Bài tập Xác định các điểm mà đường thẳng đi qua lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Thay x = 2; y = 2 vào (d) được:

2(m – 1).2 – 2m = 2

4m – 2 – 2m = 2

2m = 4

m = 2.

b) Sai.

Thay m = 4 vào (d) được: 2(4 – 1)x – 2.4 = y suy ra 6x – y = 8.

Với x = 1; y = 2 thì ta có 6.1 – 2 = 4 ≠ 8.

Do đó với m = 4 thì (d) không đi qua B(1; 2).

c) Đúng.

Gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua, ta có:

y$_{0}$ = 2(m – 1)x$_{0}$ – 2m

2mx$_{0}$ – 2x$_{0}$ – 2m – y$_{0}$ = 0

2m(x$_{0}$ – 1) – 2x$_{0}$ – y$_{0}$ = 0

Vì (d) đi qua M cố định với mọi m nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 0\\ - 2{x_0} - {y_0} = 0\end{array} \right.$, suy ra x$_{0}$ = 1 và y$_{0}$ = −2.

Vậy M(1; −2) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.

d) Sai.

Thay x = 1; y = −2 vào (d$_{1}$) nhận thấy 3.1 – 2.(−2) = 7 ≠ 1.

Do đó, M không thuộc (d$_{1}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai

Với m = 0 thì ta có (d): y = 4.

Do đó, với m = 0 thì (d): y = 4 song song với trục hoành.

b) Đúng.

Với m = 2 thì (d): y = 6x + 2.

Thay x = −1; y = −4 được 6.(−1) + 2 = −4 (đúng).

Do đó, với m = 2 thì E(−1; −4) thuộc (d).

c) Đúng.

Gọi I(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.

Ta có: y$_{0}$ = 3mx$_{0}$ – m + 4

m(3x$_{0}$ – 1) + 4 – y$_{0}$ = 0

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}3{x_0} - 1 = 0\\4 - {y_0} = 0\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{3}\\{y_0} = 4\end{array} \right.$.

Vậy với mọi m thì (d) luôn đi qua $I\left( {\frac{1}{3};\,\,4} \right)$.

d) Sai.

Thay $x = \frac{1}{3};\,\,y = 4$ vào (d$_{1}$) được: $6.\frac{1}{3} - 4.3 = 2 - 12 = - 10$ (đúng).

Do đó, $I\left( {\frac{1}{3};\,\,4} \right)$ thuộc đường thẳng (d$_{1}$): 6x – 3y = −10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Với m = 1 ta có: y = $\frac{1}{2}\left( {1 - 1} \right)x - \frac{1}{4}.1$ nên $y = - \frac{1}{4}$.

Do đó, với m = 1 thì (d): $y = - \frac{1}{4}$ và song song với trục hoành.

b) Sai.

Với m = 3 ta có (d): y = x – $\frac{3}{4}$.

Thay x = $- \frac{5}{4}$, y = 2 ta được $- \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = - 2 \ne 2$

Do đó, (d) không đi qua điểm $A\left( { - \frac{5}{4};\,\, - 2} \right)$ khi m = 3.

c) Sai.

Gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.

Ta có: $\frac{1}{2}\left( {m - 1} \right){x_0} - \frac{1}{4}m = {y_0}$

$\frac{1}{2}m{x_0} - \frac{1}{2}{x_0} - \frac{1}{4}m - {y_0} = 0$

$\frac{1}{2}m\left( {{x_0} - \frac{1}{8}} \right) - \frac{1}{2}{x_0} - {y_0} = 0$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - \frac{1}{8} = 0\\ - \frac{1}{2}{x_0} - {y_0} = 0\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{8}\\{y_0} = - \frac{1}{{16}}\end{array} \right.$.

Vậy $M\left( {\frac{1}{8};\,\, - \frac{1}{{16}}} \right)$ là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.

d) Đúng.

Thay $x = \frac{1}{8};\,y = \, - \frac{1}{{16}}$ vào phương trình (d$_{1}$) được $16.\frac{1}{8} - 16.\,\left( { - \frac{1}{{16}}} \right) - 3 = 0$ (đúng).

Do đó, $M\left( {\frac{1}{8};\,\, - \frac{1}{{16}}} \right)$ cũng thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình 16x – 16y – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Thay m = 2 vào (d) được: −x – y = 3.

Với x = 1; y = −4, thay vào ta được: −1 – (−4) = 3 (đúng).

Do đó, với m = 2 thì (d) đi qua điểm A(1; −4).

b) Đúng.

Với m = −1 thì (d): −4x – 2y = 3.

Với x = $\frac{1}{4}$, y = 2 thay vào (d) được: $- 4.\frac{1}{4} - 2.2 = - 5 \ne 3$.

Do đó, (d) không đi qua $B\left( {\frac{1}{4};\,\,2} \right)$ khi m = −1.

c) Đúng.

Gọi M(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.

Ta có: (m – 3)x$_{0}$ + (m – 1)y$_{0}$ = 3

mx$_{0}$ – 3x$_{0}$ + my$_{0}$ – y$_{0}$ = 3

m(x$_{0}$ – y$_{0}$) – 3x$_{0}$ – y$_{0}$ – 3 = 0

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - {y_0} = 0\\ - 3{x_0} - {y_0} - 3 = 0\end{array} \right.$

Thay x$_{0}$ = y$_{0}$ vào $- 3{x_0} - {y_0} - 3 = 0$ được −3x$_{0}$ – x$_{0}$ – 3 = 0, suy ra x$_{0}$ = $\frac{3}{4}$.

Do đó, $M\left( {\frac{3}{4};\,\,\frac{3}{4}} \right)$.

d) Sai.

Thay $x = \frac{3}{4};\,\,y = \frac{3}{4}$ vào (d$_{1}$) được: $12.\frac{3}{4} + 8.\frac{3}{4} = 9 + 6 = 15 \ne - 15$.

Do đó, $M\left( {\frac{3}{4};\,\,\frac{3}{4}} \right)$ không thuộc (d$_{1}$): 12x + 8y = −15.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Với m = 1 thì ta có (d): y = x.

Đường thẳng y = x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

Do đó, với m = 1 thì đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ.

b) Sai.

Với m = 2 thì (d): y = 2x + 1.

Thay x = $\frac{1}{2};\,\,y = 2$ vào (d) ta được: $2.\frac{1}{2} + 1 = 2$ (đúng).

Do đó, $A\left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)$ thuộc đường thẳng (d) khi m = 2.

c) Đúng.

Gọi I(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định mà đường thẳng đi qua.

Ta có: y$_{0}$ = mx$_{0}$ + m – 1

mx$_{0}$ + m – 1 – y$_{0}$ = 0

m(x$_{0}$ + 1) – y$_{0}$ – 1 = 0

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 1 = 0\\ - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right.$ mà $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{y_0} = - 1\end{array} \right.$.

Vậy I(−1; −1).

d) Đúng.

Thay x = −1 và y = −1 vào (d$_{1}$): 3x – 2y = 1 được 3.(−1) – 2.(−1) = −1 ≠ 1 .

Do đó I(−1; −1) không thuộc đường thẳng (d$_{1}$).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 5

Vì M(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định mà đường thẳng đi qua nên ta có:

y$_{0}$ = 3(m + 1)x$_{0}$ – 3m – 2

3mx$_{0}$ + 3x$_{0}$ – 3m – 2 – y$_{0}$ = 0

3m(x$_{0}$ – 1) + 3x$_{0}$ – y$_{0}$ – 2 = 0

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 0\\3{x_0} - {y_0} - 2 = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\3{x_0} - {y_0} - 2 = 0\end{array} \right.$

Thay x$_{0}$ = 1 vào 3x$_{0}$ – y$_{0}$ – 2 = 0 được y$_{0}$ = 1.

Vậy M(1; 1).

Do đó, 3x$_{0}$ + 2y$_{0}$ = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Vì I(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định của đường thẳng nên ta có:

(m + 2)x$_{0}$ + (m – 3)y$_{0}$ − m + 8 = 0

mx$_{0}$ + 2x$_{0}$ + my$_{0}$ – 3y$_{0}$ – m + 8 = 0

m(x$_{0}$ + y$_{0}$ – 1) + 2x$_{0}$ – 3y$_{0}$ + 8 = 0

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {y_0} - 1 = 0\\2{x_0} - 3{y_0} + 8 = 0\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{y_0} = 2\end{array} \right.$

Do đó I(−1; 2).

Vậy x$_{0}$ + y$_{0}$ = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Vì E(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định nên ta có:

y$_{0}$ = 2(m + 1)x$_{0}$ – m – 1

2mx$_{0}$ + 2x$_{0}$ – m – 1 – y$_{0}$ = 0

m(2x$_{0}$ – 1) + 2x$_{0}$ – y$_{0}$ – 1 = 0

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}2{x_0} - 1 = 0\\2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{2}\\{y_0} = 0\end{array} \right.$.

Vậy x$_{0}$y$_{0}$ = $\frac{1}{2}.0 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −1

Vì I(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định của y = (m + 1)x – 3m + 4 ta có:

y$_{0}$ = (m + 1)x$_{0}$ – 3m + 4

mx$_{0}$ + x$_{0}$ – 3m + 4 – y$_{0}$ = 0

m(x$_{0}$ – 3) + x$_{0}$ – y$_{0}$ + 4 = 0

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3 = 0\\{x_0} - {y_0} + 4 = 0\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{y_0} = 7\end{array} \right.$.

Do đó, I(3; 7).

Vì I cũng thuộc đường thẳng 4x + ay = 5 nên ta có: 4.3 + 7a = 5 hay 7a = −7.

Suy ra a = −1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 7

Vì M(x$_{0}$; y$_{0}$) là điểm cố định của đường thẳng (d) nên ta có:

2(m – 1)x$_{0}$ + (m – 2)y$_{0}$ = 2

2mx$_{0}$ – 2x$_{0}$ + my$_{0}$ – 2y$_{0}$ – 2 = 0

m(2x$_{0}$ + y$_{0}$) – 2x$_{0}$ – 2y$_{0}$ – 2 = 0

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}2{x_0} + {y_0} = 0\\ - 2{x_0} - 2{y_0} - 2 = 0\end{array} \right.$ , do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = - 2\end{array} \right.$.

Vậy 3x$_{0}$ − 2y$_{0}$ = 7.