Bài tập Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai và bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Phương trình x$^{2}$ – x + 5 = 0 có ∆ = (–1)$^{2}$ – 4.1.5 = –19 < 0 nên phương trình này vô nghiệm.

Phương trình x$^{2}$ – 6x + 25 = 0 có ∆' = (–3)$^{2}$ – 1.25 = –16 < 0 nên phương trình này vô nghiệm.

Phương trình –x$^{2}$ – 6x – 9 = 0 có ∆' = (–3)$^{2}$ – (–1).(–9) = 0 nên phương trình này có nghiệm kép.

Phương trình x$^{2}$ – 9x – 11 = 0 có ∆ = (–9)$^{2}$ – 4.1.(–11) = 125 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Vậy ta chọn phương án D.

>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình –x$^{2}$ – 4x + 4 = 0 có ∆' = (–2)$^{2}$ – (–1).4 = 8 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình x$^{2}$ – 4x – 4 = 0 có ∆' = (–2)$^{2}$ – 1.(–4) = 8 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình –x$^{2}$ + 4x – 4 = 0 có ∆' = 2$^{2}$ – (–1).(–4) = 0 nên phương trình này có nghiệm kép.

Phương trình –x$^{2}$ + 4x + 4 = 0 có ∆' = 2$^{2}$ – (–1).4 = 8 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

⦁ Phương trình x$^{2}$ – 5x + 4 = 0 có các hệ số a = 1, b = –5, c = 4.

Ta có ∆ = (–5)$^{2}$ – 4.1.4 = 9 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

⦁ Phương trình 3x$^{2}$ – 6x + 3 = 0 có các hệ số a = 3, b' = –3, c = 3.

Ta có ∆' = (–3)$^{2}$ – 3.3 = 0, nên phương trình đã cho có nghiệm kép.

⦁ Phương trình 3x$^{2}$ – 12x + 4 = 0 có các hệ số a = 3, b' = –6, c = 4.

Ta có ∆' = (–6)$^{2}$ – 3.4 = 24 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

⦁ Phương trình –3x$^{2}$ + 8x – 9 = 0 có các hệ số a = –3, b' = 4, c = –9.

Ta có ∆' = 4$^{2}$ – (–3).(–9) = –11 < 0, nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy ta chọn phương án D.

>

Đáp án đúng là: C

Phương trình:

5x$^{2}$ – x – 1 = x$^{2}$ – 4

5x$^{2}$ – x – 1 – x$^{2}$ + 4 = 0

4x$^{2}$ – x + 3 = 0.

Như vậy, phương trình đã cho đưa được về dạng phương trình bậc hai một ẩn ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) với a = 4, b = –1, c = 3.

Khi đó, ta có ∆ = (–1)$^{2}$ – 4.4.3 = –47 < 0, nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương án C là khẳng định sai, ta chọn phương án C.

>

Đáp án đúng là: B

Phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 1 giá trị nghiệm khi ∆ = 0 hoặc ∆' = 0.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x$^{2}$ – (2m + 1)x + m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆ = [–(2m + 1)]$^{2}$ – 4.1.m = 4m$^{2}$ + 4m + 1 – 4m = 4m$^{2}$ + 1.

Với mọi m ta luôn có m$^{2}$ ≥ 0 nên 4m$^{2}$ + 1 ≥ 1 > 0, hay ∆ > 0.

Do đó, với mọi m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là luôn có nghiệm với mọi m.

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình: (m – 1)x$^{2}$ + 3mx + 2m + 1 = 0. (1)

⦁ Nếu m = 1 thì phương trình (1) trở thành:

3x + 3 = 0, suy ra x = –1.

Như vậy, với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = –1. Trường hợp này thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Nếu m ≠ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆ = (3m)$^{2}$ – 4.(m – 1)(2m + 1) = 9m$^{2}$ – (8m$^{2}$ – 4m – 4) = m$^{2}$ + 4m + 4 = (m + 2)$^{2}$.

Với mọi m, ta luôn có (m + 2)$^{2}$ ≥ 0, hay ∆ ≥ 0.

Như vậy, với m ≠ 1, phương trình luôn có nghiệm.

Kết hợp hai trường hợp, ta có với mọi m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình: (m – 1)x$^{2}$ – 2(m – 4)x + m – 3 = 0 (1)

⦁ Nếu m = 1 thì phương trình (1) trở thành:

6x – 2 = 0, suy ra $x = \frac{1}{3}.$

Như vậy, với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{3}.$ Trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Nếu m ≠ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆' = [–(m – 4)]$^{2}$ – (m – 1)(m – 3) = m$^{2}$ – 8m + 16 – (m$^{2}$ – 4m + 3) = 13 – 4m.

Trong trường hợp này, để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆' < 0, tức là 13 – 4m < 0, suy ra $m > \frac{{13}}{4}.$>

Kết hợp với điều kiện m ≠ 1, ta được $m > \frac{{13}}{4}.$

Mà m là số nguyên tố có một chữ số nên m ∈ {5; 7}.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình: 2mx$^{2}$ – 4(m – 1)x + 1 = 0. (1)

⦁ Nếu m = 0 thì phương trình (1) trở thành:

4x + 1 = 0, suy ra $x = - \frac{1}{4}.$

Như vậy, với m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = - \frac{1}{4}.$ Trường hợp này thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Nếu m ≠ 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆' = [–2(m – 1)]$^{2}$ – 2m.1 = 4m$^{2}$ – 8m + 4 – 2m = 4m$^{2}$ – 10m + 4.

Trong trường hợp này, để phương trình (1) có một giá trị nghiệm thì ∆' = 0, tức là 4m$^{2}$ – 10m + 4 = 0 hay 2m$^{2}$ – 5m + 2 = 0.

Giải phương trình:

2m$^{2}$ – 5m + 2 = 0

2m$^{2}$ – 4m – m + 2 = 0

2m(m – 2) – (m – 2) = 0

(m – 2)(2m – 1) = 0

m – 2 = 0 hoặc 2m – 1 = 0

m = 2 (thỏa mãn m ≠ 0) hoặc $m = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn m ≠ 0).

Kết hợp 2 trường hợp, ta có $m \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,\frac{1}{2}} \right\}.$

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 2}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Phương trình:

(x$^{2}$ – 3x + m)(x – 1) = 0 (1)

x$^{2}$ – 3x + m = 0 hoặc x – 1 = 0

x$^{2}$ – 3x + m = 0 (2) hoặc x = 1.

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là phương trình (2) có ∆ > 0 và x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (2).

⦁ Phương trình (2) có: ∆ = (–3)$^{2}$ – 4.1.m = 9 – 4m.

Để ∆ > 0 thì 9 – 4m > 0, tức là $m < \frac{9}{4}.$

⦁ Để x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (2) thì:

1$^{2}$ – 3.1 + m ≠ 0, tức là m ≠ 2.

Kết hợp hai điều kiện trên, ta được: \(m

Mà m là số nguyên dương nên m = 1.

Vậy chỉ có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án B.

>

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $\Delta$ = 6 > 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Một phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm kép khi $\Delta$ = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là:A

Ta có: $\Delta$ = (–3)$^{2}$ – 4.5 = –11 < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy số nghiệm của phương trình x$^{2}$ – 3x + 5 = 0 là 0 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì x$^{2}$ + 4x = –4 nên x$^{2}$ + 4x + 4 = 0.

Ta có: $\Delta$ = 4$^{2}$ – 4.4 = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta$ > 0, do đó m – 6 > 0, suy ra m > 6.

Vậy m > 6 thì phương trình đó có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Xét phương trình (1) ta có: $\Delta$' = 4$^{2}$ – 4.(–1) = 20.

Vậy phương trình (1) có $\Delta$' = 20.

b) Sai.

Xét phương trình (2) ta có: $\Delta$ = 5$^{2}$ – 4.2.(–1) = 33.

Vậy phương trình (2) có $\Delta$ = 33.

c) Đúng.

Vì $\Delta$¢ = 20 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

d) Đúng.

Vì $\Delta$ = 33 > 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Xét phương trình (1): x$^{2}$ – 4x = 7 + 2x

x$^{2}$ – 4x – 7 – 2x = 0

x$^{2}$ – 6x – 7 = 0.

Vậy phương trình (1) đưa được về phương trình x$^{2}$ – 6x – 7 = 0.

b) Sai.

Phương trình (2) có $\Delta$ = (–5)$^{2}$ – 4.20 = –55.

Vậy phương trình (2) có $\Delta$ = –55.

c) Đúng.

Vì phương trình (2) có $\Delta$ = –55 < 0 nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình (2) vô nghiệm.

d) Sai.

Xét phương trình x$^{2}$ – 6x – 7 = 0 có $\Delta$' = (–3)$^{2}$ – 1.(–7) = 16 > 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Theo c) ta có phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình (2) có nhiều hơn phương trình (1) hai nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

mx$^{2}$ + x – 1 = x$^{2}$

mx$^{2}$ + x – 1 – x$^{2}$ = 0

(m – 1)x$^{2}$ + x – 1 = 0.

Vậy phương trình (1) đưa được về phương trình (m – 1)x$^{2}$ + x – 1 = 0.

b) Sai

Để phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn thì m – 1 $\neq$ 0, suy ra m $\neq$ 1.

Vậy với m $\neq$ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn.

c) Đúng.

Ta có: $\Delta$ = 1$^{2}$ – 4(m – 1)(–1) = 1 + 4m – 4 = 4m – 3.

Vậy $\Delta$ = 4m – 3.

d) Đúng.

TH1: Với m = 1 thì phương trình (1) trở thành (1 – 1)x$^{2}$ + x – 1 = 0

x – 1 = 0

x = 1.

Do đó, với m = 1 thì phương trình (1) có nghiệm x = 1.

TH2: Với m $\neq$ 1.

Để phương trình (1) là có nghiệm thì $\Delta$ ≥ 0.

4m – 3 ≥ 0

${\rm{m}} \ge \frac{3}{4}$.

Mà m là số tự nhiên nhỏ hơn 4 nên m $\in$ {1; 2; 3}.

Vậy có tất cả 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Phương trình (2) có: $\Delta$ = (–3)$^{2}$ – 4.2.1 = 1.

Vậy phương trình (2) có $\Delta$ = 1.

b) Sai.

Phương trình (1) có: $\Delta$ = 1$^{2}$ – 4.1.(–m) = 1 + 4m.

Vậy phương trình (1) có $\Delta$ = 1 + 4m.

c) Đúng.

Vì phương trình (2) có $\Delta$ = 1 > 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

d) Sai.

Để phương trình (1) và (2) có cùng số nghiệm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó, $\Delta$ = 1 + 4m > 0, suy ra ${\rm{m}} > \frac{{ - 1}}{4}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình (1) có $\Delta$ = m$^{2}$ – 4.(–3).5 = m$^{2}$ + 60.

Vậy phương trình (1) có $\Delta$ = m$^{2}$ + 60.

b) Sai.

Phương trình (2) có $\Delta$ = (–1)$^{2}$ – 4.2.(–m) = 1 + 8m.

Vậy phương trình (2) có $\Delta$ = 1 + 8m.

c) Đúng.

Phương trình (1) có $\Delta$ = m$^{2}$ + 60 > 0 với mọi m.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

d) Đúng.

Để hai phương trình có cùng số nghiệm thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

Do đó, 1 + 8m > 0, suy ra ${\rm{m}} > \frac{{ - 1}}{8}.$

Vậy để hai phương trình đã cho có cùng số nghiệm thì ${\rm{m}} > \frac{{ - 1}}{8}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Vì phương trình –x$^{2}$ + x + 4 = 0 có $\Delta$ = 1$^{2}$ – 4.(–1).4 = 17 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vì 2x$^{2}$ – 4x = 3 nên 2x$^{2}$ – 4x – 3 = 0

Vì phương trình 2x$^{2}$ – 4x – 3 = 0 có $\Delta$' = (–2)$^{2}$ – 2.(–3) = 10 > 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình đã cho là 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

TH1: Với m = 0 thì phương trình (1) trở thành: 0.x$^{2}$ + 5x – 4 = 0 nên ${\rm{x}} = \frac{4}{5}$.

TH2: Với m $\neq$ 0 ta có:

mx$^{2}$ + 5x – 4 = m

mx$^{2}$ + 5x – 4 – m = 0

Ta có: $\Delta$ = 5$^{2}$ + 4.m.(m + 4) = 4m$^{2}$ + 16m + 25 = (2m)$^{2}$ + 2.2m.4 + 4$^{2}$ + 9 = (2m + 4)$^{2}$ + 9.

Vì $\Delta$ = (2m + 4)$^{2}$ + 9 > 0 với mọi giá trị của m nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Phương trình 3x$^{2}$ + 4x – 5 = 0 có $\Delta$' = 2$^{2}$ – 3.(–5) = 19 > 0 nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt.

Để hai phương trình đã cho có cùng số nghiệm thì phương trình –x$^{2}$ – 4x + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra $\Delta$' = (–2)$^{2}$ – (–1).(m – 2) > 0, suy ra 4 + m – 2 > 0. Do đó, m > –2.

Mà m là số nguyên âm nên m = –1.

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Phương trình x$^{2}$ + 4x + 4 = 0 có $\Delta$' = 2$^{2}$ – 1.4 = 0 nên phương trình đó một nghiệm kép.

Để 2 phương trình có cùng số nghiệm thì phương trình x$^{2}$ + mx + 9 = 0 có 1 nghiệm kép.

Do đó, $\Delta$ = m$^{2}$ – 4.1.9 = 0, suy ra m = 6 hoặc m = –6.

Vậy có tất cả 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Phương trình x$^{2}$ – 2x – m$^{2}$ = 0 có $\Delta$' = (–1)$^{2}$ – 1.(–m$^{2}$) = 1 + m$^{2}$ > 0 với mọi giá trị của m nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt.

Vì 3x$^{2}$ = x + 2m$^{2}$ nên –3x$^{2}$ + x + 2m$^{2}$ = 0.

Phương trình –3x$^{2}$ + x + 2m$^{2}$ = 0 có $\Delta$ = 1$^{2}$ – 4.(–3).2m$^{2}$ = 1 + 24m$^{2}$ > 0 với mọi giá trị của m nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình x$^{2}$ – 2x – m$^{2}$ = 0 có nhiều hơn phương trình 3x$^{2}$ = x + 2m$^{2}$ 0 nghiệm.