là x = –1; x = 3 ta có: m – 4 = (–1) + 3 nên m = 6.

Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 1

Ta có: $\Delta$ = (m – 1)$^{2}$ + 4(2m + 3) = m$^{2}$ – 2m + 1 + 8m + 12 = m$^{2}$ + 6m + 13 = (m + 3)$^{2}$ + 4.

Vì (m + 3)$^{2}$ + 4 > 0 với mọi giá trị m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vì a + b + c = 1 + m – 1 – 2m – 3 = –m – 3 ≠ 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm x$_{1}$≠ 0, x$_{2}$ ≠ 0.

Theo định lý Viète ta có: x$_{1}$+ x$_{2}$ = 1 – m; x$_{1}$x$_{2}$ = –2m – 3.

Ta có: $\frac{1}{{{{\rm{x}}_1} - 1}} + \frac{1}{{{{\rm{x}}_2} - 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}$

$\frac{{{{\rm{x}}_2} - 1 + {{\rm{x}}_1} - 1}}{{\left( {{{\rm{x}}_1} - 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} - 1} \right)}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}$

$\frac{{{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1} - 2}}{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} - \left( {{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1}} \right) + 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}\;\,\left( 2 \right)$

Thay x$_{1}$+ x$_{2}$ = 1 – m; x$_{1}$x$_{2}$ = –2m – 3 vào (2) ta có:

$\frac{{1 - {\rm{m}} - 2}}{{ - 2{\rm{m}} - 3 - \left( {1 - {\rm{m}}} \right) + 1}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}$

$\frac{{ - 1 - {\rm{m}}}}{{ - {\rm{m}} - 3}} = \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2}$ (với m ≠ –3 (*))

$\frac{{1 + {\rm{m}}}}{{{\rm{m}} + 3}} - \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2} = 0$

2(m + 1) – (m + 1)(m + 3) = 0

(m +1)(m + 3 – 2) = 0

(m +1)$^{2}$ = 0

m = –1 (thỏa mãn (*)).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.